книги из ГПНТБ / Итенберг, С. И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости. Введение в анализ учеб. пособие

ли уравнение квадраты обеих координат или только квадрат одной координаты и первую степень другой.

Преобразование уравнения, содержащего квадраты обеих коор­ динат. В этом случае преобразование параллельного переноса вы­ полняется с целью получения уравнения, не содержащего первых степеней координат. Пусть дано уравнение

где А ф 0 и С ф 0.

Подставляя вместо х и у их выражения по формулам параллель­ ного переноса (3.35), получим

Отсюда для определения координат х0 и у0 начала новой си­ стемы координат х', у' имеем уравнения

2Ах0 — Ü - 0 и 2Су Е 0.

Так как, по предположению, коэффициенты А и С не равны ну­ лю, то из указанных уравнений всегда находятся числа х0 и г/0:

Таким образом, в новой системе координат х', у', смещенной па­ раллельным переносом относительно старой х, у в точку О' с коор­ динатами х0 и г/0, определенными по формулам (3.51), уравнение линии (3.49) будет иметь вид

в преобразованном уравнении (3.52) равен значению левой части преобразуемого уравнения (3.49) при х = х0 и у = у0. Подстав­ ляя вместо х0 и у0 их значения по формулам (3.51), найдем выраже­ ние свободного члена F' через коэффициенты исходного уравнения (3.49)

Преобразование уравнения, содержащего квадрат только одной координаты и первую степень другой. В этом случае преобразова­ ние параллельного переноса выполняется с целью получения урав-

110

нения, не содержащего первой степени координаты, квадрат ко­ торой присутствует в уравнении, и свободного члена. Пусть, на­ пример, уравнение имеет вид

Таким образом, в новой системе координат х', у', смещенной па­ раллельным переносом относительно старой x, у в точку О' с коор­ динатами х0, у0, определенными по формулам (3.55), уравнение линии (3.54) будет иметь вид

З а м е ч а н и е . Преобразование уравнения, не содержащего произведения координат, практически целесообразно выполнять непосредственно методом дополнения до полного квадрата. Так, на­ пример, для приведения уравнения вида (3.49) к виду (3.52) ле­ вую часть уравнения (3.49) последовательно преобразуем следую­ щим образом:

Заметим, что одновременно получены координаты нового на­

члена, определяемые формулами (3.51) и (3.53). Аналогичным об­ разом преобразовывается уравнение вида (3.54) к виду (3.56).

Для полноты исследования заметим, что уравнение второй сте­ пени в частном случае может содержать только одну координату, например у, т. е. иметь вид

Такое уравнение методом дополнения до полного квадрата, оче­ видно, всегда можно преобразовать к виду

Исследование общего уравнения линии второго порядка

Из изложенного следует, что всякое уравнение линии второго порядка путем соответствующего преобразования координат мо­ жет быть приведено либо к уравнению, содержащему только квад­ раты координат, т. е. уравнению вида

либо к уравнению, содержащему квадрат одной координаты и пер­ вую степень другой, например, вида

Таким образом, исследование общего уравнения второй степени с целью выяснения всех линий, определяемых таким уравнением, сводится к рассмотрению линий, соответствующих уравнениям (3.59), (3.60) и (3.61). Исследуем каждое из этих уравнений.

Уравнение вида (3.59). Если свободный член уравнения F Ф 0, то путем деления на — F уравнение приводится к виду

Рассмотрим теперь возможные комбинации знаков у коэффи­

получаем каноническое уравнение эллипса с полуосями

112

получаем каноническое уравнение гиперболы с вещественной и мни­ мой полуосями соответственно

Очевидно, что такое уравнение определяет одну точку (начало координат), если коэффициенты Л и С одного знака, и две пересе­ кающиеся прямые (в начале координат), если эти коэффициенты разных знаков.

т. е. каноническое уравнение параболы с параметром р, симметрич­ ной относительно оси х.

Уравнение вида (3.61). Это уравнение делением на коэффициент

ляются эллипсы, гиперболы и параболы. Кроме того, уравнение второй степени может определять точку, две пересекающиеся пря­ мые, две параллельные прямые, включая и предельный случай слияния их в одну прямую, и, наконец, мнимую линию. Эти гео­ метрические образы, соответствующие уравнению второй степени,

и построить эту линию.

Имеем

cos2 2а = -^— , 25

откуда, учитывая, что cos 2а < 0, находим

Таким образом, формулы преобразования поворота имеют вид:

V 5

Подставляем эти значения х и у в данное уравнение

Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем уравнение ли­ ний в системе координат х, у' .

114

Преобразуем правую часть уравнения, выделяя полный квадрат по х:

116

Совершая теперь параллельный перенос системы координат в точку

Рис . 57

Следовательно, рассматриваемая линия есть парабола с вершиной в точке О', симметричная относительно оси у'. Ветви параболы направлены в сторону положительной части оси у', если а > 0, и в противоположную сторону, если а < 0 (рис. 56).

Пример 4. Установить линию, определяемую уравнением ху = с 2 (с > 0).

117

РАЗДЕЛ II

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ

ГЛАВА 4

ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ

4.1.ПОНЯТИЕ МНОЖЕСТВА

о множестве всех корней данного уравнения, о множестве всех тре­ угольников, которые можно вписать в данную окружность, и т. д.

домов в данном городе есть конечное множество; множество же всех треугольников, которые можно вписать в данную окружность, яв­ ляется бесконечным множеством.

В курсе математического анализа нас будут интересовать глав­

1 2 5 100

щие числа: — , — , — , — и т. д.

2 3 12 127

4.2. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

Целые положительные числа 1, 2, 3, 4, . . . образуют множество

119