
книги из ГПНТБ / Итенберг, С. И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости. Введение в анализ учеб. пособие
.pdfДоказанные теоремы можно иначе сформулировать так: если
функции |
ап и Ьп стремятся |
соответственно |
к |
конечным |
пределам |
|||||
а и Ь, |
то: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
функция |
ап |
± Ъп стремится |
к пределу |
а |
± Ь; |
|
|||
2) |
функция |
апЬп |
стремится к пределу |
ab; |
|
|
|
|||
3) |
функция |
— |
стремится |
к |
пределу |
- ^ - , |
причем |
последнее |
||
имеет |
место |
Ъп |
|
|
|
Ь |
|
|
|
|
при дополнительном |
условии b =/= 0. |
|
||||||||
|
|
5.11. |
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ |
[ П Е Р В О Е О П Р Е Д Е Л Е Н И Е ] |
||||||
Выше мы определили понятие предела последовательности, или, |
||||||||||
что то же самое, |
понятие предела функции |
целочисленного аргу |
мента. Переходим теперь к определению понятия предела функции любого аргумента.
Пусть функция / (х) определена в некоторой окрестности точки а, исключая, может быть, саму эту точку. Часто бывает, что с при
I / |
|
|
ближением |
точки |
X к |
точке а |
||||
|
|
соответствующая |
точка |
у = f (х) |
||||||
л |
|
|
приближается |
к |
некоторой |
точке |
||||
i |
i |
|
А таким образом, |
что |
расстояние |
|||||
к —*- |
а |
х |
I у — А\ |
точки |
у |
|
f (х) от |
точки |
||
|
|
|
А становится сколь угодно малым, |
|||||||
|
|
|
когда расстояние |
\ х — а \ точкой х |
||||||
Іу-А] |
|
|
от точки |
а |
делается |
достаточно |
||||
— л |
^ |
|
малым (рис. 77). Это значит, что |
|||||||
|
|
|
расстояние |
\у — А | = |/ (х) — А |
||||||
-* |
У |
y-t(xj |
становится меньше любого напе- |
|||||||
р и с |
7 7 |
|
ред заданного сколь угодно |
малого |
||||||
|
|
|
положительного числа е, когда рас |
|||||||
|
|
|
стояние |
I X — о I |
делается |
|
меньше |
некоторого достаточно малого положительного числа д, завися щего от е. В этом случае, говорят, что функция у / (х) стремится к пределу А при х, стремящемся к а.
Таким образом приходим к следующему определению.
Определение. |
Число |
А |
называется |
пределом |
функции |
f (х) при |
||||||||
X, стремящемся |
к а, |
если |
для любого |
|
наперед заданного |
положитель |
||||||||
ного числа |
г можно |
указать |
такое |
положительное |
число |
б (вообще |
||||||||
говоря, |
зависящее |
от г), что для всех х, отличных |
от а и |
удовлетво |
||||||||||
ряющих |
неравенству |
\х |
— а\ |
< |
о , будет |
иметь |
место |
неравенство |
||||||
\ f ( x ) - A \ < E . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В этом |
случае пишут |
lim / (х) = |
А |
или / (х) -+ А при х -> а. |
||||||||||
В этом |
определении |
е — любое |
положительное |
число; следова |
||||||||||
тельно, оно может быть и сколь угодно |
малым. |
|
|
|
||||||||||
Пример. Доказать, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
lim |
* + 3 |
|
= 4 , |
|
|
(5.16) |
||
|
|
|
|
|
|
*~і 2* — 1 |
|
|
|
|
150
Исходя из определения предела функции, надо |
показать, что для вся |
|||||||
кого е > 0 можно найти |
такое |
число |
б > |
0, что для |
всех х, удовлетворяю |
|||
щих |
неравенству |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\х— |
\\<і |
|
|
(5.17) |
будет |
иметь место |
неравенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х + 3 |
|
< е . |
|
(5.18) |
|
|
|
|
2х — 1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Преобразуем |
левую |
часть |
неравенства |
(2.18) |
|
|
||
|
|
X + 3 |
— 4 |
7~-7х |
— 7 |
х - |
1 |
|
|
|
2х- |
2 х — 1 |
2х— 1 |
||||
|
|
|
|
|||||
так, |
что оно примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X— 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2х— |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2х |
>-- |
|
(5.19) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Преобразуем |
левую |
часть |
этого |
неравенства |
|
|
||
|
2х- |
2х — 2 f 2 — |
|
|
+ 2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
( - 2 )
Отсюда следует, что неравенство (5.19) выполняется, если имеет место неравенство
— ^ - 2 > - ^
|
_ > |
2 |
+ - L = *L±L |
|
|
|
||
|
I |
|
|
В |
8 |
|
|
|
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\ х - |
Ц |
< |
2е + |
7 |
|
|
(5.20) |
|
|
|
|
|
|
|
||
Итак, для всех х, |
удовлетворяющих |
неравенству |
(5.20), |
выполняется |
||||
неравенство (5.18), что |
и требовалось |
доказать; здесь |
ô = |
р |
• |
|||
• |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2е + |
7 |
Особое внимание обратим на то, что при определении предела функции / (х) при X ->• а никакой роли не играет число / (а), т. е. значение функции / (х), в точке а. Именно по этой причине функция / (х) может быть даже вообще не определена в точке а.
151
|
|
5.12. |
ПРЕДЕЛ |
ФУНКЦИИ |
[ВТОРОЕ |
О П Р Е Д Е Л Е Н И Е ) |
|
|
|||||||||||||||
|
Понятие |
предела |
функции |
можно |
в известном |
смысле |
свести |
||||||||||||||||
к понятию предела последовательности. Пусть / (х) |
- Л при х |
а. |
|||||||||||||||||||||
Тогда, задав произвольное число е > 0, |
можно |
будет |
указать |
та |
|||||||||||||||||||
кое |
ô |
> |
0, |
что |
из |
неравенства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I X — а |
| |
< |
С |
о |
|
|
|
|
|
|
(5.21) |
||
будет |
следовать |
неравенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| / ( х ) - Л | < е . |
|
|
|
|
|
|
(5.22) |
|||||||
|
Рассмотрим |
произвольную |
последовательность |
{хп\ |
= |
xlt |
х 2 ) > |
||||||||||||||||
х3, . . |
. , |
хп, |
. . |
. значений |
аргумента |
х, |
принадлежащую |
области |
|||||||||||||||
определения |
функции |
у |
= f (х) |
и имеющую своим |
пределом число |
||||||||||||||||||
a |
(limx„ |
= |
a). |
Последовательность |
соответствующих |
значений |
|||||||||||||||||
функций у = |
|
f (х) 'будет |
{/ (*„)} |
= |
\уп) |
=: |
У і , |
у%, |
у3, . . |
. , |
уп, . . . |
||||||||||||
|
Из |
того, |
что |
lim хп |
= |
а, |
следует, |
что |
можно |
указать |
такое |
на |
|||||||||||
туральное N, |
что для |
всех |
n |
у |
N |
|
будет |
\хп |
— а \ < |
|
о . |
Но тогда |
|||||||||||
на |
основании |
(5.21) |
и |
(5.22) |
можем |
утверждать, что |
для |
тех |
же, |
||||||||||||||
п У N будет иметь место неравенство |
\уп — А \ < |
е, |
откуда |
сле |
|||||||||||||||||||
дует, |
что |
последовательность |
{уп} |
имеет |
своим |
пределом число А |
|||||||||||||||||
(lim у„ = |
А). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, доказано, что если функция у ~ / (х) имеет своим преде лом число А при X -> a (lim / (х) = А), то для произвольной по-
следовательности {хп} значений аргумента х, имеющей своим пре делом а, соответствующая последовательность [уп) = {/(х„)} зна чений функции у ~ f (х) имеет своим пределом А.
Можно доказать и обратное: если для произвольной последова тельности {хп\ значений аргумента х, стремящихся к а, соответст вующая последовательность {/(х„)} значений функции / (х) стре мится к Л, то lim / (х) А (на доказательстве этого факта останав-
ливаться не будем — оно выходит за рамки нашего курса). Таким образом, приходим к следующему определению предела функции, эквивалентному определению, данному в предыдущем параграфе.
Определение. Если |
для любой |
последовательности |
{хп\ |
значений |
||||||||
аргумента |
х, |
принадлежащей |
области |
определения |
функции |
f |
(х) |
|||||
и стремящейся |
к |
a (limx n |
•-- а), |
соответствующая |
последователь |
|||||||
ность |
{f (хп)} |
значений |
функции |
имеет |
своим пределом |
всегда |
одно |
|||||
и то же А, |
то это |
А называется |
пределом функции |
f (х) при х |
-> |
а. |
||||||
В |
определении |
предыдущего |
параграфа а и А |
являются |
чис- |
лами. В последнем определении а и Л могут обозначать как числа, так и символы + оо, — с о , со (смысл этих символов разъяснен выше), и в этом смысле последнее определение имеет универсаль
ный характер. Если Л — число, |
то |
предел |
называется к о н е ч - |
н ы м; если же Л есть один из символов + |
оо или — оо, то предел |
||
называется б е с к о н е ч н ы м |
или |
н е с о б с т в е н н ы м . |
152
|
Если а — число, то, как было отмечено в предыдущем |
параграфе, |
||||||
определение |
предела функции |
/ (х) |
при х |
-> а вовсе не требует, |
||||
чтобы функция / (х) была определена |
в точке а. Поэтому |
в этом слу |
||||||
чае |
на последовательность \хп\, |
вообще говоря, нужно |
наложить |
|||||
дополнительное условие: хп =/= а при всех |
п. |
|
|
|
||||
|
Если окажется, что по крайней |
мере для двух |
последователь |
|||||
ностей [х'п\ и {х'^} значений аргумента х, |
стремящихся |
к а, |
соот |
|||||
ветствующие |
последовательности |
{/ (х'п) \ и |
{/ [х"п)\ |
значений |
функ |
|||
ции |
f (х) стремятся соответственно к двум |
различным пределам А' |
и А", то отсюда в силу последнего определения будет следовать, что lim / (х) не существует.
х-*а
Пример 1. В предыдущем параграфе было доказано, что
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U m - £ ± 1 . = |
41. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.23) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х - 1 |
2х |
— 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Докажем теперь то же самое с |
помощью |
второго |
определения |
предела |
|||||||||||||||||||||
функции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X -4- 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Областью определения функции |
|
—— является, |
очевидно, множество |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2х — 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
всех |
действительных чисел, |
исключая число |
Ѵ 2 . |
|
Пусть |
{хп} |
= |
х1, |
х 2 |
• • • |
> |
||||||||||||||||
хп, |
. . . — произвольная |
последовательность |
значений |
аргумента |
х, |
удовлет |
|||||||||||||||||||||
воряющая |
двум |
требованиям: хп ф —— при |
всех |
|
п |
и |
хп |
~> 1; |
соответствую- |
||||||||||||||||||
щая |
последовательность |
значении |
функции |
|
|
|
|
будет: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2х — 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х± —f 3 |
|
Х% |
|
3 |
|
|
ДГд - j - 3 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 2хп |
— 1 I ' 2хг—\ |
|
2х2 — I |
|
2х3 — 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
На |
основании |
известных |
теорем |
о |
пределах |
последовательностей |
(см. |
||||||||||||||||||
§ |
5.10) |
для |
этой |
последовательности |
находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
lim |
Х п |
+ 3 |
= |
|
lim (хп |
+ |
3) |
= |
|
\\тхп |
-\~ І і т З |
|
= |
1 + |
3 |
= |
4 |
|
||||||||
|
|
2хп |
— 1 |
|
lim (2хп |
— !) |
|
Іігп 2 П т хп — lim 1 |
2 - 1 — 1 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
Итак, |
для любой последовательности {хп} |
значений аргумента, |
стремя- |
||||||||||||||||||||||
щеися |
, |
|
|
|
|
|
|
последовательность |
! |
( хп |
+ |
3) |
|
|
., |
, |
|
|
|||||||||
к 1, соответствующая |
|
|
|
1 значении |
функции |
||||||||||||||||||||||
X -4- 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W |
- |
i j |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
— — |
всегда |
стремится |
к |
пределу |
4; |
но |
отсюда |
и |
следует |
(5.23). |
|
|
|
||||||||||||||
2х— |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2. Исследовать существование предела |
l i m sin |
х. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
Рассмотрим |
следующую |
последовательность |
|
значений |
аргумента |
х: |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
{x n J |
= |
[пл] |
= л, |
2л, |
Зл. . . . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Д л я |
этой |
последовательности |
|
lim хп |
=• lim я я |
= |
+ |
оо. |
Но |
sin |
хп |
= |
|||||||||||||
= |
sin пл |
= |
0 для |
всех |
п; следовательно, |
последовательность |
{sin |
|
соот |
||||||||||||||||||
ветствующих |
значений |
функции sin х стремится |
|
к |
пределу |
0. |
|
|
|
|
|
153
Рассмотрим теперь другую последовательность значений аргумента х
|
|
2лп + |
— ) |
г-: 2л + |
— , 4л + |
— |
. 6 |
7 1 + - . • • • |
|
||
|
|
|
2 J |
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
для которой |
тоже |
lim хп—\іт |
^2лп |
+ - ^ - j |
= |
+ |
'оо. |
|
|
||
Имеем sin |
= |
sin \2лп |
-V- —А |
1 для всех |
и. |
Следовательно, |
в этом |
||||
|
|
' |
2 |
/ |
|
|
|
|
|
|
|
случае соответствующая |
последовательность |
[sin хп^ |
значений |
функции |
|||||||
sin А; стремится к пределу |
1. Но отсюда следует, |
что lim sin х не существует. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л»-fco |
|
В заключение настоящего параграфа отметим следующие два очевидных факта:
первый —
|
lin X а\ |
(5.24) |
|
х »а |
|
второй — если f (х) ^ С |
= const, то |
|
lIm/(*) = limC = C, |
(5.25) |
|
х-^а |
х-'а |
|
где а может быть как числом, так и одним из символов: -f- о о ,
— оо, с о .
Формула (5.24) следует из того, что в этом случае последова тельности значений аргумента и соответствующие последователь ности значений функции совпадают. Формула же (5.25) следует из того, что в этом случае все члены последовательности значений функции, соответствующей любой последовательности значений аргумента, имеют одно и то же значение С.
5.13. ОДНОСТОРОННИЕ ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИИ
Как было показано, формула \\mf(x) |
= A означает, |
что для |
|
х->а |
|
|
|
любой последовательности \хп) значений |
аргумента х, |
принадле |
|
жащей области определения функции / (х) и стремящейся |
к а, со |
||
ответствующая последовательность {f(xn)\ |
значений функции всегда |
||
стремится к одному и тому же А. |
|
|
|
Пусть а — число. Наложим на последовательность |
{хп} |
допол |
нительные ограничения: пусть все ее члены будут строго меньше или строго больше числа а и введем следующие два определения :
1. Если для любой последовательности {хп} значений аргумента X, принадлежащей области определения функции f (х) и удовлетво
ряющей двум условиям: |
1) хп < а для всех п и 2) lim хп |
= а, по |
||
следовательность |
{/ (хп)} |
всегда стремится |
к одному и тому же пре |
|
делу А, то это А |
называется л е в ы м |
п р е д е л о м |
функции |
|
/ (х) в точке а и обозначается символами А |
= lim f (х), А = |
f (а—0) |
х-*а—0
или А = lim / (х).
154
x, |
2. |
Если для любой |
последовательности [хп\ значений аргумента |
|||||||||||||||
принадлежащей |
области определения функции / (х) и удовлетво |
|||||||||||||||||
ряющей двум условиям: 1) хп |
> |
а для всех n и 2) lim хп |
— а, по |
|||||||||||||||
следовательность, |
\f (хп)\ |
всегда |
стремится к |
одному |
и тому же |
|||||||||||||
пределу |
А, |
то |
это А |
называется |
п р а в ы м |
п р е д е л о м |
||||||||||||
функции |
|
/ (х) |
в |
точке |
а |
|
и |
обозначается |
|
символами |
А = |
|||||||
= |
lim / (x), А |
= |
f (а + |
0) |
или А = |
, |
|
|
|
|
|
|||||||
|
ж->а+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
- |
lim / (х). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
х-а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x а |
|
|
|
|
|
|
|
|
функции |
|
|
|
|
|
|
||
|
Левый и правый пределы |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
/ |
(х) в точке |
а |
называются |
|
о д н о |
|
|
|
|
|
|
|||||||
с т о р о н н и м и |
|
п р е д е л а м и |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
функции |
|
/ (х) |
в этой |
точке. |
Одно |
|
|
|
|
|
|
|||||||
сторонние |
пределы |
функции |
/ (х) |
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||
в точке а могут |
быть |
неравны |
друг |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
другу |
(рис. |
78). Из |
существования |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
предела |
функции |
/ (х) |
при |
х |
а |
|
|
|
|
/ (а — 0) |
||||||||
вытекает |
|
существование |
односторонних |
пределов |
|
|||||||||||||
и / (а + |
0). Обратное |
утверждение справедливо не всегда: суще |
||||||||||||||||
ствование |
предела |
функции |
f (х) при х -> а |
вытекает |
|
из су |
||||||||||||
ществования |
односторонних |
пределов |
f (а — 0) и / (а + |
0) |
только |
при дополнительном условии равенства этих односторонних пре делов.
5.14. БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ВЕЛИЧИНЫ
Выше (см. § 5.7 и 5.8) были определены бесконечно малая и бес конечно большая функции целочисленного аргумента. Введем те перь аналогичные понятия для функции любого аргумента.
Определение 1. |
Функция |
f (х) |
называется |
бесконечно |
малой |
|
величиной |
при x |
а, если |
lim / (х) = 0. |
|
|
|
Определение 2. |
|
х*а |
|
|
|
|
Функция |
f (х) называется |
бесконечно |
большой |
|||
величиной |
при x |
а, если lim / (х) = |
оо (и в частности, + |
со или |
||
|
|
x >а |
|
|
|
—оо) .
Вэтих определениях а может быть и числом, и одним из симво
лов." -f- с о , — оо, оо . |
|
|
В силу определения |
1 и формулы (5.25) функция / (л;) = 0, тож |
|
дественно |
равная нулю |
(т. е. равная нулю для всех значений х), |
является |
частным случаем бесконечно малой величины при х -> а. |
Теорема |
1. Если |
f (х) — бесконечно малая |
при х -> а, то — |
бесконечно |
большая; |
если f (х) — бесконечно |
большая при х ->• а, |
то — |
бесконечно |
малая. |
|
155
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть / (х) — бесконечно |
малая |
при |
||||||||||||||||||
x -> а, т. е. lim / (х) = |
0. Это значит, |
что |
для любой |
последова- |
|||||||||||||||||
|
|
X |
>а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тельности |
[хп\ |
|
значений аргумента х такой, что lim хп |
— а, соот |
|||||||||||||||||
ветствующая последовательность |
{f (хп)} |
значений |
/ (х) |
имеет |
пре |
||||||||||||||||
делом 0. Но тогда функция f (хп) |
целочисленного |
аргумента |
п бес |
||||||||||||||||||
конечно |
мала, |
а |
обратная |
ей функция |
—-— бесконечно |
велика |
|||||||||||||||
(см. § 5.8), |
т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
f(Xn) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
l i m |
|
= оо . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/(*«) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, для любой последовательности {хп} |
значений аргумента х, |
||||||||||||||||||||
стремящейся |
к |
а, |
последовательность |
(—î—) соответствующих |
|||||||||||||||||
значений |
функции |
|
|
|
|
|
|
\J{xn) |
J |
на основании вто- |
|||||||||||
f(x) |
стремится к о о . Отсюда |
||||||||||||||||||||
рого определения |
|
функции |
следует, |
что |
|
|
|
|
|
||||||||||||
предела |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
l i m |
|
= оо , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х->а |
І(х) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т. е. что функция —1 |
бесконечно большая при х -> а. |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
fix) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вторая |
часть |
теоремы |
доказывается |
аналогично. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
Пример |
1. |
Вычислить |
lim —!— . Имеем |
1 і т л : = о о , |
т. е. х — бесконечно |
||||||||||||||||
большая . |
По |
доказанной |
теореме |
функция |
—^- есть |
бесконечно |
|
малая |
при |
||||||||||||
х - > о о , Т. е. l i m — ! - = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
X -КОО |
x |
|
|
l i m — . Имеем |
lim х |
— 0, |
т. е. х |
— |
бесконечно |
||||||||||
Пример 2. |
Вычислить |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
х - о |
x |
|
х-.О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
малая . Тогда по доказанной теореме |
функция |
—^- есть |
бесконечно |
большая |
|||||||||||||||||
при х->0, |
т. е. |
|
l i m — с ю . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
x >0 X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Определение. Функция |
ср (х) |
называется |
ограниченной |
|
на |
нет' |
|||||||||||||||
тором, промежутке, |
если |
существует |
такое |
положительное |
|
число |
|||||||||||||||
т, что для |
всех |
х |
из этого промежутка |
выполняется |
|
|
неравенство |
||||||||||||||
ср (x) I < |
т. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так, |
например, |
функция |
sin х ограничена |
на всей |
числовой |
||||||||||||||||
оси, так как.во всяком случае |
j sin xj не превосходит |
1 для всех х. |
|||||||||||||||||||
Последующие три теоремы, |
как и теорема |
1, доказываются с ис |
пользованием второго определения предела функции и соответст
вующих теорем для функций целочисленного аргумента. |
Доказа |
||||||
тельство этих теорем предоставим читателю. |
|
|
|||||
Теорема |
2. |
Если функция |
ср (х) при |
х -* а стремится |
к |
конеч |
|
ному |
пределу, |
то в достаточно |
малой |
окрестности точки |
а |
функ |
|
ция |
ср (х) |
ограничена. |
|
|
|
|
156
Теорема 3. |
Если |
ср (х) |
ограничена |
в |
некоторой |
окрестности |
|||||||
точки |
a, |
a f (х) — бесконечно |
мала |
при |
х |
а, то |
произведение |
||||||
ср (х) f (х) |
является |
бесконечно |
малой |
величиной |
при х |
-> |
а. |
|
|||||
Теорема 4. |
Если |
функция |
ср (х) при |
х -> а стремится |
к |
отлич |
|||||||
ному |
от |
нуля |
пределу, a |
f (х) — бесконечно |
большая |
при |
х ->- а, |
||||||
то произведение |
ср (х) f (х) |
является |
бесконечно |
большой |
|
при х а. |
|||||||
|
5.15. ТЕОРЕМЫ О КОНЕЧНЫХ |
ПРЕДЕЛАХ ФУНКЦИЙ |
|
Установленные свойства конечных пределов последовательно стей без особого труда переносятся на случай предела функции.
Теорема 1. Если |
при х — а функции f (х) и ср (х) стремятся |
каждая к конечному |
пределу, то |
|
lim [f (х) ± (f(x)] = |
\imf(x) |
± 1ітср(л:). |
|
(5.26) |
|||||
|
х-у а |
|
|
х-у а |
|
х-'а |
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Примем |
lim f (х) = A, |
lim ср (х) — В |
|||||||
в силу второго определения предела |
Х-'й |
X |
'й |
|
||||||
функции это значит, что для |
||||||||||
любой последовательности |
\хп\ |
значений аргумента, |
стремящейся |
|||||||
к a (lim хп = а), последовательности |
{/ (хп)\ и |
{ср (хп)} |
соответст |
|||||||
вующих |
значений |
функций |
f (х) и ср (х) стремятся соответственно |
|||||||
к А и В. |
Но тогда |
(§ 5.10 теорема |
1) последовательность |
{/ (хп) ± |
||||||
± ср (хп)\ |
стремится к пределу А |
± |
В. |
|
|
|
|
|||
Итак, для любой последовательности |
[хп\ значений |
аргумента х, |
||||||||
стремящейся к а, |
последовательность |
|
(/ (хп) ± |
ср (хп)} |
соответст |
|||||
вующих значений функции f (х) ± |
ц> (х) всегда стремится к А ± В, |
откуда в силу второго определения предела функции следует, что
lim |
[/ (х) ± ср (х) ] = А ± В; |
но это и есть (5.26). |
|
||||
Х-Уй |
Теорема распространяется на любое конечное число слагаемых. |
||||||
|
|||||||
|
Последующие три теоремы |
доказываются |
аналогично, поэтому |
||||
их |
доказательства |
предоставим |
читателю. |
|
|
||
|
Теорема 2. Если |
при х -> |
а |
функции |
f (х) |
и ср (х) |
стремятся |
каждая к конечному |
пределу, |
то |
|
|
|
||
|
lim [f (х) • <р (х)} = lim / (х) • lim ф (х). |
(5.27) |
|||||
|
х^-а |
|
|
х-у а |
х-у а |
|
|
Теорема распространяется на любое конечное число сомножи телей. В частности, для любого натурального m имеем
\im[f(x)]m |
= |
\imlf(x).f(x) |
. . . f(x)] = |
|
|
х-у а |
|
I |
X -а |
„ |
|
|
|
|
m раз |
|
|
= l i m / W - l i m / ( x ) . . . lim/(>;) = [lim/(je)]4 ', |
(5.28) |
||||
X - a |
х-у |
a |
X y a |
x^a |
|
т. е. при отыскании предела натуральной степени можно перехо дить к пределу в основании степени.
С л е д с т в и е . Постоянный множитель можно выносить за знак предела.
157
Действительно, используя (5.27) и (5.25), находим:
|
|
|
|
lim [Cf |
(je)] |
lim С- lim / (x) = |
С lim / (x). |
|
|||||||
|
|
|
|
x-a |
|
|
|
x-'ü |
|
x>a |
|
|
x-^a |
|
|
Теорема |
3. |
Если |
|
при |
x |
|
a |
функции f (x) и |
ц> (x) |
стремятся |
|||||
каждая |
к |
конечному |
|
пределу, |
причем |
lim ср (х) |
0, то |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х-*а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 І П 1 Ш _ = £ ^ |
. |
|
|
(5.29) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
і . а ф М |
limcp(x) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
-а |
|
|
|
|
Теорема 4. |
Если |
|
в |
некоторой |
окрестности |
точки |
а имеем |
||||||||
Ф (х) < |
/ (х) |
< |
Ч> (х), |
причем |
|
lim ср (х) = |
lim г|5 (х) = А, |
то и |
|||||||
lim / (х) = |
|
А. |
|
|
|
|
|
|
х^а |
|
|
х*а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
х-*а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема |
5. |
Для |
того |
чтобы при х-± |
а функция |
f (х) |
стремилась |
||||||||
к конечному |
пределу |
А, |
необходимо |
и |
достаточно, |
чтобы |
разность |
||||||||
f (х) — А |
являлась |
при |
х |
-> |
а |
бесконечно |
малой |
величиной. |
Справедливость последней теоремы вытекает из очевидной эк вивалентности формул lim / (х) = А и lim [f (x) — А ] = 0.
|
|
|
х-а |
|
|
х->а |
|
|
|
|
Теорему можно перефразировать так: для того |
чтобы |
при х а |
||||||||
функция |
f (х) стремилась к конечному |
пределу |
А, |
необходимо |
и до |
|||||
статочно, |
чтобы |
было |
f (х) |
= А |
+ а (х), где |
функция а |
(х) |
беско |
||
нечно мала при х |
-> а |
(т. е. |
lim а |
(х) = |
0). |
|
|
|
|
x >а
Теоремы 1—3 не только характеризуют свойства предельного перехода как операции, но лежат в основе фактического вычисле ния пределов функций. На базе изученной теории уже можно вы числить предел любой рациональной функции. Так, в нижеследую щих примерах используются теоремы 1—3, формулы (5.24), (5.25), (5.28) и результаты решения примеров из § 5.14.
Примеры |
|
|
|
|
|
|
|
||
1) |
lim 4х2 = |
4 lim х 2 |
4 (lim х)2 = 4-22 = |
16; |
|||||
|
х^2 |
|
х^2 |
|
х >2 |
|
|
|
|
2) |
lim (3 — 2х + |
4х3) = lim 3 — 2 lim x + |
4 (lim x)3 = 3 — 2-1 + 4 - 13 = 5; |
||||||
|
X^l |
|
|
X- |
1 |
*-> 1 |
X-* 1 |
||
Q4 |
,. |
x — 4 |
lim |
(x — 4) |
0—4 |
|
|
||
x->o |
|
|
|
|
|||||
3) |
lim |
|
= |
|
— |
|
= —4; |
||
|
x->o |
2x + |
1 |
lim (2x + 1) |
|
0 4- 1 |
|
||
4) |
lim [2 — — \ = lim 2 — 3 lim J - = 2 — 3 - 0 = 2 ; |
||||||||
|
'' |
2x2 + |
2 |
|
|
|
|
|
|
5) lim—.—! |
; имеем |
lim (x |
— 1) = |
0, |
следовательно, функция x — 1 |
||||
158 |
x-*\ |
x—\ |
|
* |
- i |
|
|
|
|
бесконечно мала |
при |
x - » |
1, |
а |
обратная |
ей |
функция |
бесконечно велика при |
|||||||
к - > |
1. Далее, Jim \2х2 |
+ |
1) = |
3. Отсюда |
следует |
(§ 5.14, теорема |
4), что |
||||||||
|
|
|
|
um |
2х2+ |
1 |
|
lim |
(2х2 |
+ |
1) - |
|
|
|
|
|
|
|
|
* - і |
х |
- |
1 |
|
x..i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
+ 4 |
|
|
lim |
I — |
+ 4 |
|
|
|
|
|
|
|
6) |
lim |
— |
|
|
|
|
|
Л: |
|
=• О |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
(л; + |
2) |
|
|
|
||||||
|
|
х - оо |
X -f- 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(см. |
§ |
5.14, |
теоремы |
2 |
и |
3); |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
1 |
- |
|
|
|
|
7) |
lim |
2 |
+Л:2 |
|
lim |
— |
|
Х--00 |
\ |
X2 |
|
|
||
|
|
|
|
х*-оо |
2 |
|
|
|
_2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
JT-0O \ #2 |
|
|
|
||
|
8) |
lim |
х 2 |
-f- X |
|
lim |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 4 |
— 3 |
|
x->oo |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + - |
|
|
|
|
|
|
|
|
9) |
lim |
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*-co |
1 — X2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Первые |
три примера |
показывают, |
что для |
вычисления |
предела |
рациональной функции при х -> а, где точка а принадлежит об ласти определения функции, достаточно просто вычислить значе ние функции в точке а.
Ниже (§ 6.5) будет показано, что аналогичное правило предель ного перехода справедливо не только для рациональных функций, но и вообще для всех элементарных функций.
ГЛАВА 6
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ
6.1. ПЕРВОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ
Пусть а — число (конечная точка). С понятием предела функции
/ (х) при |
X -* а |
тесно |
связано |
понятие |
н е п р е р ы в н о с т и |
функции |
в точке |
а. |
|
|
|
Как было отмечено, |
числовое |
значение |
предела lim / (х), как и |
||
|
|
|
|
|
х->а |
самый факт существования предела, вовсе не зависит от того, чему
\
159