книги из ГПНТБ / Красовский, А. А. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем

в соответствии с (2.72) находим

СО П

^• 5 p/v exp (;' 2 (°ixi) dx1 . . . d x n =

Это уравнение в частных производных определяет харак­ теристическую функцию распределения, подобно тому как ФПК-уравнение определяет плотность вероятности. Уравнение (2.75) линейное. ,Порядок частных производ­ ных здесь соответствует порядку (степени) членов в раз­ ложении функций /. Для линейных систем порядок равен единице, а для систем с трансцендентными характеристи­ ками бесконечно высок.

Будем искать решение уравнения (2.75) в форме ряда

82 Р Е Ш Е Н И Е Ф П К -У Р А В Н Е Н И Я [ГЛ. И

+ 2 ( ° j ? "b + flsvpe^v[i£i ...г) 4 " • • •

В отличие от уравнений коэффициентов распределения, уравнения моментов (2.77) линейны как при отсутствии шумов, так и при их наличии. Однако структура системы уравнений здесь менее благоприятна для численного ин­ тегрирования. Даже для случая свободного движения не­ линейной системы здесь нельзя интегрировать группы урав­ нений последовательно и необходимо решать всю систему уравнений целиком. Вообще говоря, интегрированию для случая нелинейной исходной системы поддается лишь «укороченная» система уравнений типа системы (2.77), получающаяся из (2.77) отбрасыванием высших моментов, начиная с некоторого момента (N + 1 )-го по­

рядка.

Не следует данный метод моментов противопоставлять развитому выше методу коэффициентов разложения. У них для нелинейных систем как бы разные области целе­ сообразного применения. Действительно, если рассеива­ ние в системе велико, отклонения большие, распределе­ ние приближается к равномерному, то ряд (2.8) сходится

быстро, а ряд (2.76) — медленно или даже расходится. Следует применять метод коэффициентов распределения. Если рассеивание невелико, отклонения малы, распреде­ ление плотности вероятности приближается к централь­ ному б-распределению, то ряд (2.76) сходится быстро, можно использовать укороченную систему уравнений типа (2.77) при невысоком максимальном N и метод мо­

ментов здесь эффективен. В целом метод коэффициентов распределения (логарифмической плотности вероятности) обладает большей мощностью в сравнении с методом мо­ ментов, так как позволяет исследовать более сложные слу­

ное статистическое описание в виде текущего многомер­ ного распределения.

84 Р Е Ш Е Н И Е Ф П К - У Р А В Н Е Н И Я [ГЛ. II

При условии (2.81), которое, конечно, является только достаточным, но не необходимым, ряд (2.82) равномерно сходится в области G. Равномерно сходятся и ряды, полу­ чаю щ и еся дифференцированием dp/dt, Lp.

Подставляя (2.82) в уравнение (2.78), убеждаемся, что оно удовлетворяется. Выполняется также начальное условие (2.80). Итак, (2.82) действительно является иско­ мым решением.

В случае отсутствия шумов (S ih = 0) в точке равно­ весия (/ = 0) оператор (2.80) вырождается в след яко­

биана

При непрерывных функциях / г в достаточно малой окрест­

ности равновесной точки

П

В данном случае можно принять d = 0, а величину D задать равной наибольшему в области G значению моду­

ля величины (2.84):

D — шах

Vi

дх.

G г=1 г

Из (2.85), (2.82) или (2.84) вытекает приближенное вы­ ражение текущей плотности вероятности в малой окрест­ ности равновесной точки системы без шумов:

71

i=l 1

чии шумов

При больших т для достижения заданной точности может потребоваться вычисление большого числа членов ряда (2.82). В этом случае более экономной может ока­ заться следующая процедура. Все время переходного про­ цесса в статистически устойчивой динамической системе разбивается на интервалы. Для первого интервала при­ ближенное решение строится описанным образом. Полу­ ченное в конце интервала приближенное распределение вероятности принимается за начальное для второго интер­ вала, и процедура повторяется для всех последующих интервалов. Изложенный метод легко обобщается на урав­ нение вида

(2.89)

где L — произвольный линейный стационарный оператор по х,

— заданные начальные условия. Если ряд

равномерно сходится в области G с его производными,

входящими в (2.89), то он сходится к решению уравнения (2.89), удовлетворяющему начальным условиям (2.90).

Г Л А В А 111

РЕШЕНИЕ ФПК-УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ РЯДОВ

И СТАТИСТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА КОНКРЕТНЫХ КЛАССОВ СИСТЕМ

Решение уравнения Фоккера — Планка — Колмого­ рова методом рядов открывает довольно широкие возмож­ ности построения приближенных статистических теорий различных классов динамических систем. В этой главе на основе описанного метода будет продолжено рассмот­ рение либрационного движения спутника и движения многих тел, описана приближенная теория систем со слу­ чайными вариациями параметров, осуществлен прибли­ женный статистический анализ некоторых непрерывных адаптивных систем.

§3, 1. Примеры статистического исследования конкретных классов систем

Выше было показано, что если известна полная систе­ ма первых интегралов уравнений объекта, то для широкого класса обобщенно консервативных систем известно и об­ щее решение ФПК-уравнения для свободного движения объекта.

Однако полную систему первых интегралов для нели­ нейных объектов можно указать лишь в отдельных редких случаях. Если известна неполная система первых интег­ ралов, в частности, один первый интеграл, то известно лишь частное решение ФПК-уравнения для свободного движения, удовлетворяющее граничным условиям опре­ деленного вида.

Решение, удовлетворяющее произвольному началь­ ному распределению, приходится строить на основе мето­ да рядов.

Либрационное движение искусственного спутника. Правильнее говорить не об искусственном спутнике, а о твердом теле, размеры которого малы в сравнении с рас­ стоянием до центра тяготения. К таким телам относятся не только искусственные спутники, но и различные ос­ колки космических объектов. Статистическое рассмотрение

либрационного движения для осколков является еще более естественным, чем для спутника.

Учтем рассеяние энергии в либрационном движении в виде квадратичной диссипативной функции (линейного демпфирования). Подобное демпфирование может иметь место за счет вихревых токов, наводимых магнитным по­ лем, за счет разреженной атмосферы, а также за счет жид­ костных демпферов (для искусственного спутника). Ор­ биту будем считать круговой (й = const), однако высоту орбиты полагаем случайной, так что й — const — слу­ чайная величина. Вводя обозначения

ю* = *ы со у = х г , со, = х 3, а = ж4, а' = х ь, а" = ж6,

уравнения свободного либрационного движения запишем в виде(см. главу I)

где * i, Г2, r3 — коэффициенты демпфирования. При бук­

венных обозначениях коэффициентов эти уравнения при­ нимают форму