Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Итенберг, С. И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости. Введение в анализ учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

7.47 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 1916 17 18 19 > Следующая >>>

Доказанные теоремы можно иначе сформулировать так: если

функции		ап и Ьп стремятся			соответственно			к	конечным	пределам
а и Ь,		то:
1)	функция		ап	± Ъп стремится		к пределу		а	± Ь;
2)	функция		апЬп	стремится к пределу			ab;
3)	функция		—	стремится	к	пределу	- ^ - ,		причем	последнее
имеет	место		Ъп				Ь
			при дополнительном			условии b =/= 0.
		5.11.	ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ			[ П Е Р В О Е О П Р Е Д Е Л Е Н И Е ]
Выше мы определили понятие предела последовательности, или,
что то же самое,				понятие предела функции				целочисленного аргу

мента. Переходим теперь к определению понятия предела функции любого аргумента.

Пусть функция / (х) определена в некоторой окрестности точки а, исключая, может быть, саму эту точку. Часто бывает, что с при


I /			ближением		точки			X к	точке а
			соответствующая				точка		у = f (х)
л			приближается			к	некоторой			точке
i	i		А таким образом,			что		расстояние
к —*-	а	х	I у — А\	точки		у		f (х) от		точки
			А становится сколь угодно малым,
			когда расстояние				\ х — а \ точкой х
Іу-А]			от точки	а	делается			достаточно
— л	^		малым (рис. 77). Это значит, что
			расстояние		\у — А \| = \|/ (х) — А
-*	У	y-t(xj	становится меньше любого напе-
р и с	7 7		ред заданного сколь угодно						малого
			положительного числа е, когда рас
			стояние	I X — о I			делается			меньше

некоторого достаточно малого положительного числа д, завися щего от е. В этом случае, говорят, что функция у / (х) стремится к пределу А при х, стремящемся к а.

Таким образом приходим к следующему определению.

Определение.

Число

называется

пределом

функции

f (х) при

X, стремящемся

к а,

если

для любого

наперед заданного

положитель

ного числа

г можно

указать

такое

положительное

число

б (вообще

говоря,

зависящее

от г), что для всех х, отличных

от а и

удовлетво

ряющих

неравенству

\х

— а\

о , будет

иметь

место

неравенство

\ f ( x ) - A \ < E .

В этом

случае пишут

lim / (х) =

или / (х) -+ А при х -> а.

В этом

определении

е — любое

положительное

число; следова

тельно, оно может быть и сколь угодно

малым.

Пример. Доказать, что

lim

* + 3

= 4 ,

(5.16)

*~і 2* — 1

150

Исходя из определения предела функции, надо								показать, что для вся
кого е > 0 можно найти			такое	число	б >	0, что для		всех х, удовлетворяю
щих	неравенству
				\х—	\\<і			(5.17)
будет	иметь место	неравенство
				х + 3		< е .		(5.18)
				2х — 1		< е .		(5.18)
				2х — 1
Преобразуем		левую	часть	неравенства		(2.18)
		X + 3	— 4	7~-7х		— 7	х -	1
		2х-	— 4	2 х — 1		— 7	2х— 1
		2х-		2 х — 1			2х— 1
так,	что оно примет вид
				X— 1
				2х—	1
				2х	>--			(5.19)
					>--

Преобразуем		левую	часть	этого	неравенства
	2х-		2х — 2 f 2 —					+ 2
								+ 2

( - 2 )

Отсюда следует, что неравенство (5.19) выполняется, если имеет место неравенство

— ^ - 2 > - ^

	_ >	2	+ - L = *L±L
	I			В	8
Отсюда
	\ х -	Ц	<	2е +	7			(5.20)
				2е +	7
Итак, для всех х,	удовлетворяющих				неравенству	(5.20),		выполняется
неравенство (5.18), что	и требовалось			доказать; здесь		ô =	р	•
неравенство (5.18), что	и требовалось			доказать; здесь		ô =	•	•
							2е +	7

Особое внимание обратим на то, что при определении предела функции / (х) при X ->• а никакой роли не играет число / (а), т. е. значение функции / (х), в точке а. Именно по этой причине функция / (х) может быть даже вообще не определена в точке а.

151

5.12.

ПРЕДЕЛ

ФУНКЦИИ

[ВТОРОЕ

О П Р Е Д Е Л Е Н И Е )

Понятие

предела

функции

можно

в известном

смысле

свести

к понятию предела последовательности. Пусть / (х)

- Л при х

а.

Тогда, задав произвольное число е > 0,

можно

будет

указать

та

кое

что

из

неравенства

I X — а

(5.21)

будет

следовать

неравенство

| / ( х ) - Л | < е .

(5.22)

Рассмотрим

произвольную

последовательность

{хп\

xlt

х 2 ) >

х3, . .

. ,

хп,

. .

. значений

аргумента

х,

принадлежащую

области

определения

функции

= f (х)

и имеющую своим

пределом число

(limx„

a).

Последовательность

соответствующих

значений

функций у =

f (х) 'будет

{/ (*„)}

\уп)

У і ,

у%,

у3, . .

. ,

уп, . . .

Из

того,

что

lim хп

а,

следует,

что

можно

указать

такое

на

туральное N,

что для

всех

будет

\хп

— а \ <

о .

Но тогда

на

основании

(5.21)

(5.22)

можем

утверждать, что

для

тех

же,

п У N будет иметь место неравенство

\уп — А \ <

е,

откуда

сле

дует,

что

последовательность

{уп}

имеет

своим

пределом число А

(lim у„ =

А).

Итак, доказано, что если функция у ~ / (х) имеет своим преде лом число А при X -> a (lim / (х) = А), то для произвольной по-

следовательности {хп} значений аргумента х, имеющей своим пре делом а, соответствующая последовательность [уп) = {/(х„)} зна чений функции у ~ f (х) имеет своим пределом А.

Можно доказать и обратное: если для произвольной последова тельности {хп\ значений аргумента х, стремящихся к а, соответст вующая последовательность {/(х„)} значений функции / (х) стре мится к Л, то lim / (х) А (на доказательстве этого факта останав-

ливаться не будем — оно выходит за рамки нашего курса). Таким образом, приходим к следующему определению предела функции, эквивалентному определению, данному в предыдущем параграфе.

Определение. Если

для любой

последовательности

{хп\

значений

аргумента

х,

принадлежащей

области

определения

функции

(х)

и стремящейся

a (limx n

•-- а),

соответствующая

последователь

ность

{f (хп)}

значений

функции

имеет

своим пределом

всегда

одно

и то же А,

то это

А называется

пределом функции

f (х) при х

а.

определении

предыдущего

параграфа а и А

являются

чис-

лами. В последнем определении а и Л могут обозначать как числа, так и символы + оо, — с о , со (смысл этих символов разъяснен выше), и в этом смысле последнее определение имеет универсаль

ный характер. Если Л — число,	то	предел	называется к о н е ч -
н ы м; если же Л есть один из символов +			оо или — оо, то предел
называется б е с к о н е ч н ы м	или	н е с о б с т в е н н ы м .

152


	Если а — число, то, как было отмечено в предыдущем						параграфе,
определение		предела функции	/ (х)	при х	-> а вовсе не требует,
чтобы функция / (х) была определена				в точке а. Поэтому			в этом слу
чае	на последовательность \хп\,		вообще говоря, нужно				наложить
дополнительное условие: хп =/= а при всех					п.
	Если окажется, что по крайней			мере для двух		последователь
ностей [х'п\ и {х'^} значений аргумента х,					стремящихся		к а,	соот
ветствующие		последовательности	{/ (х'п) \ и		{/ [х"п)\	значений		функ
ции	f (х) стремятся соответственно к двум				различным пределам А'

и А", то отсюда в силу последнего определения будет следовать, что lim / (х) не существует.

х-*а

Пример 1. В предыдущем параграфе было доказано, что

U m - £ ± 1 . =

41.

(5.23)

х - 1

2х

— 1

Докажем теперь то же самое с

помощью

второго

определения

предела

функции.

X -4- 3

Областью определения функции

—— является,

очевидно, множество

2х — 1

всех

действительных чисел,

исключая число

Ѵ 2 .

Пусть

{хп}

х1,

х 2

• • •

хп,

. . . — произвольная

последовательность

значений

аргумента

х,

удовлет

воряющая

двум

требованиям: хп ф —— при

всех

хп

~> 1;

соответствую-

щая

последовательность

значении

функции

будет:

2х — 1

Х± —f 3

Х%

ДГд - j - 3

1 2хп

— 1 I ' 2хг—\

2х2 — I

2х3 — 1

На

основании

известных

теорем

пределах

последовательностей

(см.

5.10)

для

этой

последовательности

находим

lim

Х п

+ 3

lim (хп

\\тхп

-\~ І і т З

1 +

2хп

— 1

lim (2хп

— !)

Іігп 2 П т хп — lim 1

2 - 1 — 1

Итак,

для любой последовательности {хп}

значений аргумента,

стремя-

щеися

последовательность

( хп

к 1, соответствующая

1 значении

функции

X -4- 3

i j

— —

всегда

стремится

пределу

но

отсюда

следует

(5.23).

2х—

Пример 2. Исследовать существование предела

l i m sin

х.

Рассмотрим

следующую

последовательность

значений

аргумента

х:

{x n J

[пл]

= л,

2л,

Зл. . . .

Д л я

этой

последовательности

lim хп

=• lim я я

оо.

Но

sin

хп

sin пл

0 для

всех

п; следовательно,

последовательность

{sin

соот

ветствующих

значений

функции sin х стремится

пределу

153

Рассмотрим теперь другую последовательность значений аргумента х

		2лп +	— )	г-: 2л +	— , 4л +			—	. 6	7 1 + - . • • •
			2 J		2			2		2
для которой	тоже	lim хп—\іт		^2лп	+ - ^ - j	=	+	'оо.
Имеем sin	=	sin \2лп	-V- —А		1 для всех		и.		Следовательно,		в этом
		'	2	/
случае соответствующая			последовательность			[sin хп^				значений	функции
sin А; стремится к пределу			1. Но отсюда следует,				что lim sin х не существует.
									Л»-fco

В заключение настоящего параграфа отметим следующие два очевидных факта:

первый —

	lin X а\	(5.24)
	х »а
второй — если f (х) ^ С	= const, то
lIm/(*) = limC = C,		(5.25)
х-^а	х-'а

где а может быть как числом, так и одним из символов: -f- о о ,

— оо, с о .

Формула (5.24) следует из того, что в этом случае последова тельности значений аргумента и соответствующие последователь ности значений функции совпадают. Формула же (5.25) следует из того, что в этом случае все члены последовательности значений функции, соответствующей любой последовательности значений аргумента, имеют одно и то же значение С.

5.13. ОДНОСТОРОННИЕ ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИИ

Как было показано, формула \\mf(x)	= A означает,		что для
х->а
любой последовательности \хп) значений	аргумента х,	принадле
жащей области определения функции / (х) и стремящейся			к а, со
ответствующая последовательность {f(xn)\	значений функции всегда
стремится к одному и тому же А.
Пусть а — число. Наложим на последовательность		{хп}	допол

нительные ограничения: пусть все ее члены будут строго меньше или строго больше числа а и введем следующие два определения :

1. Если для любой последовательности {хп} значений аргумента X, принадлежащей области определения функции f (х) и удовлетво

ряющей двум условиям:		1) хп < а для всех п и 2) lim хп		= а, по
следовательность	{/ (хп)}	всегда стремится	к одному и тому же пре
делу А, то это А	называется л е в ы м		п р е д е л о м	функции
/ (х) в точке а и обозначается символами А			= lim f (х), А =	f (а—0)

х-*а—0

или А = lim / (х).

154

Если для любой

последовательности [хп\ значений аргумента

принадлежащей

области определения функции / (х) и удовлетво

ряющей двум условиям: 1) хп

а для всех n и 2) lim хп

— а, по

следовательность,

\f (хп)\

всегда

стремится к

одному

и тому же

пределу

А,

то

это А

называется

п р а в ы м

п р е д е л о м

функции

/ (х)

точке

обозначается

символами

А =

lim / (x), А

f (а +

или А =

ж->а+0

lim / (х).

х-а

x а

функции

Левый и правый пределы

(х) в точке

называются

о д н о

с т о р о н н и м и

п р е д е л а м и

функции

/ (х)

в этой

точке.

Одно

сторонние

пределы

функции

/ (х)

в точке а могут

быть

неравны

друг

другу

(рис.

78). Из

существования

предела

функции

/ (х)

при

/ (а — 0)

вытекает

существование

односторонних

пределов

и / (а +

0). Обратное

утверждение справедливо не всегда: суще

ствование

предела

функции

f (х) при х -> а

вытекает

из су

ществования

односторонних

пределов

f (а — 0) и / (а +

только

при дополнительном условии равенства этих односторонних пре делов.

5.14. БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ВЕЛИЧИНЫ

Выше (см. § 5.7 и 5.8) были определены бесконечно малая и бес конечно большая функции целочисленного аргумента. Введем те перь аналогичные понятия для функции любого аргумента.

Определение 1.		Функция	f (х)	называется	бесконечно	малой
величиной	при x	а, если	lim / (х) = 0.
Определение 2.			х*а
Определение 2.		Функция	f (х) называется		бесконечно	большой
величиной	при x	а, если lim / (х) =		оо (и в частности, +		со или
		x >а

—оо) .

Вэтих определениях а может быть и числом, и одним из симво

лов." -f- с о , — оо, оо .
В силу определения		1 и формулы (5.25) функция / (л;) = 0, тож
дественно	равная нулю	(т. е. равная нулю для всех значений х),
является	частным случаем бесконечно малой величины при х -> а.

Теорема	1. Если	f (х) — бесконечно малая	при х -> а, то —
бесконечно	большая;	если f (х) — бесконечно	большая при х ->• а,
то —	бесконечно	малая.

155

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть / (х) — бесконечно

малая

при

x -> а, т. е. lim / (х) =

0. Это значит,

что

для любой

последова-

>а

тельности

[хп\

значений аргумента х такой, что lim хп

— а, соот

ветствующая последовательность

{f (хп)}

значений

/ (х)

имеет

пре

делом 0. Но тогда функция f (хп)

целочисленного

аргумента

п бес

конечно

мала,

обратная

ей функция

—-— бесконечно

велика

(см. § 5.8),

т. е.

f(Xn)

l i m

= оо .

/(*«)

Итак, для любой последовательности {хп}

значений аргумента х,

стремящейся

а,

последовательность

(—î—) соответствующих

значений

функции

\J{xn)

на основании вто-

f(x)

стремится к о о . Отсюда

рого определения

функции

следует,

что

предела

l i m

= оо ,

х->а

І(х)

т. е. что функция —1

бесконечно большая при х -> а.

fix)

Вторая

часть

теоремы

доказывается

аналогично.

Пример

Вычислить

lim —!— . Имеем

1 і т л : = о о ,

т. е. х — бесконечно

большая .

По

доказанной

теореме

функция

—^- есть

бесконечно

малая

при

х - > о о , Т. е. l i m — ! - = 0.

X -КОО

l i m — . Имеем

lim х

— 0,

т. е. х

—

бесконечно

Пример 2.

Вычислить

х - о

х-.О

малая . Тогда по доказанной теореме

функция

—^- есть

бесконечно

большая

при х->0,

т. е.

l i m — с ю .

x >0 X

Определение. Функция

ср (х)

называется

ограниченной

на

нет'

тором, промежутке,

если

существует

такое

положительное

число

т, что для

всех

из этого промежутка

выполняется

неравенство

ср (x) I <

т.

Так,

например,

функция

sin х ограничена

на всей

числовой

оси, так как.во всяком случае

j sin xj не превосходит

1 для всех х.

Последующие три теоремы,

как и теорема

1, доказываются с ис

пользованием второго определения предела функции и соответст

вующих теорем для функций целочисленного аргумента.						Доказа
тельство этих теорем предоставим читателю.
Теорема		2.	Если функция	ср (х) при	х -* а стремится	к	конеч
ному	пределу,		то в достаточно	малой	окрестности точки	а	функ
ция	ср (х)	ограничена.

156

Теорема 3.

Если

ср (х)

ограничена

некоторой

окрестности

точки

a f (х) — бесконечно

мала

при

а, то

произведение

ср (х) f (х)

является

бесконечно

малой

величиной

при х

а.

Теорема 4.

Если

функция

ср (х) при

х -> а стремится

отлич

ному

от

нуля

пределу, a

f (х) — бесконечно

большая

при

х ->- а,

то произведение

ср (х) f (х)

является

бесконечно

большой

при х а.

5.15. ТЕОРЕМЫ О КОНЕЧНЫХ

ПРЕДЕЛАХ ФУНКЦИЙ

Установленные свойства конечных пределов последовательно стей без особого труда переносятся на случай предела функции.

Теорема 1. Если	при х — а функции f (х) и ср (х) стремятся
каждая к конечному	пределу, то


	lim [f (х) ± (f(x)] =			\imf(x)			± 1ітср(л:).			(5.26)
	х-у а			х-у а			х-'а
Д о к а з а т е л ь с т в о .			Примем			lim f (х) = A,			lim ср (х) — В
в силу второго определения предела						Х-'й		X	'й
						функции это значит, что для
любой последовательности			\хп\	значений аргумента,					стремящейся
к a (lim хп = а), последовательности						{/ (хп)\ и		{ср (хп)}		соответст
вующих	значений	функций	f (х) и ср (х) стремятся соответственно
к А и В.	Но тогда	(§ 5.10 теорема			1) последовательность					{/ (хп) ±
± ср (хп)\	стремится к пределу А			±	В.
Итак, для любой последовательности							[хп\ значений		аргумента х,
стремящейся к а,		последовательность					(/ (хп) ±	ср (хп)}		соответст
вующих значений функции f (х) ±					ц> (х) всегда стремится к А ± В,

откуда в силу второго определения предела функции следует, что

lim	[/ (х) ± ср (х) ] = А ± В;		но это и есть (5.26).
Х-Уй	Теорема распространяется на любое конечное число слагаемых.
	Теорема распространяется на любое конечное число слагаемых.
	Последующие три теоремы			доказываются		аналогично, поэтому
их	доказательства	предоставим		читателю.
	Теорема 2. Если	при х ->	а	функции	f (х)	и ср (х)	стремятся
каждая к конечному		пределу,	то
	lim [f (х) • <р (х)} = lim / (х) • lim ф (х).						(5.27)
	х^-а			х-у а	х-у а

Теорема распространяется на любое конечное число сомножи телей. В частности, для любого натурального m имеем

\im[f(x)]m		=	\imlf(x).f(x)	. . . f(x)] =
х-у а		I	X -а	„
		I		m раз
= l i m / W - l i m / ( x ) . . . lim/(>;) = [lim/(je)]4 ',					(5.28)
X - a	х-у	a	X y a	x^a

т. е. при отыскании предела натуральной степени можно перехо дить к пределу в основании степени.

С л е д с т в и е . Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

157

Действительно, используя (5.27) и (5.25), находим:

lim [Cf

(je)]

lim С- lim / (x) =

С lim / (x).

x-a

x-'ü

x>a

x-^a

Теорема

Если

при

функции f (x) и

ц> (x)

стремятся

каждая

конечному

пределу,

причем

lim ср (х)

0, то

х-*а

1 І П 1 Ш _ = £ ^

(5.29)

і . а ф М

limcp(x)

-а

Теорема 4.

Если

некоторой

окрестности

точки

а имеем

Ф (х) <

/ (х)

Ч> (х),

причем

lim ср (х) =

lim г|5 (х) = А,

то и

lim / (х) =

А.

х^а

х*а

х-*а

Теорема

Для

того

чтобы при х-±

а функция

f (х)

стремилась

к конечному

пределу

А,

необходимо

достаточно,

чтобы

разность

f (х) — А

являлась

при

бесконечно

малой

величиной.

Справедливость последней теоремы вытекает из очевидной эк вивалентности формул lim / (х) = А и lim [f (x) — А ] = 0.

			х-а			х->а
Теорему можно перефразировать так: для того								чтобы	при х а
функция	f (х) стремилась к конечному					пределу	А,	необходимо		и до
статочно,	чтобы	было	f (х)	= А	+ а (х), где		функция а		(х)	беско
нечно мала при х		-> а	(т. е.	lim а	(х) =	0).

x >а

Теоремы 1—3 не только характеризуют свойства предельного перехода как операции, но лежат в основе фактического вычисле ния пределов функций. На базе изученной теории уже можно вы числить предел любой рациональной функции. Так, в нижеследую щих примерах используются теоремы 1—3, формулы (5.24), (5.25), (5.28) и результаты решения примеров из § 5.14.

Примеры
1)	lim 4х2 =		4 lim х 2		4 (lim х)2 = 4-22 =				16;
	х^2		х^2		х >2
2)	lim (3 — 2х +			4х3) = lim 3 — 2 lim x +					4 (lim x)3 = 3 — 2-1 + 4 - 13 = 5;
	X^l			X-	1	*-> 1		X-* 1
Q4	,.	x — 4		lim	(x — 4)		0—4
Q4	,.	x — 4		x->o			0—4
3)	lim		=		—			= —4;
	x->o	2x +	1	lim (2x + 1)			0 4- 1
4)	lim [2 — — \ = lim 2 — 3 lim J - = 2 — 3 - 0 = 2 ;
	''	2x2 +	2
5) lim—.—!			; имеем		lim (x	— 1) =		0,	следовательно, функция x — 1
158	x-*\	x—\		*	- i

бесконечно мала

при

x - »

обратная

ей

функция

бесконечно велика при

к - >

1. Далее, Jim \2х2

1) =

3. Отсюда

следует

(§ 5.14, теорема

4), что

2х2+

lim

(2х2

1) -

* - і

x..i

+ 4

lim

I —

+ 4

lim

—

Л:

=• О

lim

(л; +

х - оо

X -f- 2

(см.

5.14,

теоремы

3);

lim

+Л:2

lim

—

Х--00

х*-оо

JT-0O \ #2

lim

х 2

-f- X

lim

x 4

— 3

x->oo

1 + -

lim

*-co

1 — X2

Первые

три примера

показывают,

что для

вычисления

предела

рациональной функции при х -> а, где точка а принадлежит об ласти определения функции, достаточно просто вычислить значе ние функции в точке а.

Ниже (§ 6.5) будет показано, что аналогичное правило предель ного перехода справедливо не только для рациональных функций, но и вообще для всех элементарных функций.

ГЛАВА 6

НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ

6.1. ПЕРВОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ

Пусть а — число (конечная точка). С понятием предела функции

/ (х) при	X -* а	тесно	связано	понятие	н е п р е р ы в н о с т и
функции	в точке	а.
Как было отмечено,			числовое	значение	предела lim / (х), как и
					х->а

самый факт существования предела, вовсе не зависит от того, чему

159

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 1916 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ