Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Итенберг, С. И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости. Введение в анализ учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

7.47 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1913 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Существует бесконечное множество чисел, которые нельзя пред

ставить в виде ± - ~		, где р и q — натуральные;		эти числа		назы
ваются и р р а ц и о н а л ь н ы м и . К			ним относятся,		например
У~2, V^ÎO,	я и т. д. Все рациональные		и иррациональные			числа
образуют	множество	д е й с т в и т е л ь н ы х ,		или	в е щ е с т
в е н н ы х ,	чисел.

Действительное число можно представить в виде бесконечной десятичной дроби, периодической или непериодической. Укажем

основные

свойства

действительных

чисел,

широко

используемые

в дальнейшем.

Действительные

числа

упорядочены

по

величине.

Это

зна

чит,

что

любые

два

действительных

числа

b находятся

одном

и только

в одном

из трех отношений:

= b;

< Ь.

Между двумя

любыми

различными

действительными

числами

находится

бесконечно

много

рациональных

иррациональных

чисел.

Из

свойства

вытекает

'г

важное

следствие: всякое ир-

рациональное

число

можно

X<Q

x>ff

приближенно,

любой

сте

пенью

точности,

заменить

Рис. 58

рациональным.

Практически

такую

замену

можно

совер

шить,

превратив

бесконечную

десятичную дробь,

изображающую

иррациональное число, в конечную, сохранив при этом только конечное число первых десятичных знаков.

Действительное число можно геометрически изобразить точ кой на числовой оси. Ч и с л о в о й о с ь ю называется прямая, на которой указаны: положительное направление; точка О, назы ваемая началом отсчета; отрезок, длина которого принята за еди ницу. Расположим числовую ось горизонтально (рис. 58), а за по


ложительное	выберем направление вправо. Пусть		х — действи
тельное число; изображающая его точка строится так: если х					> О,
то эта точка	лежит правее точки О на расстоянии	х от нее;			если
X < 0 (а, следовательно, — х > 0), то изображающая			точка	лежит
влево от точки О на расстоянии — х. Наконец, если х			— 0,	изобра

жающая точка совпадает с точкой О. Обратно, каждой точке на числовой оси соответствует некоторое действительное число. Опи санное взаимно однозначное соответствие между точками числовой оси и действительными числами позволяет не различать в даль нейшем понятия «точка х на числовой оси» и «действительное число х».

4.3.ПРОМЕЖУТКИ. ОКРЕСТНОСТИ

Вматематическом анализе особенно часто приходится иметь

дело с числовыми	множествами, называемыми и н т е р в а л а м и .
О т к р ы т ы м	и н т е р в а л о м (а, Ь) называется множество

120

действительных чисел х, удовлетворяющих				неравенствам
	а <	X < Ь,
где а я b — некоторые фиксированные			числа.
З а м к н у т ы м	и н т е р в а л о м		[а,	Ь)	называется множе
ство действительных	чисел х, удовлетворяющих				неравенствам
	а <	X < Ь.
Рассматриваются	также	п о л у о т к р ы т ы е				интервалы,

замкнутые на одном конце и открытые на другом; они обозначаются

символами	la, b) и (a,	b] и опре
деляются	соответственно нера-		а '	.
венствами
а < х < Ь и а < х < Ь .			а	Л	Р
Геометрически на		числовой
оси интервалы изображаются от-

л	b
Р и с .	59

резками, без включения или с включением в них концевых точек (рис. 59).

Открытые, замкнутые и полуоткрытые интервалы носят общее

название к о н е ч н ы х

п р о м е ж у т к о в .

Во многих случаях

приходится

рассматривать

б е с к о н е ч н ы е

промежутки,

для

которых применяются

аналогичные

обозначения.

Например,

символ

(— оо,

+ °°) обозначает

множество

всех

действительных

чисел

или геометрически — всю

числовую

ось.

Символом (— оо, Ь) обозначают множество чисел х,

удовлетворяю

щее условию X <

Ь;

[а,

со) —• множество

чисел

х,

удовлетво

ряющее условию X ^> а,

и т. д.

Важным

для

дальнейшего

является понятие

о к р е с т н о

с т и . Окрестностью числах (или, на геометрическом

языке, точки х)

будем называть

всякий

открытый

интервал

(а,

ß),

содержащий

X, т. е. всякий

интервал

(а,

ß),

для

которого а

< х

ß.

Геометри

чески окрестностью точки х является любой отрезок числовой оси, содержащий точку х (рис. 60, а).

Часто бывает необходимо рассматривать такие	окрестности
точки X, для которых эта точка является серединой.	Окрестность

точки X, которая геометрически изображается отрезком длины 2е без включения в него концевых точек, серединой которого служит точка X, будем называть е - о к р е с т н о с т ь ю т о ч к и х. Та-

121

ким образом, е-окрестностью точки х называется открытый интервал (х — e, X + е), где е — некоторое положительное число (рис. 60, б).

Пусть Е — какое-нибудь числовое множество. Точка х назы вается в н у т р е н н е й точкой этого множества, если она при надлежит множеству Е вместе с некоторой своей окрестностью.

Точка X называется г р а н и ч н о й	точкой множества Е, если
любая окрестность точки х содержит	как точки, принадлежащие
Е, так и точки, не принадлежащие Е;	при этом сама точка х может
принадлежать или не принадлежать множеству.
Рассмотрим два примера.

1. Пусть множество представляет собой открытый интервал (1; 4). Лю бая точка X этого интервала является внутренней по отношению к нему;

действительно,	для	любой	точки	х	из интервала (1; 4)			можно указать доста
точно малую окрестность,			принадлежащую				этому интервалу. Граничными
точками интервала (1; 4) будут				точки хх		=	1, х2—Л,	не	принадлежащие
этому интервалу. Вообще любой				открытый интервал				(а, Ь) состоит только
из внутренних	точек.										х,
2. Рассмотрим		бесконечный		промежуток			[0; -f- со).		Любая	точка
удовлетворяющая		условию	х >	0,	будет	его внутренней			точкой.	Точка	0

(принадлежащая рассмотренному промежутку) будет его граничной точкой.

Таким	образом,	промежуток [0;			оо) состоит из		внутренних и из гранич
ной точек.
	4.4.	АБСОЛЮТНАЯ			ВЕЛИЧИНА		ЧИСЛА
А б с о л ю т н а я			в е л и ч и н а ,			или	м о д у л ь			действи
тельного	числа X обозначается символом \ х\						и	определяется усло
виями
			\|х\| —1	х '	е с л и
			1 — X,		если	X < 0.
			-х=ЫІ			х=Іхі
		/	Л		»/	А	">
		/			»/		">
		I			1		- I
		х<0		0			х>0
				Рис.	61
Таким	образом, имеем,			например,		\| 2 \| == 2,		\| 0 \|	= 0,	\| — 2\|	=
- - ( - 2 ) - 2 ,		\| - 4 \| = - ( - 4 ) = 4.
Геометрически		\| х \|	есть	расстояние		точки	х	от	нулевой точки
(рис. 61).
В силу данного определения имеем — \х							\ •< х ^		\х\;	действи
тельно, если X > 0, то справа будет знак равенства, а слева — знак
неравенства; если х <			0, то слева будет знак равенства, а справа								—
знак неравенства.
Нетрудно увидеть,			что неравенство
				\| х \| < а ,						(4.1)
где а > 0, равносильно двойному неравенству
			— а		X <С а.					(4.2)

122

Действительно, из неравенства (4.1) следует, что точка х на

ходится	от нулевой	точки на	расстоянии, не превышающем	а
(рис. 62), но это возможно только в том случае, если эта точка				на
ходится	в замкнутом	интервале	[—ее, + а ] , откуда вытекает нера

венство (4.2). Очевидно, что из неравенства (4.2) вытекает нера венство (4.1).

Равносильные неравенства (4.1) и (4.2) означают, что число х

лежит

в замкнутом

интервале [—а,

а ] .

j х \ <

Точно так

же очевидна равносильность неравенств

— а <

x < а. Эти

неравенства означают, что число х лежит в

от

крытом интервале

(— а,

а).

Для дальнейшего являются важными следующие свойства аб

солютной величины.

ос

-ос

Рис.

Модуль

суммы

не превосходит

суммы

модулей

слагаемых,

т.

\х

+ у\<\х\

+ \у\.

(4-3)

Действительно,

имеем

— | х | < * - < | х | и — | г / | < у < | г / | .

Обозначим

x +

= г,

\х \ +

\ у\

= а.

Тогда,

сложив

почленно

предыдущие неравенства,

получим

— а <; z <" а,

но отсюда следует,

что

\z\

- < а .

Подставив сюда значения 2 и а,

получим неравенство

(4.3).

Для случая п слагаемых свойство (4.3)

можно доказать

м е т о

д о м

м а т е м а т и ч е с к о й

и н д у к ц и и .

Предположим,

что это свойство справедливо для п слагаемых и докажем, что тогда оно справедливо и для случая (п + 1) слагаемых. Итак, имея в виду, что свойство (4.3) нами доказано для двух слагаемых и счи тая его справедливым для п слагаемых, имеем

Xn+l I

. < | * i l + t * 8 | + . • - + К І + К+1І -

Таким образом, если свойство (4.3) справедливо для п слагае мых, то оно справедливо и для (п + 1) слагаемых. Мы доказали

J23

справедливость свойства (4.3) для я = 2 слагаемых. Следовательно, оно справедливо и для п = 2 + 1 = 3 слагаемых; раз оно спра ведливо для п = 3 слагаемых, то справедливо и для я = 3 4- 1 = 4 слагаемых и т. д. Таким образом свойство (4.3) справедливо для любого числа слагаемых.

2. Модуль	разности не меньше	разности модулей	уменьшаемого
вычитаемого,	т. е.
	\х—у\>\х\	— \у\.	(4.4)

Пусть X — у =	z,	тогда х = у + z.		На основании предыдущего
свойства будем тогда		иметь -
		\х\ = \у	+ г \ < \ у \	+	\г\
	I		Л	,	I
	,		Л
а )			х2-х1=Іх2~х,І
	X,				хг
6)		х Г х 2 = - ( х 2 - х 1 ) =			Іх2-х1І
					_L
	*2				Х'

Рис . 63

ИЛИ

\х\<\у\ + \х—у\.

Отсюда следует неравенство (4.4).

В формулах (4.3) и (4.4) знаки равенства будут иметь место в том случае, когда х и у — числа одного знака, причем в формуле (1.4)— при дополнительном условии \ х\ > \ у\.

3.	Модуль		произведения		равен	произведению		модулей	сомножи
телей,	т.	е.	\ху	. . .	ш\| = И	М	• • • М -
			\ху	. . .	ш\| = И	М	• • • М -
4.	Модуль		частного	равен частному			модулей	делимого	и дели
теля,	т.	е.

у\у\

Справедливость двух последних свойств непосредственно вы текает из правила знаков при умножении и делении.

Пользуясь определением абсолютной величины, находим

v	V I	=	, 2 — 1 П	Р И	*2	>Хі,
\| Х 2	— Хі\	=	{		при
			— (х2—хг)		при	х2 < хх.

124

Отсюда следует, что независимо от взаимного расположения то

чек хх и х2 на числовой оси, \| х2			— хх\	представляет собой расстоя
ние между точками хх	и х2	(см. рис. 63, а и б, где представлены со
ответственно случаи х2	>	хх и	х2 <	хх).

4.5.ПРИБЛИЖЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ ЧИСЛА

Число	а называется	п р и б л и ж е н н ы м		з н а ч е н и е м
числа Ас	о ш и б к о й а,	если А = а + а. При этом а называется
приближенным значением		А	с н е д о с т а т к о м ,	если а < А,
и с и з б ы т к о м , если		а >	А.

Ошибка а обычно бывает неизвестна и вместо нее вводят в рас смотрение так называемую а б с о л ю т н у ю п о г р е ш н о с т ь А, которая представляет собой верхнюю границу для абсолютной величины ошибки а, т. е. число не меньшее | а | : | а | <; Д.

Абсолютную погрешность значительно легче определить, чем ошибку. Так, если измеряется длина с помощью масштабной ли нейки, цена деления которой 1 мм, то ошибка измерения не пре восходит одного миллиметра; в этом случае за абсолютную по грешность измерения можно принять А == 1 мм.

Сама абсолютная погрешность не дает достаточного представ ления о точности приближенного значения. Так, если в упомянутом

процессе	измерения	длин	в одном случае получили приближенное
значение длины а =		1 мм,	а в другом случае а =	1000 мм,	причем
в обоих	случаях абсолютная погрешность А =			1 мм, то	следует

признать первое измерение грубо неточным, второе же довольно точным.

Хорошее представление о точности приближенного значения дает так называемая о т н о с и т е л ь н а я п о г р е ш н о с т ь . Относительной погрешностью приближенного значения называется отношение абсолютной погрешности к абсолютной величине при ближенного значения.

Если относительную погрешность обозначить через о, то

В технике и физике часто приходится производить арифметиче ские действия над приближенными значениями. Погрешность ре зультатов этих действий можно определить с помощью следующих теорем.


Теорема		1.	Абсолютная		погрешность		алгебраической			суммы
равна	сумме	абсолютных		погрешностей			слагаемых.
Д о к а з а т е л ь с т в о .					Пусть	А	и В — точные		значения
некоторых		величин, а		и b — их приближенные				значения,		А х	и
А2 — соответствующие				абсолютные		погрешности,		так	что	\А	—
— а\|	<; Ах ,	\В	— Ь \| < ; А 2 .		Приближенным значением				алгебраи-

125

ческой суммы А + В является сумма а + Ь, при этом

I А + В — ( а +	H (Л— а) + (В —Ь) \| < \| Л — а\| +
+ \| ß — ô \| < Ai + A2 .
Отсюда ясно, что за	абсолютную	погрешность	приближенного
значения а + & можно	взять число	Д = Д 1 + Д 2	и теорема до

казана для случая суммы двух слагаемых. В общем случае теорема

доказывается	по	индукции.
Теорема	2.	Относительная	погрешность произведения		равна
сумме относительных погрешностей				сомножителей.

Д о к а з а т е л ь с т в о проведем для случая двух сомножи телей; общий случай доказывается по индукции.

Сохранив обозначения теоремы 1, положим А —• а = а; В —b =

= ß; Ô! = ^ - ; Ô2 = А . .
I « I	\ь\
Имеем А =	а + а; В = b + ß. Отсюда AB = ab + ab + aß +

+ aß . Последнее равенство показывает, что ошибка приближенного значения ab равна ab + aß + aß . Ошибки a и ß обычно настолько

малы, что и их произведением можно пренебречь;		в таком случае
ошибка приближенного значения ab	равна ab + aß. Так как
\|ob + flß\|<\|a\|-\|o\| + \| a \| - \|	ß \| < A i \| 6 \| +	A a \| a \| ,

то за абсолютную погрешность приближенного значения ab можно принять число A i I ô| + А 2 |a|. Теперь относительная погрешность равна

Ai I Ь I + Д2 1 а I

ДІ

Д 2

аЬ\

что и требовалось доказать.

Теорема 3.

Относительная

погрешность

частного

равна

сумме

относительных

погрешностей

делимого

делителя.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Используя обозначения

теоремы 2,

найдем:

а_

I ab —aß

& + ß

(b + ß) b

или, если в знаменателе пренебречь

величиной

ß,

обычно

малой

по сравнению с Ь, то

I «Ь — aß 1 ^

| а Ц Ь 1 +

| а )|Р|

^\Ь\

+ Ь2\а\

~В

Ь~

Ь2

б2

б3

Отсюда ясно, что за абсолютную

погрешность

приближенного

значения

-^- можно

принять

величину

126

Разделив это	выражение	на	, найдем значение относитель
ной погрешности	А	Л
	А	Л
	Ai I	А2	Si -г б2 )
	\| а \|	\| й	Si -г б2 )
	\| а \|	\| й
что и требовалось	доказать.

4.6.ПОСТОЯННЫЕ И ПЕРЕМЕННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Впрактической деятельности приходится встречаться с вели чинами разнообразной природы: длиной, объемом, весом, массой, энергией, температурой, временем и т. д. В условиях каждого кон кретного явления, каждой конкретной задачи одни из этих вели чин могут оставаться неизменными, другие же могут изменяться.

Величины первого рода называются п о с т о я н н ы м и , а вто рого — п е р е м е н н ы м и .

Чаще всего с понятием «переменная величина» мы интуитивно связываем величины, характеризующие некоторый физический про цесс и изменяющиеся со временем, т. е. переменные величины в фи зическом смысле этого слова. Так, например, говоря о переменной температуре, мы, естественно, представляем себе температуру не которого тела, изменяющуюся со временем (тело остывает или на гревается). Однако, наряду с переменными величинами (коротко — с переменными), изменяющимися во времени, можно рассматривать и переменные, никак не связанные со временем. Так, например, как переменную величину можно рассматривать периметр Р про извольного треугольника, радиус г произвольной окружности

ит. п.

Вматематическом анализе нас интересует только числовое вы ражение рассматриваемых величин, так как для закономерностей,

изучаемых	в математическом анализе,	совершенно безразлично,
идет ли речь о времени, массе, объеме		или о какой-нибудь другой
конкретной	величине.

Пусть имеется какая-нибудь переменная х. Числовые значения, которые принимает эта величина, образуют некоторое числовое множество X. В этом случае говорят, что величина х изменяется на множестве X.

Множество X называется о б л а с т ь ю и з м е н е н и я		пере
менной X. Каждое конкретное число из множества X	или	каждый
элемент этого множества называется з н а ч е н и е м	переменной х.

В частном случае, когда множество Х- состоит из одного-единст- венного элемента, величина х называется п о с т о я н н о й ве личиной; в этом случае пишут х = const. Мы будем рассматривать постоянную величину как частный случай величины переменной, именно как переменную величину, область изменения которой со стоит из одного-единственного элемента.

127

Пример. Рассмотрим множество всех треугольников, основанием кото

рых служит фиксированный отрезок AB,			а вершина С лежит на прямой /,
параллельной AB (рис. 64). Пусть длина			AB = a, а расстояние	между А В
и / равно	h = —	.
		2
Д л я	этого множества треугольников		постоянными будут:	1) длина ос

нования а; 2) высота А; 3) площадь S = —ah; 4) сумма внутренних углов,

равная п.

Переменными будут: 1) длины боковых сторон, изменяющиеся на про-

межутке | —

, + оо , так как наименьшая длина боковой стороны равна,

очевидно,				; 2) периметр, изменяющийся на промежутке		[За, + о о ) ,
так как наименьшим			будет периметр равнобедренного треугольника, который
при Л =		будет		и равносторонним; 3) углы	при основании,	изменяю
щиеся на промежутке (0, я) ; 4) угол при вершине,					изменяющийся	на проме
жутке	\|о,	' т а к к	а	к наибольшим будет угол при вершине равнобедрен
ного	треугольника.

4.7.ПОНЯТИЕ О ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ЗАВИСИМОСТИ

Одним из основных понятий математического анализа является понятие функции. Пусть имеются две переменные величины — х и у,

причем переменная х изменяется на множестве

Определение. Если в силу

некоторого закона

каждому

значению

переменной

х,

изменяющейся

на множестве

отвечает

определен

ное

значение

переменной

у, то

переменная

называется

функцией

от

переменной

х, определенной

на множестве

В этом случае говорят, что х и у связаны

ф у н к ц и о н а л ь

н о й з а в и с и м о с т ь ю .

Переменную

называют

а р г у

м е н т о м .

Множество X, на котором изменяется аргумент х,

на

зывается

о б л а с т ь ю

о п р е д е л е н и я

ф у н к ц и и .

Мно

жество Y

всех значений функций у называется о б л а с т ь ю

и з -

128

м е н е н и я	ф у н к ц и и . В анализе	множества X и	Y	чаще
всего являются промежутками (конечными и бесконечными).
Может	случиться, что каждому или	только некоторым		значе
ниям переменной х из множества X отвечает не одно, а			несколько

или даже бесконечное множество значений у. В этом случае у назы


вается м н о г о з н а ч н о й		функцией от х (в отличие от о д н о -
з н а ч н о й функции, определенной					выше).
Пример 1. Тело свободно падает в пустоте и через Т секунд достигает
земли. Путь, проходимый телом		за	время		t, выражается	формулой
S	= ~ g t 2		(g =		const).
Эта формула выражает	собой	закон,		в силу которого		каждому значению
времени t из интервала [О, Т] отвечает				определенное значение пути S. Сле
довательно, путь S, пройденный		телом		при свободном падении, есть функ

ция времени t. По смыслу примера аргумент t этой функции изменяется на

интервале		[О, Т],	следовательно, этот интервал и является областью опре
деления	функции.		Путь S изменяется от	0 до — g T 2 , поэтому интервал,
1	1			^
О, — g T 2		является областью изменения		функции.

, Таким образом, если рассматриваемая функциональная зави симость является математическим выражением некоторого физи ческого закона, то области определения и изменения функции устанавливаются в результате изучения тех физических условий, в которых протекает рассматриваемое явление.


	Часто задается		некоторая формула,			выражающая			переменную
у через переменную х и ни с каким физическим процессом										непос
редственно не		связанная. В этом			случае условимся			считать,			что
такая формула определяет функцию у на множестве X									тех	значе
ний x, которым отвечают действительные значения у.
	Пример 2.	Рассмотрим		формулу	у = ]/~2 — х.
	Множеству	значений х,		удовлетворяющих		неравенству		2 — х >		0	или
x <_ 2, эта формула ставит в соответствие определенное действительное											зна
чение у, т. е. определяет у как функцию от х. Здесь множество X									определяется
неравенством х < 2, следовательно, областью						определения		функции			будет
бесконечный промежуток (—• оо, 2 ] . Функция						у, очевидно,	будет изменяться
на	промежутке	[0, - j -	оо), следовательно, этот			промежуток	и будет множест
вом	Y, или областью		изменения функции.

Закон соответствия между переменными, связанными функцио нальной зависимостью, необязательно должен быть задан форму лой, как это имело место в двух разобранных выше примерах. Этот закон может быть задан и каким-нибудь иным способом, например, с помощью словесного описания, как в следующем примере.

Пример 3.	(Функция	Дирихле).	Пусть у = 1 для всех рациональных
x и у = О для всех иррациональных			х. С помощью этого описания каждому
действительному	числу х	ставится	в соответствие определенное значение у

(надо только знать, рационально или иррационально			это значение х), следо
вательно, это описание определяет у как функцию от			х.	Здесь множество	X,
или область определения функции, есть множество			всех действительных		х,
или бесконечный	промежуток (— оо, +	оо). Множество		Y, или область из
менения функции,	состоит всего из двух	чисел: 0 и	1.

129

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1913 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ