книги из ГПНТБ / Дьяченко, А. Н. Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Теория вероятностей и элементы математической статистики учебное пособие

Площадь S (OLMN) = Г2, площадь S (OabMcd) равна площади квадрата минус площадь двух треугольников, т. е.

S (OabMcd) = Г 2 — (Т—т)2.

Поэтому

4.8. Некоторые сведения из комбинаторного анализа

При вычислении вероятности события А на основе классического определения, т. е. по формуле (4.22), нужно уметь находить число всех возможных случаев п и число случаев, благоприятствующих А. Эта задача облегчается систематическим применением комбинатор­ ных правил. Некоторые из них приводятся ниже.

нии i-ой строки с /-м столбцом. Таким образом, число всех различ­ ных пар будет равно: п = 1т. Например, в качестве множества эле­ ментов можно взять четыре масти и девять различных значений карт (от шестерки до туза). Каждая карта определяется мастью и значением. В колоде существует 4-9 = 36 таких комбинаций масти

изначения.

2.Если имеется г групп элементов с т1 элементами в первой

Так, если прибор собирается из г узлов и первый узел изготов­ ляется в лг вариантах, второй в л2-вариантах и т. д., то можно соб­ рать п — nxti2 •. . . ■пг различных вариантов прибора.

Размещение п различимых шаров по N различимым ящикам можно рассматривать как выбор одного из N ящиков для каждого

шара. Число всех возможных случаев здесь равно Nn.

3. В статистике множество элементов аъ а2, . . . , ат, о котором хотят составить некоторое суждение, называют генеральной сово­ купностью. Для исследования генеральной совокупности из нее один за другим выбирают г элементов и таким образом получают комбинацию из г элементов, взятых в определенном порядке. Эту комбинацию элементов называют выборкой объема г.

Существуют два способа выбора элементов. Первый — выбор с возвращением. В этом случае, после того, как очередной элемент выбран и обследован, он снова возвращается в генеральную совоку пность и выбор следующего элемента производится опять из всей генеральной совокупности. Число таких выборок равно числу раз­ мещений г различимых шаров по т различимым ящикам: для каж­ дого места в выборке (шара) выбирается один из т элементов генеральной совокупности (ящиков). Таким образом, число различ­

90

ных выборок объема г с возвращением из генеральной совокупности т предметов равно п = тг.

Второй способ — выбор без возвращения. Однажды выбранный элемент удаляется из генеральной совокупности, так что выборка не содержит повторяющихся элементов. В этом случае первый член выборки может быть выбран т способами, второй — т— 1 способом и т. д. Такая выборка совпадает с комбинацией элементов, взятых по одному из групп, первая из которых содержит т элементов, вторая — т— 1, и т. д., последняя т—г + 1 элемент, поэтому число различных выборок объема г без возвращения из генеральной со­

Эту величину называют иногда размещением г по т и обозна­

чают (т)г или Агт. Если размещается г шаров по т ящикам и при этом запрещено помещать в каждый ящик более чем по одному шару, то число раз­ личных случаев равно (т)г.

Если размещаются т шаров по т ящикам (по одному в каждый), то раз­ личные варианты отличаются только по­

рядком элементов и их называют перестановками Полагая в формуле (4.25) г = т, получим число из т элементов:

Пт= т(т— 1 )-{т— 2)- . . . ■2Л=т\

4. В ряде задач важно знать, из каких предметов состоит сово­ купность, а порядок предметов в совокупности безразличен. Пусть из т предметов составляются совокупности по г предметов, при этом совокупности считаются различными, если они отличаются хотя бы одним элементом, и одинаковыми, если они отличаются только порядком элементов. Такие совокупности предметов называют со­ четаниями из т предметов по г. Чтобы подсчитать число сочетаний из т предметов по г, предположим что т предметов располагаются один за другим слева направо (рис. 41). Сочетание образуется са­ мыми левыми г предметами. Известно, что т предметов можно рас­ положить в различном порядке т\ способами. При этом способы, отличающиеся только порядком левых г предметов и правых т—г предметов, образуют одно и то же сочетание. Число перестановок левых г предметов г!, правых т—г предметов (т—г)!, т. е. одному сочетанию соответствует г\ (т—г) ! перестановок предметов, или число перестановок т предметов в г\ (т—г) ! раз больше числа со­ четаний. Следовательно, число сочетаний из т предметов по г равно:

91

бинома Ньютона, поэтому его называют еще биномиальным коэффи­

циентом.

Замечание. Так как при больших т вычислять т\ трудно, для вычис­ ления ml пользуются приближенной формулой Стирлинга:

Пример 11. Найти вероятность того, что сумма очков при двух бросаниях

Подставляя тА и п в (4.22), получаем:

Пример 12. Среди 25 экзаменационных билетов имеется 5 «счастливых» и 20 «несчастливых». Перед началом экзамена студенты по очереди слу­ чайным образом берут билеты, не возвращая их обратно. У кого больше вероятность взять «счастливый» билет: у того, кто подошел первым или у того, кто подошел вторым? Какова вероятность, что хотя бы один из первых двух студентов вытянет «счастливый» билет?

Р е ш е н и е . Для определенности будем считать, что «счастли­ вые» билеты имеют номера 1, 2, 3, 4, 5. Поскольку нас интересуют только билеты, взятые первыми двумя студентами, можно считать, что в опыте наблюдаются номера только этих билетов и результат опыта (элементарное событие) представить упорядоченной парой чи­ сел (г, /), где i — номер билета, взятого первым студентом, / — номер билета, взятого вторым студентом. Число элементарных событий в рас­ сматриваемом опыте, равно числу выборок объема 2 без возвращения

92

Так как студенты не возвращают билеты обратно, то у двух сту­ дентов не могут быть билеты с одинаковыми номерами, т. е. в паре (г, j) обязательно i =j=j и поэтому клетки, расположенные на главной диагонали таблицы (см. рис. 43), не принадлежат пространству эле­ ментарных событий.

При определении вероятностей интересующих нас событий будем считать элементарные события равновероятными и воспользуемся формулой (4.22). Число всех элементарых событий (случаев) п = 600. Событию А — первый студент взял «счастливый» билет — благопри­ ятствует тА — 25-5 — 5 = 120 случаев. Они изображаются клет­

ками, расположенными выше горизонтальной пунктирной линии. Событию В — второй студент взял «счастливый» билет благоприятст­ вует столько же случаев. Они изо­ бражаются клетками, расположен­ ными левее вертикальной пунктир­ ной линии. Таким образом, вероят­ ности взять «счастливый» билет для первого и второго студентов одина­ ковы:

т,

Р (А) = — — = Р (В) =

п

__ тв _ 120 _ 1

~и ~ 600 ~ 5 '

Событие С — хотя бы один из первых двух студентов вытянет «счастливый» билет — является сум­ мой событий А и В : С — А + В.

Поскольку события А и В могут произойти одновременно (АВ Ф А), то для вычисления их суммы нужно воспользоваться формулой (4.18).

Мы нашли, что Р (А) = Р (В) = — . Найдем вероятность события

5

АВ ■— оба студента вытянули счастливые билеты. Это событие экви­

Пример 13. Шеститомное собрание сочинений расположено на полке случайным образом. Чему равна вероятность того, что: а) тома стоят

93

которые отличаются первыми картами .(наблюдать только первую карту при раздаче). Каждый такой вариант является элементарным событием. Предполагая, что любая из 36 карт может быть первой с оди­ наковой вероятностью и никаких других вариантов первой карты не может быть, видим, что пространство элементарных событий состоит из 36 равновероятных элементарных событий. Из них 4 (четыре туза) благоприятствуют событию А и 9 (девять бубновых карт) событию В. Применяя формулу (4.22), находим:

Для того, чтобы решить задачу 2 недостаточно наблюдать только первую карту — нужно наблюдать все карты, доставшиеся игроку, получившему эту карту, в связи с чем придется ввести другое прост­ ранство элементарных событий. Будем считать теперь элементарным событием каждый вариант сдачи карт первому игроку. Игроку сдается

рассматриваемому игроку можно сдать Сспособами. Считая все эле­ ментарные события равновероятными, находим:

С12

Р(С) = — Ц- ~ 1,5-10—5-

^36

Чтобы решить задачу 4, заметим, что каждый вариант сдачи карт трем игрокам полностью определяется тем, какие карты получили первые два игрока (третий получает оставшиеся 12 карт). Первый иг­

рок, как отмечалось выше, может получить Cgg различных вариантов карт. При каждом таком варианте второй игрок может получить 12 карт из оставшихся 24 С^ способами. Так что общее число вариантов

сдачи карт равно: п = сЦс^- Первый игрок может получить три

карты бубновой масти Сд способами, второй игрок из оставшихся ше­

сти бубновых карт три карты может получить Cg способами. Таким же

числом способов игроки получат по три карты других мастей. Следо­ вательно, число способов, которыми первый и второй игроки .могут

получить по три карты каждой масти равно [CgCg]4- При каждом та­

ком варианте сдачи карт третий игрок автоматически получает по три карты каждой масти. Пользуясь формулой (4.22), находим:

Замечания. Рассмотренный пример показывает, что элементарные события и, следовательно, пространство элементарных событий в различных задачах, соответствующих одному и тому же опыту, нужно выбирать различными способами, сообразуясь с удобствами решения задачи. Однако, чтобы можно было применять классическое определение ве­ роятности, каждый раз нужно убедиться в том, что элементарные со­ бытия равновероятны. Иепользуя условие задачи об одинаковой ве­ роятности любого из 36! вариантов порядка карт в колоде, нетрудно убедиться, что в каждом из рассмотренных пространств элементарных событий элементарные события действительно одинаково вероятны. В самом деле, любому варианту сдачи первой карты соответствует

95

одинаковое количество 35! порядков карт в колоде. Любому варианту сдачи карт, двум первым игрокам, соответствует (12!)3 различных вариантов порядка карт в колоде. В свою очередь каждому из

Cgg различных вариантов сдачи карт игроку, получившему первую

карту, соответствует одинаковое количество 24! 12! вариантов по­ рядка карт в колоде.

4.9. Условные вероятности. Теорема умножения вероятностей

Изменение комплекса условий, характеризующего некоторый опыт (в частности, появление дополнительных условий), вообще го­ воря приводит к изменению вероятностей событий, являющихся результатами этого опыта.

К числу дополнительных условий опыта может относится пред­ положение о том, что некоторое определенное событие В из поля событий F, связанного с опытом, осуществилось. Вероятности, соответствующие событиям поля F при дополнительном условии: «событие В произошло» называются условными ■вероятностями и обозначаются Р (AIB). Символ Р (AIB) читается так: вероятность события А при условии, что имеет место событие В, или кратко: вероятность А при условии В. Вероятности, соответствующие со­ бытиям поля без каких-либо дополнительных условий называют безусловными или полными вероятностями этих событий. Прежде чем дать формальное определение условной вероятности, выясним одно свойство частот событий, вычисленных при указанном допол­ нительном условии.

Пусть проведена серия из п опытов. Выделим из серии те опыты, в которых произошло событие В. Пусть их число равно тв ^>0. Чтобы вычислить частоту события А в выделенных опытах, нужно знать число тех выделенных опытов, в которых произошло событие A. Это число равно тАВ — числу тех опытов их всей серии опытов, в которых одновременно произошли события А я В. Таким образом, частота события А при условии, что имеет место событие В равна

р (А/В) ——— . Разделим числитель и знаменатель на число всех

тв

опытов л. Замечая, что тАв — ц (4 В); тв.. =? р, (В), получим:

пп

(х ( Л /В )= Ь Ш -,

]х(В)

т. е., если частота события В в некоторой серии опытов положи­ тельна, то частота события А в тех опытах, где произошло событие B, равна отношению частоты произведения событий АВ к частоте события В.

Пример 16. Среди испытуемой партии состоящей из 200 электроных трубок 25 трубок оказались йовышенной яркости (событие В). Раньше гаран­ тийного срока из строя вышли (событие А) 28 трубок, 15 из них были

96

повышенной яркости. Вычислить частоту выхода из строя до гаран­ тийного срока электронных трубок повышенной яркости. -

Р е ш е н и е . По результатам проведенного испытания можно вычислить частоты событий А, В, АВ:

a (АВ) = =0,075.

200

Частота выхода из строя до гарантийного срока электронных тру­ бок повышенной яркости, т. е. частота события А при условии, что имеет место событие В, равна:

м л / д ) - - Я - = л И в и ° ^ 5 - 0 . 6 .

25 |ЦВ) 0,125

Определим теперь понятие условной вероятности, взяв за ос­ нову выявленное нами свойство частоты события А, вычисленной при условии, что произошло событие В.

Определение. Пусть А я В события из некоторого поля событий

F, причем Р (В)^>0. Условной вероятностью Р (AIВ) события А, при условии, что произошло событие В, называется отношение ве­ роятности произведения этих событий Р (АВ) к вероятности Р (В) события В:

Замечание 1. Условная вероятность определяется таким образом только относительно тех событий B^F, для которых Р (В) 0.

Пример 17. (продолжение примера 12). В примере 12 рассматривался выбор студентами экзаменационных билетов (без возвращения) и были вы­ числены вероятности событий А (первый студент взял счастливый би­ лет), В (второй студент взял счастливый билет) и А В (оба студента получили счастливые билеты):

Р (4 ) = Р ( В )= — ; Р ( Л В )= — . 5 30

Найти условную вероятность Р (А/В) того, что первый студент взял счастливый билет, если известно, что у второго студента билет

Замечание 2. Обозначим Fq совокупность всех произведений АВ события В на всевозможные события А поля F. В примере 8 показано, что если событие В рассматривать как достоверное, а события, несовместные с В как невозможные, то Fg обладает свойствами 1—3 определения 1, §4.4 и, следовательно, является полем событий. Условная вероят­ ность Р (А/В) есть функция событий поля Fв, которая обладает свой­ ствами 1—3, т. е., согласцо определению, является вероятностью со­

бытий поля Fв-

В силу сказанного, все свойства, устанавливаемые для вероятно­ стей произвольного поля F, справедливы и для условных вероятно­ стей, которые можно рассматривать как вероятности событий поля Fв-

97

Формулу (4.26) можно использовать для вычисления вероят­ ности одновременного осуществления событий А и В, если известны вероятность события В и условная вероятность события А в пред­ положении, что В осуществилось:

событий равна произведению вероятности одного из них, на услов­ ную вероятность другого, при условии, что первое событие осущест­ вилось. Эта теорема обобщается на случай произвольного числа со­ бытий:

ными (событие А). Из каждой сотни годных изделий в среднем 75 оказы­ ваются первого сорта (событие В). Найти вероятность того, что изго­ товленное на этом предприятии изделие окажется первого сорта.

Р (А) = 0,96, Р (В/А) = 0,75.

На основании формулы (4.28), находим:

Р (АВ) = Р (А) Р (В/А) = 0,96-0,75 = 0,72.

4.10. Независимость событий и опытов

Определение. Событие Л £ Р называется независимым от собы­ тия В, если информация о том, что событие В осуществилось, не

Ввиду замечания 1 независимость события А от события В определена таким образом только в случае, когда Р (В)~/>0.

Следствие 1. Свойство независимости событий взаимно, если со­

бытие А не зависит от события В, т. е. Р {А/В) = Р (А), то и со­ бытие В не зависит от события А, т. е. Р (В/А) = Р (Л).

Действительно, из равенств (4.27) и (4.28) следует, что

Если при этом Р (А/В) = Р (А), то и Р (В) = Р (В/А).

98

В дальнейшем, в силу сказанного, будем называть такие собы­ тия А и В независимыми.

Следствие 2. (Теорема умножения вероятностей для независи­

мых событий.) Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей'.

Равенство (4.32) вытекает из равенств (4.27) и (4.30).

Определение. События А х, Л 2, . . . , Ап называются независи­

мыми в совокупности, если условная вероятность любого из них, при условии, что осуществились любые другие события совокупности, равна полной (безусловной) вероятности этого события’.

для любого i = 1 , . . . , п, и любого набора i ф iy, ty = 1 , . . . , п.

Следствие 3. Вероятность произведения событий, независимых в совокупности, равна произведению их вероятностей:

P 0 M 2 . . . An-1An) = P(A1)P(At) . . . Р(Ап^ ) Р ( А п). (4.34)

Пример 19. В ящике находятся четыре бракованных детали. Одна из них имеет вмятину, другая зазубрину, третья изготовлена из недоброка­ чественного материала, четвертой присущи все перечисленные типы брака. Считая, что вероятность взять любую из этих деталей одина­ кова, найти: 1) вероятности событий, А — взятая деталь с зазуб­ риной, В — деталь с вмятиной, С — детальизготовлена из недобро­ качественного материала, АВ — деталь имеет и вмятину и зазубрину,

Р(АВС) = 1/4.

2.Среди деталей, имеющих вмятины (а таких деталей две), только

одна имеет зазубрину, следовательно,

Деталь, изготовленная из недоброкачественного материала и имею­ щая вмятину, одна (фвс = !)• Та же деталь имеет и зазубрину

/ (тАвс ~ *)'

99