книги из ГПНТБ / Итенберг, С. И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости. Введение в анализ учеб. пособие

радиусы-векторы всех точек прямой и не удовлетворяют радиусывекторы точек, не лежащих на прямой. Таким образом, равенство

является искомым уравнением прямой в векторном виде. Переходя

не лежащих на прямой. Таким образом, для каждой точки М, ле­

Параметрические уравнения прямой

Переходя от векторного уравнения (3.14) к эквивалентной ему системе равенств соответствующих координат векторов, получим уравнения прямой в параметрической форме

У = Уо + пі.

Параметр t может принимать любое вещественное значение.

90

Каноническое уравнение прямой

Если условие коллинеарности векторов г — г0 и S записать в виде равенства отношений соответствующих координат этих век­ торов, то получим уравнение прямой в канонической форме:

(3.16)

За м е ч а н и е 2. Каноническое уравнение прямой (3.16) можно получить также из параметрических уравнений (3.15) путем исключения параметра.

За м е ч а н и е 3. При выводе уравнения (3.16) предполага­ лось, что координаты направляющего вектора прямой отличны от нуля. Однако, чтобы не делать исключений, условились записы­

вать уравнение прямой в форме (3.16) и тогда, когда одно из чи­ сел m или п равно нулю. (Оба числа одновременно не могут быть равны нулю, так как очевидно, что | S | =f= 0.) В этом случае такая запись понимается в том смысле, что равен нулю числитель дроби, соответствующий нулевому значению знаменателя. Например, уравнение

нонической форме (3.16) (а, следовательно, и в параметрической (3.15)) в качестве направляющего вектора можно принять, оче­ видно, любой вектор, коллинеарный прямой.

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

Задача о составлении уравнения прямой, проходящей через две данные точки решается сразу, если использовать каноническую форму прямой (3.16). Действительно, если прямая проходит через точки Мг (xl7 ух) и М2 (х2, у2), то, принимая одну из этих точек, например Мх, в качестве фиксированной точки, а вектор, ограни­ ченный этими точками, например М1 М2 , в качестве направляющего вектора прямой, получим

Уравнение прямой в форме с угловым коэффициентом

Так называется уравнение прямой, разрешенное относительно ординаты у, т. е. уравнение вида

91

Установим геометрический смысл коэффициентов k и Ь. Полагая в уравнении (3.18) х = О, получим у = Ь. Таким образом, свобод­ ный член b есть ордината точки М0 пересечения прямой с осью у (рис. 44).

Чтобы установить геометрический смысл коэффициента k, пе­ репишем уравнение (3.18) в форме канонического уравнения

1 k

Отсюда видно, что вектор S {1, k\ лежит на прямой (направляю­ щий вектор). Из тригонометрии известно, что если проекция вектора на ось х равна единице, то проекция на ось у равна тангенсу угла ср между вектором и осью х, отсчитываемого в по­ ложительном направлении (против хода часовой стрелки). Таким образом,

92

1. Уравнение стороны AB. Так как прямая проходит через две данные точки А и В, то ее уравнение, согласно (3.17) будет

х+ у = 0 .

3.Уравнение высоты на сторону AB. Д л я составления этого уравнения имеем точку М, через которую проходят прямая и нормальный вектор, оп­

ределяемый точками А и В, например AB {4, — 2}, поэтому искомое уравне­ ние

4 (х + 2) — 2 (у — 2) = О,

откуда

2х — у — 6 = 0.

3.4. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ НА ПРЯМУЮ

Рассмотрим в общем виде решение основных задач на прямую на плоскости.

Вычисление угла между двумя прямыми

Под углом между прямыми понимается любой из двух смежных углов, образуемых прямыми. Один из этих углов острый, другой тупой, являющийся дополнением первого до я . (Если прямые пер­ пендикулярны, то оба угла прямые.) Из определения ясно, что угол между прямыми лежит в пределах от 0 до я .

Пусть даны две прямые

93

Заметим, что знак скалярного произведения, стоящего в чис­ лителе формулы (3.20), определяет, какой из углов — острый или тупой, доставляется этой формулой. Если оно положительно, то острый угол, если отрицательно — тупой.

Если

дикулярны. Очевидно обратное: если прямые (3.19) перпендику­

лярны, то имеет место равенство (3.21).

Обычно бывает удобнее вычислять не косинус, а тангенс угла Ѳ.

Поделив теперь это выражение на выражение для cos Ѳ по фор­ муле (3.20), получим

жду прямыми доставляется этими формулами. Если оно положи­

является необходимым и достаточным условием перпендикуляр­ ности прямых (3.23).

94

Пример 1. Найти угол между прямыми

X — у — 3 = 0, 2х + Ъу + 5 = 0.

По формуле (3.22) находим

tg Ѳ = - 5,

откуда Ѳ = arctg ( — 5).

Пример 2. Найти угол между прямыми

у = Ъх + 2, у = 2х + 1.

По формуле (3.25) находим

t g e= -у,

откуда Ѳ = arctg ~ - .

Пример 3. Найти угол между прямыми

Приводим уравнения к общей форме

Ъх + 2у — 1 = 0, Зх + у + 1 = 0

и по формуле (3.22) находим

95

и, следовательно, искомых прямых две:

Вычисление координат точки пересечения двух прямых

Так как точка пересечения прямых является их общей точкой, то ее координаты должны удовлетворять уравнениям этих прямых. Таким образом, данная задача сводится к решению системы из урав­ нений прямых.

Если прямые заданы уравнениями (3.19), то задача состоит в ре­ шении системы уравнений

(3.27)

А2х+В2у + С2 = 0. I

Такая система была подробно изучена в гл. 1 § 1.2. Если опре­ делитель этой системы

фО,

А2 В2

т. е.

(3.28)

(коэффициенты при неизвестных не пропорциональны), то система имеет единственное решение. Геометрически условие (3.28) озна­ чает, что прямые не параллельны, и, следовательно, имеют одну точку пересечения. Впрочем, непараллельность прямых (3.27) при условии (3.28) следует также из формулы (3.22) (tg Ѳ ф 0) и из того, что в этом случае нормальные векторы прямых не коллинеарны. Если же D = 0, т. е.

то система (3.27) либо не имеет решений, либо имеет бесконечное множество решений. Геометрически условие (3.29) означает, что прямые либо параллельны, если

и, следовательно, не пересекаются, либо совпадают, если

i l .

Аг

96

и, следовательно, любая точка является точкой пересечения прямых. З а м е ч а н и е 1. Очевидно, равенство (3.29) является необ­ ходимым и достаточным условием параллельности прямых (3.27). Это же условие для прямых, заданных уравнениями (3.23), преоб­

разуется к очевидному

ресечения прямых решается особенно просто, если одна из прямых задана параметрическими уравнениями. Пусть требуется найти

Находя отсюда значение параметра /, соответствующее точке пересечения прямых, по формулам (3.22) находим искомые коор­ динаты.

97

Вычисление расстояния d от данной точки до данной прямой

Пусть дана точка М0 (х0, у0) и прямая L уравнением в общей

Формулу (3.33) легко запомнить, если заметить, что числитель представляет собой абсолютное значение левой части уравнения прямой в общей форме, вычисленное в точке М0.

Пример 7. Найти расстояние от точки М0 (3, 5) до прямой

98

3.5. УРАВНЕНИЕ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ

Уравнением второй степени с двумя переменными х и у назы­

как тогда уравнение (3.34) перестанет быть уравнением второй степени (оно будет уравнением первой степени, изученным в пре­ дыдущих параграфах). Члены, содержащие квадраты переменных и их произведение, называются с т а р ш и м и членами уравнения (3.34). Таким образом, предполагается, что рассматриваемое урав­ нение содержит по крайней мере один старший член.

Как уже указывалось, линии на плоскости, соответствующие в декартовой системе координат уравнениям второй степени, на­

линий второго порядка является окружность. Действительно, если в уравнении окружности (3.2) произвольного радиуса R и с цент­ ром в произвольной точке С (а, Ь) раскрыть скобки и перенести все члены в левую часть, то получится уравнение второй степени вида (3.34).

Исследование общего уравнения линии второго порядка про­ изводится при помощи метода преобразования координат, состоя­ щего в переходе от данной прямоугольной системы координат к не­ которой другой, тоже прямоугольной системе, координат.

99