книги из ГПНТБ / Итенберг, С. И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости. Введение в анализ учеб. пособие

Чтобы получить уравнение данной линии (заданной уравнением

первоначальной (старой) системы координат к новой системе на­

Оу , Установим формулы, выражающие коор- '00

Преобразование поворота

Так называется преобразование от данной прямоугольной си­ стемы координат к новой прямоугольной системе, повернутой около начала на определенный угол.

100

Установим формулы, выражающие координаты произвольной точки M в системе х, у через ее координаты в системе х', у ' , повер­ нутой на угол а (рис. 48), отсчитываемый от положительного на­

Наряду с рассматриваемыми прямоугольными системами ко­ ординат, введем две вспомогательные полярные системы с общим полюсом в точке О, из которых первая имеет полярную ось, совпа­

Преобразование параллельного переноса и преобразование по­ ворота являются частными случаями общего преобразования пря­ моугольных координат в прямоугольные. Любое такое преобразо­ вание можно всегда свести к последовательному выполнению (в произвольном порядке) этих частных преобразований.

Отметим, что формулы преобразований координат на плоскости (3.35) и (3.37) являются формулами первой степени относительно координат. Отсюда следует важная теорема.

101

Но она не может стать и ниже второй, так как, если допустить, что при некотором преобразовании координат уравнение (3.34) перешло в уравнение первой степени, то при обратном преобразовании (от системы х', у' к системе х, у) степень уравнения должна повыситься до второй, что невозможно.

Таким образом, при любом преобразовании координат уравне­ ние (3.34) преобразуется в уравнение, содержащее, по крайней мере, один старший член, т. е. при любом преобразовании координат, линия второго порядка остается линией второго порядка.

3.6. ОСНОВНЫЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

При изучении линий второго порядка метод преобразования координат применяется с целью нахождения такой новой прямо­ угольной системы координат, в которой уравнение линии имеет наиболее простой вид.

Такие наиболее приспособленные к линиям второго порядка

Исследование общего уравнения второй степени показывает, что существуют всего три принципиально различные линии второго порядка и некоторое количество так называемых вырожденных слу­ чаев. Оказывается, что наличие в общем уравнении линии второго порядка шести членов связано не с большим разнообразием линий второго порядка, а с расположением линий относительно системы координат. Приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду показано в следующем параграфе. Здесь же, предварительно, рассмотрим основные линии второго порядка, ис­ ходя из их канонических уравнений.

102

два значения у, равные по абсолютной величине и противополож­ ные по знаку. Это означает, что линия симметрична относительно оси X. Аналогично, разрешая уравнение (3.39) относительно х, убеждаемся в том, что линия ограничена прямыми у = — b и у =

ках Вх (0, — Ь) и ß j (0, b). При возрастании абсолютного значе­ ния % от 0 до а абсолютное значение у убывает от b до 0. Таким об­ разом, эллипс представляет собой замкнутую линию овальной

т. е. уравнение окружности с центром в начале координат и ра­ диуса R. Таким образом, окружность можно рассматривать как частный случай эллипса при равных значениях полуосей.

Степень отклонения эллипса от окружности принято характери­ зовать эксцентриситетом эллипса

ружностью, при увеличении эксцентриситета от нуля до 1 эллипс

эллипса. Геометрический смысл фокусов эллипса определяется

103

эллипса.

Покажем еще, что эллипс с заданными полуосями а и b можно построить по точкам следующим образом. Возьмем концентрические окружности радиусов а и b (считаем для определенности, что a > b) с центром в начале координат и проведем луч под произвольным полярным углом t (рис. 51). Из точки А пересечения луча с боль­ шей окружностью проведем прямую, параллельную оси у, а из точки В пересечения его с меньшей окружностью — прямую, па­ раллельную оси x. Покажем, что точка M пересечения этих прямых

104

и, следовательно,

ô2 = 1,

т.е. каноническое уравнение искомого эллипса.

ременная точка M (х, у) описыва­ ет вес эллипс.

Гипербола

Гиперболой называется линия второго порядка, каноническое уравнение которой имеет вид

лютное значение у возрастает от нуля также до бесконечности.

105

Имея в виду симметричность гиперболы относительно осей коор­ динат, достаточно показать это для точек гиперболы, расположен­ ных в первом координатном углу.

Пусть M (х, у) — произвольная точка гиперболы (рис. 52). Обо­ значим через у' ординату точки N, лежащей на прямой

У= —Ь X

а

и имеющей ту же абсциссу, что и точка М, и рассмотрим разность у' — у. Так как

то

у ' - у = - £ - (* — VX*—а2) .

Умножая и деля правую часть этого равенства на х-\- ]/" х2—а2, получим

аX + У X* — Û 2

откуда видно, что при неограниченном увеличении х разность у'—у

Очевидно, у равнобочной гиперболы асимптотами являются пря­ мые ;/ = ± X (биссектрисы координатных углов), которые взаимно перпендикулярны. Форму гиперболы, так же как и эллипса, при­ нято характеризовать ее эксцентриситетом, вычисляемым по той же формуле (3.40)

но с числителем с — У а2 - р о2 . Так как в данном случае с У- а, то эксцентриситет гиперболы больше единицы. Чем меньше экс­ центриситет гиперболы, т. е. чем ближе он к единице, тем более

106

с а м и г и п е р б о л ы . Геометрический смысл фокусов гипер­ болы определяется следующей теоремой.

Теорема 2. Абсолютное значение разности расстояний любой

точки гиперболы до ее фокусов постоянно и равно длине веществен­ ной оси.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Поступая так же, как и при доказа­ тельстве теоремы 1, для произвольной точки M (х, у) гиперболы (рис. 52) находим

т. е.

MFxl — |'MF a || = 2fl.

З а м е ч а н и е 1. Так же как и в случае эллипса, можно по­ казать, что указанным свойством обладают только точки, лежащие на гиперболе, т. е. что гипербола является геометрическим местом точек на плоскости, абсолютное значение разностей расстояний которых от двух фиксированных точек есть величина постоянная. Обычно в курсах аналитической геометрии это свойство гиперболы принимается в качестве определения гиперболы.

Парабола

Параболой называется линия второго порядка, каноническое уравнение которой имеет вид

107

ния расположена вправо от оси у. Далее, так как уравнение содер­ жит у только в четной степени, то парабола симметрична относи­ тельно оси x. При х = О, и г/ = 0 и с увеличением х от нуля до бес­ конечности у увеличивается также от нуля до бесконечности. Та­ ким образом, парабола имеет вид, изображенный на рис. 53. Точка

Геометрический смысл фокуса 2и директрисы параболы определяется

произвольная точка параболы. Имеем (рис. 53)

| M F | = |MN |.

З а м е ч а н и е 2. Можно показать, что указанным свойством обладают только точки, лежащие на параболе, т. е., что парабола является геометрическим местом точек на плоскости, равноудален­ ных от данной точки и данной прямой. Обычно в курсах аналити­ ческой геометрии это свойство параболы принимается в качестве определения параболы.

3.7. ПРИВЕДЕНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ ЛИНИИ

ВТОРОГО ПОРЯДКА К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ

Обратимся теперь к исследованию общего уравнения линии вто­ рого порядка. Это исследование состоит из приведения уравнения к каноническому виду, установления вида линии и ее построения.

108

с целью приведения его к уравнению, не содержащему произведе­ ния координат, достигается при помощи преобразования поворота системы координат. Покажем, что всегда можно повернуть систему координат на такой угол а, что в преобразованном уравнении ко­ эффициент при произведении координат будет равен нулю.

Подставляя в старшие члены уравнения (3.46) вместо х и у их выражения по формулам (3.37) (только эти члены уравнения могут дать произведение координат х'у'), получим

A (x'cos а — г/'sin а ) 2 + В (x'cos а — y'sin а) (x'sina + + г/'cosa) -f- С (x's'm а + z/'cosa)2,

откуда, собирая члены с произведением х'у', находим коэффициент при этом произведении

— 2А sin a cos a -f- В (cos2a — sin2 a) + 2C sin a cos a = - — {A — С) sin 2a + В cos 2a.

Таким образом, для определения искомого угла a имеем уравне­

ние

В cos 2a — (Л — С) sin 2a = О,

откуда, так как В =/= 0 (при В = 0 исходное уравнение (3.46) уже

относительно старой х, у на угол а, определенный по формуле (3.47), уравнение линии (3.46) будет иметь вид

ный член уравнения при преобразовании поворота, очевидно, не меняет своего значения.

Важно отметить, что коэффициенты Л ' и С при квадратах но­ вых координат не могут обратиться одновременно в нуль, так как в таком случае уравнение (3.48) окажется уравнением первой сте­ пени, что по теореме, доказанной в конце § 3.5, невозможно.

Преобразование уравнения второй степени, не содержащего произведения координат

Упрощение уравнения линии второго порядка, не содержащего произведения координат, выполняется при помощи преобразова­ ния параллельного переноса системы координат. Это преобразова­ ние выполняется с разной целью в зависимости от того, содержит

109