книги из ГПНТБ / Дьяченко, А. Н. Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Теория вероятностей и элементы математической статистики учебное пособие

соответствующее этому значению, является криволинейной трапе­ цией АВСЕ (см. рис. 13), образованной функцией г = f [х, у). При фиксированном у эта функция является функцией только одного аргумента х, который меняется от х х (у) до х 2 (у). Площадь кри­ волинейной трапеции будет зависеть от фиксированного у, т. е. будет являться функцией от у. Обозначим эту функцию 1Р (у), тогда

Формула (1.26) верна для любого у из интервала [с, d]. Воспользуемся, как и в предыдущем случае, формулой для вы­

числения объема тела, заданного площадями сечений:

v —I ^ (У) dy.

С

Подставив в это равенство формулу (1.26), получим, учитывая,

Если область D является простой (как в направлении оси х, так и в направлении оси у), то справедливы оба равенства: (1.25) и (1.27). Каждое из выражений, стоящих в правых частях этих ра­ венств, называется двукратным (или повторным) интегралом от функции / (х, у) по области D. Оба двукратных интеграла полу­

друга порядком интегрирования. Представление двойного интег­ рала двукратным иногда называют р а с с т а н о в к о й п р е д е ­ л о в в двойном интеграле.

Теорема. Если функция f (х, у) интегрируема в простой области.

D, то двойной интеграл от этой функции по области D равен каж­ дому из двукратных интегралов от функции f (х, у) по области D,

т. е.

Приведенные выше рассуждения доказывают эту теорему для частного случая, когда функция f (х, у) в области D непрерывна

иположительна. Доказательство теоремы для более общего случая, т. е. для любой функции, интегрируемой в D, выходит за рамки на­ шего курса.

Таким образом, формулы (1.25) и (1.27) могут служить для вы­ числения двойного интеграла.

20

Р е ш е н и е . Воспользуемся результатом примера 2, в котором граница рассматриваемой области была представлена в канонических формах.

1. Пусть граница области представлена в первой канонической форме:

Тогда, согласно формуле (1.25), можно представить двойной ин­ теграл двукратным:

D—1 x2+l

2.Пусть граница области представлена во второй канонической

форме:

у= 1 - , у — 5

{у — 3 при 2 < у < 5;

Согласно формуле (1.27), имеем:

из частей различных линий, имеющих разное аналитическое задание, двукратный интеграл, стоящий в правой части формулы (1.30), удоб­ нее представить в виде суммы двух интегралов:

(1.30а)

Очевидно, что для вычислений формула (1.28) удобнее, чем (1.30а).

Пример 5. Вычислить двойной интеграл JJx2ydxdy, где D — область, ог-

Соответственно, исходный двойной интеграл можно двумя спо­ собами представить в виде двукратного:

и

с помощью которой мы и вычислим исходный двойной интеграл. Вы­ числим «внутренний» интеграл, входящий в двукратный интеграл формулы (1.31):

Подставив этот результат в формулу (1.31), получим:

р> 0 ) .

Ре ш е н и е . Представим границу области D во второй кано­

нической форме (рис. 15):

В этом случае расстановку в двойном интеграле следует выпол­ нить по формуле (1.27), получаем следующую формулу:

23

Заметим, что если расставить пределы интегрирования другим способом (изменить порядок интегрирования), то формула для вычис­ ления двойного интеграла окажется более сложной. Действительно, границу области в этом случае необходимо будет представить в первой канонической форме:

1.4.Замена переменных в двойном интеграле

Постановка задачи. Пусть требуется вычислить двойной интег­ рал J от непрерывной функции / (х, у) по области D:

Рассмотрим кроме системы координат Оху, еще систему коорди­ нат Огт (рис. 16). Пусть заданы функции, связывающие перемен­ ные х и у с новыми переменными и и о:

Будем считать, что эти функции удовлетворяют следующим ус­ ловиям:

24

1)в плоскостй (uv) существует такая область D ', что между точками D' и D функции (1.33) устанавливают взаимно-однознач­ ное соответствие;

2)в области D' функции х (и, v) и у (и, v) имеют непрерывные частные производные первого порядка;

3)каждой линии области D' соответствует одна и только одна линия области D\

4)определитель

дх ду

называемый я к о б и а н о м , отличен от нуля для всех точек об­ ласти D '. При этих условиях требуется преобразовать интеграл J

As'

Ри с. 16

кдвойному интегралу по новым переменным и, следовательно, по области D'.

Геометрический смысл якобиана. Рассмотрим произвольное дробление области D и соответствующее ему дробление области D'.

Пусть криволинейный четырехугольник А 1А 2А3А4 (рис. 16) с пло­ щадью As есть часть области D, а соответствующий ему криволи­

нейный четырехугольник А\А2АЪ4 с площадью As' — часть об­

ласти D'. Пусть координаты точек А{ будут (uh vt), а координаты точек Аг— (хг- г/г), где i = 1, 2, 3, 4. Согласно ранее принятым допущениям, х, = х (щ, ог); yt = у (Щ, vt).

Рассмотрим матрицы:

щ — щ i>2—v± \ _

и3---U% Vs--- /

25

Заметим, что все элементы полученной матрицы — полные диф­ ференциалы функций х (и, v) я у (и, и).* Считая, что приращения аргументов и и v малы, заменим дифференциалы функций их при­ ращениями ** и получим следующее приближенное равенство:

По теореме об определителе произведения матриц *** имеем

Будем считать, что рассматриваемые криволинейные четырех­ угольники — параллелограммы. (При малом ранге дробления об­ ласти D погрешность этого допущения мала.) Площадь паралле­ лограмма может быть вычислена как удвоенная площадь треуголь­ ника, а площадь последнего — по формуле (2.77) [3], т. е.

«2 — «1 Ц2 — щ

;As'

Таким образом, абсолютная величина якобиана может быть рассмотрена как коэффициент деформирования площадей частич­ ных областей при преобразовании по формулам (1.33).

*См. [3], формула (4.12).

**См. [3], формула (4.15).

***См. [1], формула (1.82).

26

Формула замены переменных в двойном интеграле. Для вычис­ ления двойного интеграла J составим интегральную сумму:

Применяя формулу (1.36) к каждой частичной области, получим:

Ask ж 11 1Ask (k= 1, 2, . . . , п).

Подставив это соотношение в (1.38), получим приближенное равенство

Перейдем в этом равенстве к пределу при стремлении к нулю ранга дробления области D, заметив, что при этом стремится к нулю и ранг дробления области D ' . В левой части равенства (1.39) содержится интегральная сумма по области D от функции f (х, у), а в правой части равенства — интегральная сумма по области D' от функции

f (х(и, v), у (и, v) ) 11 1.

При переходе к пределу в равенстве (1.39) приближенное равен­ ство станет точным; получим:

DЪ!

Спомощью этой формулы и осуществляется замена переменных

вдвойном интеграле.

Переход в двойном интеграле к полярным координатам. Переход от декартовых координат к полярным осуществляется, как известно, с помощью формул х == р cos ср; у = р sin ф. Вычислим якобиан этого преобразования:

Подставив этот результат в формулу (1.40), получим:

Это и есть формула перехода в двойном интеграле от декартовых координат к полярным.

27

Пример 7. Двойной интеграл J = J [ xydxdy, где D — четверть круга

D

х2 + у2 = R2, вычислить двумя способами: 1) в декартовой системе координат, 2) в полярной системе координат.

1. Расставим пределы интегрирования:

оо

Вычислим внутренний интеграл:

Воспользуемся формулой (1.41), имеем:

нат О'фр области D соответствует область D' — прямоугольник, изо­ браженный на рис. 17. Расставляя пределы по области D' , имеем:

28

1.5.Приложения двойных интегралов

Вычисление площадей плоских фигур. Как уже [известно [см. (1.16)], площадь области D может быть выражена двойным интег­ ралом по этой области от функции f (х, у) = 1, т. е.

Вычисление объемов. Пусть функция f (х, у) непрерывна в об­ ласти D. Рассмотрим цилиндроид, образованный функцией f (х, у) над областью D. Если в обла­

сти D f(x, у)>>0, то цилиндроид имеет вид, изображенный на рис. 2, а объем цилиндроида, как было показано выше (1.5), может быть определен по фор­ муле

жет быть определен по формуле

Р и с. 18

o = f Л fix, у) |dxdy. (1.45)

D

Заметим, что формула (1.45) является обобщением формулы (1.44) , так как при f (х, у) > 0 из формулы (1.45) следует формула

(1.44) .

Пусть в области D функция / (х, у) меняет знак и пусть, область D можно разбить на конечное число областей D lt D %, . . . , Dn, в каждой из которых функция / (х, у) имеет один и тот же знак. Для каждой из областей Dk применим формулу (1.45) и просуммируем результаты. Получим:

29