Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

книги из ГПНТБ / Итенберг, С. И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости. Введение в анализ учеб. пособие

.pdf
Скачиваний:
15
Добавлен:
19.10.2023
Размер:
7.47 Mб
Скачать

Доказанные теоремы можно иначе сформулировать так: если

функции

ап и Ьп стремятся

соответственно

к

конечным

пределам

а и Ь,

то:

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

функция

ап

± Ъп стремится

к пределу

а

± Ь;

 

2)

функция

апЬп

стремится к пределу

ab;

 

 

 

3)

функция

стремится

к

пределу

- ^ - ,

причем

последнее

имеет

место

Ъп

 

 

 

Ь

 

 

 

при дополнительном

условии b =/= 0.

 

 

 

5.11.

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

[ П Е Р В О Е О П Р Е Д Е Л Е Н И Е ]

Выше мы определили понятие предела последовательности, или,

что то же самое,

понятие предела функции

целочисленного аргу­

мента. Переходим теперь к определению понятия предела функции любого аргумента.

Пусть функция / (х) определена в некоторой окрестности точки а, исключая, может быть, саму эту точку. Часто бывает, что с при­

I /

 

 

ближением

точки

X к

точке а

 

 

соответствующая

точка

у = f (х)

л

 

 

приближается

к

некоторой

точке

i

i

 

А таким образом,

что

расстояние

к —*-

а

х

I у — А\

точки

у

 

f (х) от

точки

 

 

 

А становится сколь угодно малым,

 

 

 

когда расстояние

\ х — а \ точкой х

Іу-А]

 

 

от точки

а

делается

достаточно

— л

^

 

малым (рис. 77). Это значит, что

 

 

 

расстояние

\у — А | = |/ (х) — А

-*

У

y-t(xj

становится меньше любого напе-

р и с

7 7

 

ред заданного сколь угодно

малого

 

 

 

положительного числа е, когда рас­

 

 

 

стояние

I X — о I

делается

 

меньше

некоторого достаточно малого положительного числа д, завися­ щего от е. В этом случае, говорят, что функция у / (х) стремится к пределу А при х, стремящемся к а.

Таким образом приходим к следующему определению.

Определение.

Число

А

называется

пределом

функции

f (х) при

X, стремящемся

к а,

если

для любого

 

наперед заданного

положитель­

ного числа

г можно

указать

такое

положительное

число

б (вообще

говоря,

зависящее

от г), что для всех х, отличных

от а и

удовлетво­

ряющих

неравенству

а\

<

о , будет

иметь

место

неравенство

\ f ( x ) - A \ < E .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В этом

случае пишут

lim / (х) =

А

или / (х) -+ А при х -> а.

В этом

определении

е — любое

положительное

число; следова­

тельно, оно может быть и сколь угодно

малым.

 

 

 

Пример. Доказать, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

* + 3

 

= 4 ,

 

 

(5.16)

 

 

 

 

 

 

*~і 2* — 1

 

 

 

 

150

Исходя из определения предела функции, надо

показать, что для вся­

кого е > 0 можно найти

такое

число

б >

0, что для

всех х, удовлетворяю­

щих

неравенству

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\х—

\\<і

 

 

(5.17)

будет

иметь место

неравенство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х + 3

 

< е .

 

(5.18)

 

 

 

 

— 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Преобразуем

левую

часть

неравенства

(2.18)

 

 

 

 

X + 3

— 4

7~-7х

— 7

х -

1

 

 

2х-

2 х — 1

2х— 1

 

 

 

 

так,

что оно примет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X— 1

 

 

 

 

 

 

 

2х—

1

 

 

 

 

 

 

 

>--

 

(5.19)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Преобразуем

левую

часть

этого

неравенства

 

 

 

2х-

2х — 2 f 2 —

 

 

+ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

( - 2 )

Отсюда следует, что неравенство (5.19) выполняется, если имеет место неравенство

— ^ - 2 > - ^

 

_ >

2

+ - L = *L±L

 

 

 

 

I

 

 

В

8

 

 

 

Отсюда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\ х -

Ц

<

2е +

7

 

 

(5.20)

 

 

 

 

 

 

 

Итак, для всех х,

удовлетворяющих

неравенству

(5.20),

выполняется

неравенство (5.18), что

и требовалось

доказать; здесь

ô =

р

 

 

 

 

 

 

 

2е +

7

Особое внимание обратим на то, что при определении предела функции / (х) при X ->• а никакой роли не играет число / (а), т. е. значение функции / (х), в точке а. Именно по этой причине функция / (х) может быть даже вообще не определена в точке а.

151

 

 

5.12.

ПРЕДЕЛ

ФУНКЦИИ

[ВТОРОЕ

О П Р Е Д Е Л Е Н И Е )

 

 

 

Понятие

предела

функции

можно

в известном

смысле

свести

к понятию предела последовательности. Пусть / (х)

- Л при х

а.

Тогда, задав произвольное число е > 0,

можно

будет

указать

та­

кое

ô

>

0,

что

из

неравенства

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I X — а

|

<

С

о

 

 

 

 

 

 

(5.21)

будет

следовать

неравенство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

| / ( х ) - Л | < е .

 

 

 

 

 

 

(5.22)

 

Рассмотрим

произвольную

последовательность

п\

=

xlt

х 2 ) >

х3, . .

. ,

хп,

. .

. значений

аргумента

х,

принадлежащую

области

определения

функции

у

= f (х)

и имеющую своим

пределом число

a

(limx„

=

a).

Последовательность

соответствующих

значений

функций у =

 

f (х) 'будет

{/ (*„)}

=

п)

=:

У і ,

у%,

у3, . .

. ,

уп, . . .

 

Из

того,

что

lim хп

=

а,

следует,

что

можно

указать

такое

на­

туральное N,

что для

всех

n

у

N

 

будет

п

— а \ <

 

о .

Но тогда

на

основании

(5.21)

и

(5.22)

можем

утверждать, что

для

тех

же,

п У N будет иметь место неравенство

п — А \ <

е,

откуда

сле­

дует,

что

последовательность

п}

имеет

своим

пределом число А

(lim у„ =

А).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Итак, доказано, что если функция у ~ / (х) имеет своим преде­ лом число А при X -> a (lim / (х) = А), то для произвольной по-

следовательности п} значений аргумента х, имеющей своим пре­ делом а, соответствующая последовательность п) = {/(х„)} зна­ чений функции у ~ f (х) имеет своим пределом А.

Можно доказать и обратное: если для произвольной последова­ тельности п\ значений аргумента х, стремящихся к а, соответст­ вующая последовательность {/(х„)} значений функции / (х) стре­ мится к Л, то lim / (х) А (на доказательстве этого факта останав-

ливаться не будем — оно выходит за рамки нашего курса). Таким образом, приходим к следующему определению предела функции, эквивалентному определению, данному в предыдущем параграфе.

Определение. Если

для любой

последовательности

п\

значений

аргумента

х,

принадлежащей

области

определения

функции

f

(х)

и стремящейся

к

a (limx n

•-- а),

соответствующая

последователь­

ность

{f (хп)}

значений

функции

имеет

своим пределом

всегда

одно

и то же А,

то это

А называется

пределом функции

f (х) при х

->

а.

В

определении

предыдущего

параграфа а и А

являются

чис-

лами. В последнем определении а и Л могут обозначать как числа, так и символы + оо, — с о , со (смысл этих символов разъяснен выше), и в этом смысле последнее определение имеет универсаль­

ный характер. Если Л — число,

то

предел

называется к о н е ч -

н ы м; если же Л есть один из символов +

оо или — оо, то предел

называется б е с к о н е ч н ы м

или

н е с о б с т в е н н ы м .

152

 

Если а — число, то, как было отмечено в предыдущем

параграфе,

определение

предела функции

/ (х)

при х

-> а вовсе не требует,

чтобы функция / (х) была определена

в точке а. Поэтому

в этом слу­

чае

на последовательность п\,

вообще говоря, нужно

наложить

дополнительное условие: хп =/= а при всех

п.

 

 

 

 

Если окажется, что по крайней

мере для двух

последователь­

ностей [х'п\ и {х'^} значений аргумента х,

стремящихся

к а,

соот­

ветствующие

последовательности

{/ (х'п) \ и

{/ [х"п)\

значений

функ­

ции

f (х) стремятся соответственно к двум

различным пределам А'

и А", то отсюда в силу последнего определения будет следовать, что lim / (х) не существует.

х-*а

Пример 1. В предыдущем параграфе было доказано, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U m - £ ± 1 . =

41.

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.23)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х - 1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Докажем теперь то же самое с

помощью

второго

определения

предела

функции.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X -4- 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Областью определения функции

 

—— является,

очевидно, множество

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

всех

действительных чисел,

исключая число

Ѵ 2 .

 

Пусть

п}

=

х1,

х 2

• • •

>

хп,

. . . — произвольная

последовательность

значений

аргумента

х,

удовлет­

воряющая

двум

требованиям: хп ф —— при

всех

 

п

и

хп

~> 1;

соответствую-

щая

последовательность

значении

функции

 

 

 

 

будет:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Х± —f 3

 

Х%

 

3

 

 

ДГд - j - 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 п

— 1 I ' г—\

 

2 — I

 

3 — 1

 

 

 

 

 

 

 

 

На

основании

известных

теорем

о

пределах

последовательностей

(см.

§

5.10)

для

этой

последовательности

находим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

Х п

+ 3

=

 

lim п

+

3)

=

 

\\тхп

-\~ І і т З

 

=

1 +

3

=

4

 

 

 

п

— 1

 

lim (2хп

— !)

 

Іігп 2 П т хп — lim 1

2 - 1 — 1

 

 

 

 

Итак,

для любой последовательности п}

значений аргумента,

стремя-

щеися

,

 

 

 

 

 

 

последовательность

!

( хп

+

3)

 

 

.,

,

 

 

к 1, соответствующая

 

 

 

1 значении

функции

X -4- 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W

-

i j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— —

всегда

стремится

к

пределу

4;

но

отсюда

и

следует

(5.23).

 

 

 

2х—

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 2. Исследовать существование предела

l i m sin

х.

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим

следующую

последовательность

 

значений

аргумента

х:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{x n J

=

[пл]

= л,

2л,

Зл. . . .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д л я

этой

последовательности

 

lim хп

=• lim я я

=

+

оо.

Но

sin

хп

=

=

sin пл

=

0 для

всех

п; следовательно,

последовательность

{sin

 

соот­

ветствующих

значений

функции sin х стремится

 

к

пределу

0.

 

 

 

 

 

153

Рассмотрим теперь другую последовательность значений аргумента х

 

 

2лп +

— )

г-: 2л +

— , 4л +

. 6

7 1 + - . • • •

 

 

 

 

2 J

 

2

 

 

2

 

2

 

для которой

тоже

lim хп—\іт

^2лп

+ - ^ - j

=

+

'оо.

 

 

Имеем sin

=

sin \2лп

-V- —А

1 для всех

и.

Следовательно,

в этом

 

 

'

2

/

 

 

 

 

 

 

 

случае соответствующая

последовательность

[sin хп^

значений

функции

sin А; стремится к пределу

1. Но отсюда следует,

что lim sin х не существует.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Л»-fco

 

В заключение настоящего параграфа отметим следующие два очевидных факта:

первый —

 

lin X а\

(5.24)

 

х »а

 

второй — если f (х) ^ С

= const, то

 

lIm/(*) = limC = C,

(5.25)

х-^а

х-'а

 

где а может быть как числом, так и одним из символов: -f- о о ,

— оо, с о .

Формула (5.24) следует из того, что в этом случае последова­ тельности значений аргумента и соответствующие последователь­ ности значений функции совпадают. Формула же (5.25) следует из того, что в этом случае все члены последовательности значений функции, соответствующей любой последовательности значений аргумента, имеют одно и то же значение С.

5.13. ОДНОСТОРОННИЕ ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИИ

Как было показано, формула \\mf(x)

= A означает,

что для

х->а

 

 

 

любой последовательности п) значений

аргумента х,

принадле­

жащей области определения функции / (х) и стремящейся

к а, со­

ответствующая последовательность {f(xn)\

значений функции всегда

стремится к одному и тому же А.

 

 

 

Пусть а — число. Наложим на последовательность

п}

допол­

нительные ограничения: пусть все ее члены будут строго меньше или строго больше числа а и введем следующие два определения :

1. Если для любой последовательности п} значений аргумента X, принадлежащей области определения функции f (х) и удовлетво­

ряющей двум условиям:

1) хп < а для всех п и 2) lim хп

= а, по­

следовательность

{/ п)}

всегда стремится

к одному и тому же пре­

делу А, то это А

называется л е в ы м

п р е д е л о м

функции

/ (х) в точке а и обозначается символами А

= lim f (х), А =

f (а—0)

х-*а—0

или А = lim / (х).

154

x,

2.

Если для любой

последовательности п\ значений аргумента

принадлежащей

области определения функции / (х) и удовлетво­

ряющей двум условиям: 1) хп

>

а для всех n и 2) lim хп

— а, по­

следовательность,

\f (хп)\

всегда

стремится к

одному

и тому же

пределу

А,

то

это А

называется

п р а в ы м

п р е д е л о м

функции

 

/ (х)

в

точке

а

 

и

обозначается

 

символами

А =

=

lim / (x), А

=

f (а +

0)

или А =

,

 

 

 

 

 

 

ж->а+0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У

 

 

 

 

 

 

-

lim / (х).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х-а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x а

 

 

 

 

 

 

 

 

функции

 

 

 

 

 

 

 

Левый и правый пределы

 

 

 

 

 

 

/

(х) в точке

а

называются

 

о д н о ­

 

 

 

 

 

 

с т о р о н н и м и

 

п р е д е л а м и

 

 

 

 

 

 

функции

 

/ (х)

в этой

точке.

Одно­

 

 

 

 

 

 

сторонние

пределы

функции

/ (х)

0

 

 

 

 

 

в точке а могут

быть

неравны

друг

 

 

 

 

 

 

другу

(рис.

78). Из

существования

 

 

 

 

 

 

предела

функции

/ (х)

при

х

а

 

 

 

 

/ — 0)

вытекает

 

существование

односторонних

пределов

 

и / +

0). Обратное

утверждение справедливо не всегда: суще­

ствование

предела

функции

f (х) при х -> а

вытекает

 

из су­

ществования

односторонних

пределов

f (а — 0) и / +

0)

только

при дополнительном условии равенства этих односторонних пре­ делов.

5.14. БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ВЕЛИЧИНЫ

Выше (см. § 5.7 и 5.8) были определены бесконечно малая и бес­ конечно большая функции целочисленного аргумента. Введем те­ перь аналогичные понятия для функции любого аргумента.

Определение 1.

Функция

f (х)

называется

бесконечно

малой

величиной

при x

а, если

lim / (х) = 0.

 

 

Определение 2.

 

х*а

 

 

 

Функция

f (х) называется

бесконечно

большой

величиной

при x

а, если lim / (х) =

оо (и в частности, +

со или

 

 

x >а

 

 

 

оо) .

Вэтих определениях а может быть и числом, и одним из симво­

лов." -f- с о , — оо, оо .

 

В силу определения

1 и формулы (5.25) функция / (л;) = 0, тож­

дественно

равная нулю

(т. е. равная нулю для всех значений х),

является

частным случаем бесконечно малой величины при х -> а.

Теорема

1. Если

f (х) — бесконечно малая

при х -> а, то —

бесконечно

большая;

если f (х) — бесконечно

большая при х ->• а,

то —

бесконечно

малая.

 

155

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть / (х) — бесконечно

малая

при

x -> а, т. е. lim / (х) =

0. Это значит,

что

для любой

последова-

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тельности

п\

 

значений аргумента х такой, что lim хп

— а, соот­

ветствующая последовательность

{f (хп)}

значений

/ (х)

имеет

пре­

делом 0. Но тогда функция f (хп)

целочисленного

аргумента

п бес­

конечно

мала,

а

обратная

ей функция

—-— бесконечно

велика

(см. § 5.8),

т. е.

 

 

 

 

 

 

 

f(Xn)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l i m

 

= оо .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/(*«)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Итак, для любой последовательности п}

значений аргумента х,

стремящейся

к

а,

последовательность

(—î—) соответствующих

значений

функции

 

 

 

 

 

 

\J{xn)

J

на основании вто-

f(x)

стремится к о о . Отсюда

рого определения

 

функции

следует,

что

 

 

 

 

 

предела

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l i m

 

= оо ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х->а

І(х)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т. е. что функция —1

бесконечно большая при х -> а.

 

 

 

 

 

 

 

fix)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вторая

часть

теоремы

доказывается

аналогично.

 

 

 

 

 

Пример

1.

Вычислить

lim —!— . Имеем

1 і т л : = о о ,

т. е. х — бесконечно

большая .

По

доказанной

теореме

функция

—^- есть

бесконечно

 

малая

при

х - > о о , Т. е. l i m — ! - = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X -КОО

x

 

 

l i m . Имеем

lim х

0,

т. е. х

бесконечно

Пример 2.

Вычислить

 

 

 

 

 

 

 

х - о

x

 

х-.О

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

малая . Тогда по доказанной теореме

функция

—^- есть

бесконечно

большая

при х->0,

т. е.

 

l i m — с ю .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x >0 X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение. Функция

ср (х)

называется

ограниченной

 

на

нет'

тором, промежутке,

если

существует

такое

положительное

 

число

т, что для

всех

х

из этого промежутка

выполняется

 

 

неравенство

ср (x) I <

т.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так,

например,

функция

sin х ограничена

на всей

числовой

оси, так как.во всяком случае

j sin xj не превосходит

1 для всех х.

Последующие три теоремы,

как и теорема

1, доказываются с ис­

пользованием второго определения предела функции и соответст­

вующих теорем для функций целочисленного аргумента.

Доказа­

тельство этих теорем предоставим читателю.

 

 

Теорема

2.

Если функция

ср (х) при

х -* а стремится

к

конеч­

ному

пределу,

то в достаточно

малой

окрестности точки

а

функ­

ция

ср (х)

ограничена.

 

 

 

 

156

Теорема 3.

Если

ср (х)

ограничена

в

некоторой

окрестности

точки

a,

a f (х) — бесконечно

мала

при

х

а, то

произведение

ср (х) f (х)

является

бесконечно

малой

величиной

при х

->

а.

 

Теорема 4.

Если

функция

ср (х) при

х -> а стремится

к

отлич­

ному

от

нуля

пределу, a

f (х) — бесконечно

большая

при

х ->- а,

то произведение

ср (х) f (х)

является

бесконечно

большой

 

при х а.

 

5.15. ТЕОРЕМЫ О КОНЕЧНЫХ

ПРЕДЕЛАХ ФУНКЦИЙ

 

Установленные свойства конечных пределов последовательно­ стей без особого труда переносятся на случай предела функции.

Теорема 1. Если

при х — а функции f (х) и ср (х) стремятся

каждая к конечному

пределу, то

 

lim [f (х) ± (f(x)] =

\imf(x)

± 1ітср(л:).

 

(5.26)

 

ха

 

 

ха

 

х-'а

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Примем

lim f (х) = A,

lim ср (х) — В

в силу второго определения предела

Х-'й

X

 

функции это значит, что для

любой последовательности

п\

значений аргумента,

стремящейся

к a (lim хп = а), последовательности

{/ п)\ и

{ср п)}

соответст­

вующих

значений

функций

f (х) и ср (х) стремятся соответственно

к А и В.

Но тогда

(§ 5.10 теорема

1) последовательность

{/ п) ±

± ср п)\

стремится к пределу А

±

В.

 

 

 

 

Итак, для любой последовательности

п\ значений

аргумента х,

стремящейся к а,

последовательность

 

(/ п) ±

ср п)}

соответст­

вующих значений функции f (х) ±

ц> (х) всегда стремится к А ± В,

откуда в силу второго определения предела функции следует, что

lim

[/ (х) ± ср (х) ] = А ± В;

но это и есть (5.26).

 

Х-Уй

Теорема распространяется на любое конечное число слагаемых.

 

 

Последующие три теоремы

доказываются

аналогично, поэтому

их

доказательства

предоставим

читателю.

 

 

 

Теорема 2. Если

при х ->

а

функции

f (х)

и ср (х)

стремятся

каждая к конечному

пределу,

то

 

 

 

 

lim [f (х) • (х)} = lim / (х) • lim ф (х).

(5.27)

 

х^-а

 

 

ха

ха

 

 

Теорема распространяется на любое конечное число сомножи­ телей. В частности, для любого натурального m имеем

\im[f(x)]m

=

\imlf(x).f(x)

. . . f(x)] =

 

ха

 

I

X -а

 

 

 

 

m раз

 

= l i m / W - l i m / ( x ) . . . lim/(>;) = [lim/(je)]4 ',

(5.28)

X - a

х-у

a

X y a

x^a

 

т. е. при отыскании предела натуральной степени можно перехо­ дить к пределу в основании степени.

С л е д с т в и е . Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

157

Действительно, используя (5.27) и (5.25), находим:

 

 

 

 

lim [Cf

(je)]

lim С- lim / (x) =

С lim / (x).

 

 

 

 

 

x-a

 

 

 

x-'ü

 

x>a

 

 

x-^a

 

 

Теорема

3.

Если

 

при

x

 

a

функции f (x) и

ц> (x)

стремятся

каждая

к

конечному

 

пределу,

причем

lim ср (х)

0, то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х-*а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 І П 1 Ш _ = £ ^

.

 

 

(5.29)

 

 

 

 

 

 

 

і . а ф М

limcp(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

Теорема 4.

Если

 

в

некоторой

окрестности

точки

а имеем

Ф (х) <

/ (х)

<

Ч> (х),

причем

 

lim ср (х) =

lim г|5 (х) = А,

то и

lim / (х) =

 

А.

 

 

 

 

 

 

х^а

 

 

х*а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х-*а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема

5.

Для

того

чтобы при х-±

а функция

f (х)

стремилась

к конечному

пределу

А,

необходимо

и

достаточно,

чтобы

разность

f (х) — А

являлась

при

х

->

а

бесконечно

малой

величиной.

Справедливость последней теоремы вытекает из очевидной эк­ вивалентности формул lim / (х) = А и lim [f (x) — А ] = 0.

 

 

 

х-а

 

 

х->а

 

 

 

 

Теорему можно перефразировать так: для того

чтобы

при х а

функция

f (х) стремилась к конечному

пределу

А,

необходимо

и до­

статочно,

чтобы

было

f (х)

= А

+ а (х), где

функция а

(х)

беско­

нечно мала при х

-> а

(т. е.

lim а

(х) =

0).

 

 

 

 

x

Теоремы 1—3 не только характеризуют свойства предельного перехода как операции, но лежат в основе фактического вычисле­ ния пределов функций. На базе изученной теории уже можно вы­ числить предел любой рациональной функции. Так, в нижеследую­ щих примерах используются теоремы 1—3, формулы (5.24), (5.25), (5.28) и результаты решения примеров из § 5.14.

Примеры

 

 

 

 

 

 

 

1)

lim 2 =

4 lim х 2

4 (lim х)2 = 4-22 =

16;

 

х^2

 

х^2

 

х >2

 

 

 

 

2)

lim (3 +

3) = lim 3 — 2 lim x +

4 (lim x)3 = 3 — 2-1 + 4 - 13 = 5;

 

X^l

 

 

X-

1

*-> 1

X-* 1

Q4

,.

x — 4

lim

(x 4)

0—4

 

 

x->o

 

 

 

 

3)

lim

 

=

 

 

= —4;

 

x->o

2x +

1

lim (2x + 1)

 

0 4- 1

 

4)

lim [2 — — \ = lim 2 — 3 lim J - = 2 — 3 - 0 = 2 ;

 

''

2x2 +

2

 

 

 

 

 

 

5) lim—.—!

; имеем

lim (x

— 1) =

0,

следовательно, функция x — 1

158

x-*\

x—\

 

*

- i

 

 

 

 

бесконечно мала

при

x - »

1,

а

обратная

ей

функция

бесконечно велика при

к - >

1. Далее, Jim \2х2

+

1) =

3. Отсюда

следует

(§ 5.14, теорема

4), что

 

 

 

 

um

2+

1

 

lim

(2х2

+

1) -

 

 

 

 

 

 

 

* - і

х

-

1

 

x..i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

+ 4

 

 

lim

I —

+ 4

 

 

 

 

 

 

6)

lim

 

 

 

 

 

Л:

 

=• О

 

 

 

 

 

 

 

lim

(л; +

2)

 

 

 

 

 

х - оо

X -f- 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(см.

§

5.14,

теоремы

2

и

3);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

1

-

 

 

 

7)

lim

2

+Л:2

 

lim

 

Х--00

\

X2

 

 

 

 

 

 

х*-оо

2

 

 

 

_2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

JT-0O \ #2

 

 

 

 

8)

lim

х 2

-f- X

 

lim

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 4

— 3

 

x->oo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + -

 

 

 

 

 

 

 

9)

lim

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*-co

1 — X2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Первые

три примера

показывают,

что для

вычисления

предела

рациональной функции при х -> а, где точка а принадлежит об­ ласти определения функции, достаточно просто вычислить значе­ ние функции в точке а.

Ниже (§ 6.5) будет показано, что аналогичное правило предель­ ного перехода справедливо не только для рациональных функций, но и вообще для всех элементарных функций.

ГЛАВА 6

НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ

6.1. ПЕРВОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ

Пусть а — число (конечная точка). С понятием предела функции

/ (х) при

X -* а

тесно

связано

понятие

н е п р е р ы в н о с т и

функции

в точке

а.

 

 

 

Как было отмечено,

числовое

значение

предела lim / (х), как и

 

 

 

 

 

х->а

самый факт существования предела, вовсе не зависит от того, чему

\

159

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ