Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Итенберг, С. И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости. Введение в анализ учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

7.47 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1914 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Тот факт, что переменная у

есть функция

аргумента х,

будем

дальнейшем

записывать

символическими

равенствами

вида:

(х),

у = ф (х),

= g(x)

и т. п.

Иногда тот факт, что у является функцией от х, записывают так:

(х).

Значение функции

у =

/ (х),

соответствующее некоторому

зна

чению

аргумента х =

х0,

будем

обозначать символом

/ (х0).

Так,

например,

если

— 1,

то

f (х) =

Зх2

/(0) =

3-02 — 1 =

— 1,

/ (1) = 3 - 1 2 — 1 =

4.8. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ФУНКЦИИ.

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ

ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ

ЗАВИСИМОСТИ

Определение. Графиком

функции

у =

f (х)

прямоугольной

си

стеме

координат

называется

множество

точек,

абсциссы

которых

являются

значениями

независимой

переменной

х, а

ординаты

—

соответствующими

значениями

функции

= f

(х).

Это множество точек чаще

всего

заполняет

некоторую

линию,

так

что

графиком

функции

служит

обычно

некоторая

линия.

Если

функция

у = / (х) задана

форму

лой,

связывающей

аргумент

\—х

с функцией

у, то

графиком

этой

„

функции является

линия, коорди-

наты (х, у) точек которой обращают

р и с

равенство

у — f (х)

тождество

(рис. 65).

График

функции

можно

приближенно

построить

по

точкам.

Предполагая, что область определения функции есть некоторый промежуток, возьмем в нем ряд близких значений х и определим

соответствующие значения у. В	результате		получится		таблица
* 111 12 1*3	I- • •	\Хп\
У II Ух I Уг I Va I- -		-	I Уп	Г
Затем нанесем на чертеже точки (xlt		уг),	(х2,	у2), • •	• , (х„, уп),

через которые проведем плавную линию. Эта линия и будет графи ком функции (конечно, с известным приближением).

На практике функции чаще всего задаются одним из следую

щих трех способов:
а н а л и т и ч е с к и м , т. е. с помощью	формулы; это основ
ной в математическом анализе способ задания	функции;

130

т а б л и ч н ы м , т. е. с помощью таблицы, в которой приво дятся некоторые значения аргумента и соответствующие им зна чения функции. Этот способ особенно распространен в естествозна нии и технике; хорошо известны таблицы тригонометрических, ло гарифмической и других функций;

г р а ф и ч е с к и м — функция задается с помощью графика. Графический способ одинаково часто применяется, в математике, естествознании и технике; в двух последних случаях это бывает, например, при употреблении самопишущих приборов.

4.9. ВОЗРАСТАЮЩИЕ И УБЫВАЮЩИЕ			ФУНКЦИИ
Определение. Если для		любой пары значений	хх	и х2 аргумент-
ив некоторого	промежутка	из неравенства х2	> хх	следует нера
венство / (х2)	> / (хх), то	функция f (х) называется		возрастающей

0h	1	!	4	1	1
	X /		X 2 X 0	X-j	Х2 X

Ри с . 66

вэтом промежутке. Если же из неравенства х2 > хх следует на

равенство	f (х2 ) < f (хх), то функция f (х) называется	убывающей
в этом	промежутке.

Таким образом, ордината графика возрастающей функции уве личивается с возрастанием х (рис. 66, а), а убывающей функции — убывает с возрастанием х (рис. 66, б).

4.10. ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ
Пусть дана функция	(4.5)
у = f (X);	(4.5)

пусть X — ее область определения, a Y — ее область изменения (рис. 67). Возьмем некоторое значение у из области изменения Y функции. Если функция (4.5) возрастает (или убывает) в своей области определения X, то взятому значению у будет соответство вать одно-единственное значение х из множества X. Таким образом, наряду с функцией (4.5) будем иметь однозначную функцию

X = ф (у),

(4.6)

причем здесь аргументом является у, а функцией х. Эта функция называется о б р а т н о й функцией по отношению к данной функ ции (4.5). Функцию (4.5) иногда называют п р я м о й функцией

131


по	отношению		к	ее обратной функции (1.6).			Обратная	функция,
х =	Ф (у) имеет			своей областью	определения		множество	Y,-	а об
ластью		изменения — множество			X;	таким образом, для		нее	мно
жества		X и Y	меняются ролями. Чтобы найти формулу х =						ц> (у),
определяющую			обратную функцию,			надо,	очевидно,	формулу
у =	f (х), определяющую прямую функцию, решить относительно х.

Рис. 68

Пусть теперь функция у = f

(х)

не возрастает

(или

не убывает)

во всей своей области определения X.

Тогда

взятому

значению

из множества Y может отвечать уже не одно, а несколько или

даже

бесконечное множество

значений

из множества

(рис.

68).

этом

случае обратная функция х =

ср (у)

будет

функцией

м н о г о з н а ч -

н о й.

Если функция

у =

(х)

не воз

растает (или не

убывает)

во

всей

своей

области

определения

то

обычно из множества X можно

выделить

такой

промежуток,

на

котором эта функция

уже

возрас

тает

или

убывает.

Рассматривая

функцию у = f

(х) только для этого

промежутка,

получим

некоторую

однозначную

обратную

ей

функ

цию x =

ф (у),

которая

называется

о д н о з н а ч н о й

в е т в ь ю

полной

многозначной

обратной

функции.

Пример 1. Рассмотрим функцию у = х3 (рис. 69). Эта формула каждому действительному х ставит в соответствие определенное действительное зна чение у, следовательно, областью определения данной функции будет беско нечный промежуток ( — оо, + оо). В этом промежутке функция у = х3 воз растает.

Обратная функция х = •у/'у однозначна.

Пример 2. Функция у = х2 тоже имеет своей областью определения про межуток ( — оо, + оо), однако не является возрастающей (или убывающей)

132

во всем этом промежутке (рис. 70). Обратная функция х = ± У у двузначна: каждому значению у из области изменения данной функции, т. е. из проме


жутка [0, -f-		оо),	отвечают два значения х из промежутка ( — оо, +							от), от
личающиеся		друг	от друга знаком. Однако, если функцию у =						х2	рассмат
ривать только на			промежутке	( — о о ,		0 ] , то она		оказывается	убывающей.
Соответствующей			однозначной ветвью обратной функции будет						х	=	— У у
(на	графике	— левая половина		параболы).			Если	рассматривать		функцию
у =	X2 только на		промежутке [0,		+	оо), то	она будет возрастающей.				Соот
ветствующей		однозначной ветвью			обратной		функции будет х =		-f- У		у .

Рис. 70 Рис. 71

В дальнейшем в формуле (4.6) будем, как обычно, обозначать аргумент буквой х, а функцию — буквой у. Таким образом, функ


цию,	обратную		функции			у	=	/ (х),	будем	записывать формулой
у — ф (х).		Нетрудно показать						тогда,
что	графики		функций			у — /		(х)	и
у = ф (х)		симметричны относительно
биссектрисы первого и третьего								коор
динатных		углов.
Действительно,					пусть	при		х =	а
прямая функция				y=f	(a)=b		(рис. 71).
Точка M		(а, Ь) принадлежит					графику
прямой функции.				Тогда		при		х =	b
обратная		функция			у =	ф (Ь) = а			и
точка M'		(Ь, а)	принадлежит				графику
обратной		функции.			Треугольники
ON'M'	и	ONM	равны, откуда					угол		Рис .	72
N'OM'	равен углу				NOM	и	ОМ'		=
— ОМ. Отсюда следует, что: 1) биссектриса										OL координатного угла
будет и биссектрисой угла MOM';								2) треугольник MOM'			— равнобед

ренный. Но в равнобедренном треугольнике биссектриса одновре

менно	является медианой и высотой, следовательно,				МК	—	М'К
и ММ'	J_ OL.	Отсюда и следует симметрия точек M			и M',	а	зна
чит, и	графиков функций у = f		(х) и у = ф (х)	относительно			бис
сектрисы OL		первого и третьего	координатных	углов.

Итак, имея график функции у = f (х), график ее обратной функ ции у = ф (х) можно получить простым перегибом чертежа по бис сектрисе первого и третьего координатных углов.

133

	Пример 3. График	функции у — ах (а			> 1) изображен сплошной ли
нией на рис. 72. Эта функция				имеет своей областью определения		промежуток
(—	оо, + оо) и возрастает		на	нем. Обратная	функция у = iogax	однозначна;
ее	график изображен пунктирной линией.
	Пример 4. На рис.	73	сплошной линией		дан график функции у = sin х.

Эта функция не является возрастающей или убывающей во всей ее области

определения (— оо,	-4- оо), в	силу чего обратная функция у = Arc sin х
будет многозначной.	Однако,	если функцию у = sin х рассматривать только

y=sinx

	Рис.	73
на интервале	то она	оказывается возрастающей. Соответст-
2	2 У

вующей однозначной ветвью полной обратной функции у = Arc sin х будет функция у = arc sin х (пунктирная линия).

4.11.СЛОЖНАЯ ФУНКЦИЯ

Пусть переменная у выражена как функция от и:

	У	= / (и),	(4-7)
а и есть функция некоторого аргумента х:
ч	и	— <f (х).	(4.8)
Переменную х будем считать н е з а в и с и м о й			п е р е м е н
н о й ,	т. е. такой переменной,	которая принимает	числовые зна

чения вне зависимости от значений, принимаемых другими пере менными, участвующими в данном рассмотрении.

Тогда у в конечном итоге есть функция от х; но зависит у от х не непосредственно, а через посредство п р о м е ж у т о ч н о г о а р г у м е н т а и. В результате получаем так называемую с л о ж н у ю ф у н к ц и ю у н е з а в и с и м о й п е р е м е н н о й х:

У = П<Р(х)].

(4.9)

Сложную		функцию		называют	еще	ф у н к ц и е й от				ф у н к
ц и и .
Пример	1.	Пусть	у =	и3. Если взять и		=	х2	+	1, то получим	сложную
функцию у	=	(х2 +	I ) 3 .
Пример	2.	Пусть у =		lg и. Если	взять	и =	х	+	2, то получим	сложную
функцию у	=	lg (х +	2).

134

В область определения сложной функции (4.9) войдут те и только те значения х из области определения функции (4.8), для которых соответствующие значения и входят в область определения функ ции (1.7). Для иных X сложная функция (4.9) не имеет смысла.

Так, в примере 1 в область определения сложной функции вой дут все X. В примере 2 — лишь те х, для которых и = х + 2 > О, т. е. X > — 2.

Сказанное необходимо всегда иметь в виду, иначе можно по строить формулу, не определяющую функции. Такова, например, формула у = arc sin (х2 + 2), в которой х2 + 2 > 1, в то время как аргументами арксинуса могут быть только числа, не превос

ходящие

4.12. ЯВНЫЕ И НЕЯВНЫЕ

ФУНКЦИИ

Определение 1.

Функция

у аргумента

х называется

явной,

если

эта функция

задана

уравнением,

связывающим

х и у,

разрешенным

относительно

у.

Примеры

явных

функций:

у =

2хъ

— 1;

у — Ух

— 2;

у =

= 2 1 g * + l .

Определение 2.

Функция

аргумента

называется

неявной,

если эта

функция

задана

уравнением,

связывающим х

и у,

не

раз

решенным

относительно у.

Примеры

неявных

функций:

X* + у2 = 4; 2х + у + log (х — у) = 0.

Разрешив уравнение, которым задана неявная функция отно сительно у, мы делаем неявную функцию явной; правда, практи чески такое разрешение возможно далеко не всегда.

Уравнение, связывающее неявную функцию у с ее аргументом х, символически записывают так: F (х, у) = 0; / (х, у) = 0 и т. п.

4.13.АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ

Калгебраическим действиям относятся: сложение, вычитание, умножение, деление и возвышение в степень с рациональным пока зателем.

Я в н ы м и а л г е б р а и ч е с к и м и функциями называются функции, значения которых можно получить, произведя над аргу

ментом и различными постоянными конечное число					алгебраических
действий.
Существуют		следующие три типа явных алгебраических функ
ций:
1)	ц е л а я	р а ц и о н а л ь н а я	ф у н к ц и я			(алгебраи
ческий многочлен); так называется функция				вида
	y = a0x? + alx*~l + . . . +		ап_хх	+ ап,
где а0,	ах, . . . ,	ап — действительные числа,		an	— натуральное
число,	либо 0;

І35

2) д р о б н а я р а ц и о н а л ь н а я ф у н к ц и я ,	или	ра
циональная дробь; так называется частное от деления двух	алгеб
раических многочленов;
3) и р р а ц и о н а л ь н а я ф у н к ц и я ; так называют		яв

ную алгебраическую функцию, для получения значений которой

надо проделать над аргументом и действие извлечения

корня.

Примеры алгебраических иррациональных

функций:

у = Ух—2;

у — X2 -f- 2 | / Т ;

У~~~^~—

и т-

п >

Т р а н с ц е н д е н т н о й

функцией

называется

всякая

явная

функция, которая не является алгебраической.

Нижеследующие

функции

называются

п р о с т е й ш и м и

трансцендентными функциями:

1) с т е п е н н а я

ф у н к ц и я

у — ха,

где а — иррациональ

ное число и X >

0;*

у — а*,

п о к а з а т е л ь н а я

ф у н к ц и я

где а — поло

жительное число, отличное от 1;

л о г а р и ф м и ч е с к а я

ф у н к ц и я

у =

\oga х,

где ос

нование логарифмов

а — положительное

число,

отличное

от

1 ;

т р и г о н о м е т р и ч е с к и е

ф у н к ц и и :

sin х,

у = cos X, у =

tg X, у — ctg х\ у =

sec

х\

у — cosec х;

5) о б р а т н ы е

т р и г о н о м е т р и ч е с к и е

ф у н к

ц и и :

у = arc

sin X, у = arc

cos х, у

arc

tg х, у

arc

ctg х.

4.14.ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ

Вкурсе анализа встречаются почти исключительно так назы ваемые э л е м е н т а р н ы е ф у н к ц и и . К классу элементар ных функций относятся прежде всего все явные алгебраические и простейшие трансцендентные функции, а затем все функции, по лучаемые из них с помощью четырех арифметических действий (сложения, вычитания, умножения и деления) и операций взятия функции от функции, последовательно примененных конечное число раз.

Например, элементарными будут функции, заданные следую

щими	формулами:	у = ] / х 2	+ 2 tgх\ у = lg ( 2 х + Ух2	— і) ;	у =
_ 1 + sin X а г с		у-х и т	п Элементарная функция	всегда	за-
1 — sin X
дается	аналитически.

Не будем относить к классу элементарных те функции, которые в своей области определения заданы более чем одним аналитиче ским выражением и которые невозможно задать одним аналитиче-

* Значения этой функции вычисляются путем логарифмирования.

136

ским выражением, удовлетворяющим сформулированным в этом параграфе условиям. Так, например, функция

		х + 2	при	X	О,
		X2	при	X > О
не будет элементарной, несмотря на то, что формулы у — х +						2 и
у = х2 , рассматриваемые		отдельно друг от друга, определяют				эле
ментарные	функции.
		ГЛАВА	5
	ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
5.1.	БЕСКОНЕЧНАЯ ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
Пусть	дана функция	/ («), аргумент			п которой изменяется	на

множестве натуральных чисел, т. е. может принимать только на туральные значения. В этом случае функцию / («) называют функ

цией ц е л о ч и с л е н н о г о

а р г у м е н т а

п.

Пусть

аргумент

принимает числовые значения

в порядке их возрастания: п = 1,

2, . . . Соответствующие значения

функции / (п)

будут: / (1) =

alt

(2) = а 2 ,

. . . ,

/ (п)

ап, . . .

Говорят,

что

эти

значения

функции

/ (п) образуют

б е с к о

н е ч н у ю ч и с л о в у ю

п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь .

Эту

последовательность

будем

обозначать

символом

{ап}

ах,

а2,

Сід, . .

. , <Хп, . . .

числовых

последовательностей:

Примеры

бесконечных

{(_!)»} = - 1 , 1 ,

, .

. . ,

( - 1 ) " , . . .

( _ ! _ ] = _L ±

_ ! _

U + W

2 '

5 '

10 '

' ' 1 + и 3 '

Функцию / (п) =

ап

будем

называть

о б щ и м

ч л е н о м

по

следовательности

\ап);

ч и с л а а ъ

а2 ,

а3 , . . . называются

ч л е н а м и

этой

последовательности;

значение

целочисленного

аргумента

называется

н о м е р о м

члена

ап

последовательности.

5.2. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Рассмотрим последовательность

[ап).

Часто

бывает,

что точки

аъ

а2,

а3,

. . . ,

ап, . . .

по мере увеличения

их

номера п прибли

жаются к некоторой фиксированной точке а (рис. 74, а) так,

что

расстояние

\ап — а\

между

точками ап

и а уменьшается по мере

Знаком

= ,

называемым

знаком

т о ж д е с т в е н н о г о

р а в е н

с т в а ,

соединяют два тождественных друг другу

выражения

или символа.

Так, например, можно

писать: s i n 2

a - f

cos2 a

s i .

137

увеличения номера п и становится сколь угодно малым (т. е. ста новится меньше любого наперед заданного сколь угодно малого положительного числа е), когда номер п делается достаточно боль шим (превышает некоторое достаточно большое натуральное число

N).

В этом случае число а называют п р е д е л о м

последователь

ности

{ап}.

Говорят также,

что последовательность

{ап}

с т р е

м и т с я

к пределу а или с х о д и т с я

к а. Таким образом, при

ходим

к следующему

определению.

Определение

1. Число

а называется

пределом

последовательности

\ап),

если

для каждого

наперед заданного

положительного

числа е

можно

указать

такое

натуральное

число

зависящее

от е,

что

при

всех

п > N

будет

\ап--а\<е.

(5.1)

а)

Іа„-аІ

а2

а3

а„

а2

ап

в-окрестность точки а

Рис. 74

этом

определении

е — произвольное

положительное

число,

оно может быть сколь угодно мало.

Определение 2. Число

называется

пределом

функции

ап

— f (п),

если оно является

пределом

последовательности

[ап\

зна

чений

этой

функции.

Если последовательность {ап\ стремится

к пределу а (или, что

то же самое, функция ап

стремится к пределу а), то пишут 1іта„ =

= а или а„ -s- а.

Неравенство (2.1) эквивалентно двойному неравенству (см. §4.4):

—8 < ап—а < е,

или неравенству

а— г < ап < а + е.

Последнее неравенство говорит о том, что члены ап последова тельности \ап}, номер которых превышает достаточно большое натуральное число N, принадлежат е-окрестности точки а (рис. 74,6).

Таким образом, если lim ап = а, то все точки ап достаточно большого номера п принадлежат произвольной (сколь угодно ма лой) е-окрестности точки а. В этом случае произвольная е-окрест-

138

ность точки а содержит бесконечное множество членов последова тельности [ап], вне же этой окрестности может находиться не бо лее конечного числа точек ап (т. е. либо ни одной точки ап, либо конечное их число).

Пример 1. Рассмотрим последовательность

2 '	3
Докажем, что эта последовательность		имеет	пределом 1. Имеем
П + 1	j	1	1
п		п	— ? п

Таким образом, задав сколь угодно малое положительное число 8, бу дем иметь

I ап

— 1

I =

— < е

Л +

для

всех п > — . Но

отсюда и следует,

что lim — ^ —

= 1.

З а натуральное

число N здесь можно взять наибольшее целое число, содержащееся

в —— .

Пример

Докажем, 1что последовательность11

J _

( - 1 ) "

—

имеет своим

пределом

Задав

сколь угодно малое

будем

иметь

( - і ) " - т - •0

1 < б

л 2

для

всех

л >

—— . Но

отсюда

и следует, что hm

( — 1 /

За нату

р е

« а

ральное

число

N здесь

можно

взять

наибольшее

целое

число, содержащееся

в 7

Теорема. Если все

члены

последовательности

{ап}

равны

одному

итому же числу С, то и предел этой последовательности равен С.

Действительно, в этом случае произвольная е-окрестность точки

Ссодержит все члены данной последовательности, откуда и следует,

что lim ап = С.

Последовательность \ап), все члены которой равны одному и тому же числу С, является последовательностью значений постоян ной функции ап = / (п) = С (функции, тождественно равной С, т. е. равной С при всех п). Следствием определения 2 и последней теоремы будет тот факт, что пределом постоянной функции ап = С является С, что, как и предыдущий результат, записывают так:

l i m а„

lim С = С.

139

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1914 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ