книги из ГПНТБ / Дьяченко, А. Н. Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Теория вероятностей и элементы математической статистики учебное пособие
.pdfВыразим коэффициенты системы уравнений и свободные члены через выборочные характеристики случайных величин х и у. Напом ним, что выборочные математические ожидания т*х и т* величин х и у определяются формулами:
т* —_L v х |
т.. |
V у |
i=i |
у |
п i=l |
Выборочный корреляционный момент равен: |
||
Раскрыв скобки и производя |
суммирование, получаем: |
|
к;„ =ф2[хЛ-т;к,--т;х,+<*>;] =
= ± \ 1x,Y^nC-L-StYl- m; - L z x , + тхту* * .
Откуда находим, что
— V x . y . = K* + т*т*.
п i=i,г?\ 1 ' ХУ х У
Выборочная дисперсия случайной величины х равна:
Раскрыв скобки, получим:
[Х * -2 m ; x i + m ? ] |
. ^ X 2-2m*x^ - ^ X i+ m*2. |
||
Следовательно, |
|
i=i ‘ |
х п i=i 1 * |
|
|
|
|
— |
> ]Х 2 = Р* |
I trt I |
|
п |
Д ‘ |
|
|
Подставляя найденные выражения в систему уравнений (6.50), преобразуем ее к виду:
к : |
т*т*— aD* — am*2— bm* = 0; |
||
YU |
Y X |
Г ' |
|
|
til.. |
— am*— b= 0. |
|
Умножая второе уравнение на гпх и вычитая из первого, найдем:
а= к'х:у
D
180
Подставляя найденное значение а во второе уравнение, опреде лим
|
Ь= т* |
|
Кху т . |
|
|
|
|
|
D. |
|
|
Заметим далее, |
что |
|
|
|
|
|
П : = а !2 и |
К ХУ |
Г |
|
|
|
|
|
|
х у ' |
|
поэтому найденные значения а и b можно |
представить в следующей |
||||
форме: |
|
|
|
|
|
а — г* -^тг- ; |
Ь = т*— г*-^-т*_. |
|
|||
|
ху |
|
|
ху |
|
Подставляя эти |
выражения |
в |
(6.49), |
получаем |
зависимость у |
от х в виде |
|
|
* |
/ |
|
|
у = тУ - г ху |
|
(6.51) |
||
|
{ * - < ) ■ |
||||
Регрессия. Линейная функция у от х, определяемая соотноше нием (6.51), называется л и н е й н о й р е г р е с с и е й у на х. Эта функция используется для характеристики зависимости у от х и в тех случаях, когда истинная зависимость между у и х не яв ляется линейной, и в тех случаях, когда между случайными вели чинами х и у нет функциональной зависимости, но значения их связаны вероятностными закономерностями. Иногда зависимость переменной у от переменной х ищется по методу наименьших квад ратов в виде многочлена степени п. Этот многочлен называют рег рессией порядка п.
ПРИЛОЖЕНИЯ
Т а б л и ц а I
Значения нормальной функции распределения Ф (х)
X |
Ф (х) |
X |
Ф U) |
X |
ф (*: |
X |
Ф U) |
0 , 0 |
0,50000 |
1 , 0 |
0,84134 |
2 , 0 |
0,97725 |
3,0 |
0,99865 |
0 , 1 |
0,53983 |
1,1 |
0,86433 |
2, 1 |
0,98214 |
3,1 |
0,99903 |
0 , 2 |
0,57926 |
1, 2 |
0,88493 |
2 , 2 |
0,98610 |
3,2 |
0,99931 |
0,3 |
0,61791 |
1,3 |
0,90320 |
2,3 |
0,98928 |
3,3 |
0,99952 |
0,4 |
0,65542 |
1,4 |
0,91924 |
2,4 |
0,99180 |
3,4 |
0,99966 |
0,5 |
0,69146 |
1,5 |
0,93319 |
2,5 |
0,99379 |
3,5 |
0,99977 |
0 , 6 |
0,72575 |
1 , 6 |
0,94520 |
2 , 6 |
0,99534 |
3,6 |
0,99984 |
0,7 |
0,75804 |
1,7 |
0,95543 |
2,7 |
0,99653 |
3,7 |
0,99989 |
0 , 8 |
0,78814 |
1, 8 |
0,96407 |
2 , 8 |
0,99744 |
3,8 |
0,99993 |
0,9 |
0,81594 |
1,9 |
0,97128 |
2,9 |
0,99813 |
4,0 |
0,99997 |
При отрицательных значениях 2 функция Ф (х) вычисляется по соотношению Ф (— х) = 1 — Ф (х). При х > 4 принимаем Ф (х) « 1.
181
Т а б л и ц а 11
Величины тр квантили порядка 1 + р распределения Стьюдента
|
2 |
о» 2 |
|
С |
р |
си о |
° О
о®
§«
gss |
0,99 |
0,98 |
0,95 |
0,90 |
0,80 |
0,70 |
0,60 |
3- в |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
63,66 |
31,82 |
12,70 |
6,31 |
3,08 |
1,96 |
1,33 |
2 |
9,23 |
6,97 |
4,30 |
2,92 |
1,89 |
1,39 |
1,06 |
3 |
5,84 |
4,34 |
3,18 |
2,35 |
1,64 |
1,25 |
0,98 |
4 |
4,60 |
3,75 |
2,78 |
2,13 |
1,53 |
1,19 |
0,94 |
5 |
4,03 |
3,37 |
2,57 |
2,02 |
1,28 |
1,16 |
0,92 |
6 |
3,71 |
3,14 |
2,45 |
1,94 |
1,44 |
1,13 |
0,91 |
7 |
3,50 |
3,00 |
2,37 |
1,90 |
1,42 |
1,12 |
0,90 |
9 |
3,25 |
2,82 |
2,26 |
1,83 |
1,38 |
1,10 |
0,88 |
12 |
3,06 |
2,68 |
2,18 |
1,78 |
1,36 |
1,08 |
0,87 |
16 |
2,92 |
2,58 |
2,12 |
1,75 |
1,34 |
1,07 |
0,87 |
20 |
2,84 |
2,53 |
2,09 |
1,73 |
1,33 |
1,06 |
0,86 |
30 |
2,75 |
2,46 |
2,04 |
1,70 |
1,31 |
1,06 |
0,85 |
40 |
2,70 |
2,42 |
2,02 |
1,69 |
1,30 |
1,05 |
0,85 |
60 |
2,66 |
2,39 |
2,00 |
t,67 |
1,30 |
1,05. |
0,85 |
00 |
2,58 |
2,38 |
1,96 |
1,65 |
1,28 |
1,04 |
0,84 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ца III |
|
|
|
|
а — квантили |
у} — распределения Пирсона |
|
|
||||
Число сте |
|
|
|
|
а |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
пеней |
сво |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
боды |
0,01 |
0,02 |
0.05 |
0,10 |
0,20 |
0,5 |
0,95 |
0,99 |
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
0 ,0 0016 |
0 ,0 0 3 9 |
0 ,4 5 5 |
1,64 |
2,71 |
3 ,8 4 |
5,41 |
6 ,6 4 |
|
2 |
|
0 ,0 2 0 |
0 ,1 0 |
1,39 |
3 ,2 2 |
4,61 |
5 ,9 9 |
7 ,8 2 |
9,21 |
|
3 |
|
0 ,1 2 |
0 ,3 5 |
2 ,3 7 |
4 ,6 4 |
6 ,2 5 |
7,81 |
9 ,8 4 |
11,34 |
|
4 |
|
0 ,3 0 |
0,71 |
3 ,3 6 |
5 ,9 9 |
7 ,7 8 |
9 ,4 9 |
11,67 |
13,28 |
|
5 |
|
0 ,5 5 |
1,15 |
4 ,3 5 |
7 ,2 9 |
9 ,2 4 |
11,07 |
13,39 |
15,09 |
|
6 |
|
0 ,8 7 |
1 ,6 4 |
5 ,3 5 |
8 ,5 6 |
10,65 |
12,59 |
15,03 |
16,81 |
|
7 |
|
1,24 |
2 ,1 7 |
6 ,3 5 |
9 ,8 0 |
12,02 |
14 ,07 |
16,62 |
18,48 |
|
9 |
|
2 ,0 9 |
3 ,3 3 |
8 ,3 4 |
12,24 |
14,68 |
16,92 |
19,68 |
2 1 ,6 7 |
|
12 |
|
3 ,5 7 |
5 ,2 3 |
11,34 |
15,81 |
18,54 |
2 1 ,0 7 |
24 ,05 |
2 6 ,2 2 |
|
14 |
|
4 ,6 6 |
6 ,5 7 |
13,34 |
18,15 |
2 1 ,0 6 |
2 3 ,6 9 |
2 6 ,8 7 |
2 9 ,1 4 |
|
20 |
|
8 ,2 6 |
10,85 |
19,34 |
2 5 ,0 4 |
28,41 |
31,41 |
3 5 ,0 2 |
3 7 ,5 7 |
' |
24 |
|
10,86 |
13,85 |
2 3 ,3 4 |
29 ,55 |
3 3 ,2 0 |
3 6 ,4 2 |
4 0 ,2 7 |
4 2 ,9 8 |
|
28 |
|
13,57 |
16,93 |
2 7 ,3 4 |
3 4 ,0 3 |
3 7 ,9 2 |
4 1 ,3 4 |
4 5 ,4 2 |
4 8 ,2 8 |
|
30 |
|
14,95 |
18,49 |
2 9 ,34 |
3 6 ,2 5 |
4 0 ,2 6 |
4 3 ,7 7 |
4 7 ,9 6 |
5 0 ,8 9 |
О Г Л А В Л Е Н И Е
|
Стр. |
Предисловие.......................................................................... |
3 |
Раздел I. Интегральное исчисление функций нескольких переменных
Г л а в а |
1. Двойные |
интегралы............................................................... |
|
5 |
|||
1.1. |
Основные понятия |
и определения.................................................... |
|
— |
|||
1.2. |
Свойства |
двойного |
интеграла............................................................ |
|
10 |
||
1.3. |
Вычисление |
двойных |
интегралов.................................................... |
|
13 |
||
1.4. |
Замена переменных в двойном интеграле........................................ |
|
24 |
||||
1.5. |
Приложения |
двойных |
интегралов ; .............................................. |
|
29 |
||
Г л а в а |
2. Тройные |
интегралы....................................................................... |
|
37 |
|||
2.1. |
Основные понятия |
и определения.................................................... |
|
— |
|||
2.2. |
Свойства тройного интеграла............................................................ |
|
38 |
||||
2.3. |
Вычисление |
тройных |
интегралов.................................................... |
|
40 |
||
2.4. |
Замена переменных в тройном интеграле........................................ |
|
45 |
||||
2.5. |
Приложения |
тройных |
интегралов.................................................... |
|
48 |
||
Г л а в а |
3. Криволинейные |
|
интегралы ....................................................... |
|
52 |
||
3.1. |
Криволинейные интегралы первогор о д а .......................................... |
|
— |
||||
3.2. |
Криволинейные интегралы второгор о д а .......................................... |
|
59 |
||||
3.3. |
Формула |
Г р и н а .................................................................................... |
|
|
|
65 |
|
3.4. |
Условия независимости криволинейного интеграла от пути ин |
||||||
|
тегрирования |
................................................... |
|
|
- . .......................... |
68 |
|
Раздел II. Теория вероятностей и элементы математической статистики
Г л а в а |
|
4. События и их вероятности........................................................... |
72 |
4. |
1. |
Предмет теории, вероятностей и математической статистики |
. — |
4. |
2. |
События. Обозначение иклассификация собы тий...................... |
74 |
4. |
3. |
Алгебра собы тий................................................................................ |
76 |
4. |
4.Поле событий. Пространство элементарных событий. . . . |
78 |
|
4. |
5.Свойства частот. Определение вероятности............................. |
83 |
|
4. |
6 . Свойства вероятности событий. Теорема сложения вероятно |
||
4. |
|
стей .................................................................................................... |
84 |
7.Вычисление вероятностей событий п о л я ................................. |
86 |
||
4. |
8 .Некоторые сведения из комбинаторного анализа.................. |
90 |
|
4.9.Условные вероятности. Теорема умножения вероятностей . . 96
4.10. Независимость событий иопы тов..................................................... |
98 |
|
4.11. |
Последовательность независимых одинаковых опытов (схема |
|
|
Бернулли) ...................................................................................... |
101 |
4.12. |
Формула полной вероятности и формула Б а й е с а .................... |
103 |
183
Г л а в а |
|
5. Случайные величины........................ |
106 |
|
5. |
1. |
Понятие случайной величины....................................................... |
— |
|
5. |
2. |
Ряд распределения.......................... |
108 |
|
5. |
3. |
Функция |
распределения............................................................... |
ПО |
5. |
4. |
Плотность |
вероятности............................................................... |
.114 |
5. |
5. |
Нормальное распределение скалярной случайной величины |
. 117 |
|
5.6. Многомерные случайные величины (случайные векторы) . . 120
5.7. Частные и условные законы распределения координат случай
5. |
|
ного вектора. Независимость случайных величин....................... |
125 |
8. Числовые характеристики скалярных случайных величин . |
134 |
||
5. |
9. |
Числовые характеристики векторных случайных величин . . |
144 |
5.10. |
Функции случайных величин ....................................................... |
147 |
|
5.11. |
Предельные теоремы теории вероятностей................................... |
150 |
|
Г л а в а |
|
6. Элементы математической статистики....................................... |
154 |
6.1. |
Генеральная совокупность и выборка. Основные задачи мате |
— |
|
6.2. |
матической - статистики....................................................................... |
||
Описание и систематизация вы борки............................................... |
156 |
||
6.3.Точечные оценки параметров генеральной совокупности . . . 160
6.4.Доверительные интервалы и доверительные вероятности . . . 167
6.5. Обработка результатов измерения................................................... |
173 |
П р и л о ж е н и я .............................................................................................. |
181 |
Редактор Н. К. Гурова |
|
Сдано в набор 6 /V III 1974 г. Подписано к печати 30/XII |
1974 г. М-58062. Бу |
мага бОХЭО'Лв. Печ. л. 11,5. Уч.-изд. л. 14,5. Заказ № |
1740. Тираж 5000. |
Цена 84 коп. |
|
Ленинградская типография № 4 Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книж ной торговли, 196126, Ленинград, Ф-126, Социалистическая ул., 14.
