Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Красовский, А. А. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

7.02 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 2421 22 23 24 > Следующая >>>

200	Т Е П Л О В Ы Е Ф Л У К Т У А Ц И О Н Н Ы Е К О Л Е БА Н И Я		[ГЛ. V
Здесь	учтено,	что вследствие симметричности	матриц
т, г	матрица	w также симметрична.

Уравнения (5.34) показывают, что чем выше активные сопротивления, тем интенсивнее теплообмен за счет шу мовых токов.

Тепловые флуктуационные колебания гальванометра. Рассмотрим тепловые колебания гальванометра со струн ным подвесом при условии, что цепь гальванометра зам кнута на активное сопротивление. Уравнения этой элек тромеханической системы имеют вид

или
	mnQi +		+ cu7i +		гиЯг = Фъ
		т 2 2 ? 2	4 " Г22<?2 +		r21qi — ф 2,
где <7, =	а — угол поворота подвижной системы гальва
нометра, </2 = i		— ток в цепи		гальванометра, гпи = / г —
момент	инерции	подвижной		системы, гп = гг — коэффи
циент момента		вязкого	трения,		сп — сг — коэффициент

упругости подвеса, т22 — Lr — индуктивность цепи галь ванометра, г22 — Нг — активное сопротивление этой цепи,

г12 = —г21	=	—кх	— const.
Полагаем,		что	температура Тх газа (или жидкости),
окружающего		подвижную систему и создающего		вязкое
d t			/т,	_
трение гг ^	, отлична от температуры 12сопротивления Нг.

.Таким образом, система является перавновесной в термо динамическом отношении и для определения установив шихся дисперсий следует пользоваться формулами (5.29), которые в данном случае принимают вид

М [aJJ = М [q\] =

= 2А: Tjrn j"u>ndt -f-(Т12г124*

о	(5.35)
00	0000

§ 5.1] Ф Л У К Т У А Ц И О Н Н Ы Е Т Е П Л О В Ы Е К О Л Е Б А Н И Я 201

М [i2] = M[g2] =

00
= 2А [V jTn j* ^ 2 1 dt +	(Тi2r12 -f-
0	(5.35)
оо	оо

-Ь Т21^21) j* io2-^v22dt -)- Т2г2г j' м>22<Й^ 1

Здесь Г12, Т21 — шумовые температуры, соответствующие

коэффициентам г12, г21. Эти коэффициенты соответствуют закону электромагнитной индукции, и следует принять Т12 = Г21. Формулы (5.35) упрощаются:

М [а2] =	2к[тхги § w^dt +	T2r22§ w ^ t j ,
	о	о	(5.36)
	ОО	оо	(5.36)
	ОО	оо
М [i2] =	2&(т’1г1а§ w\]dt	^ 22dtj .
	о	о

Вычисление интегральных квадратичных оценок по фор муле (5.28) и подстановка исходных обозначений параме тров дает следующие выражения:

к Т г	(r r R T + к \ Т г ! Т , ) ( г г £ г + Д / г ) + c r r r L 2
СГ	(г г ^ г + ^х) (ГГ ^ Г + V г ) +	c r r r L ‘r

•21	кТ*	Гт**г ^ rLr ^	*1 [rrLr Тг	+	V r ) + crrrLr
	L r	(ГГЯ Г +	t f ) ( r r L r + Л	+	c rr r L2

Для случая одинаковых температур Тг = Т2 = Т вы

ражения резко упрощаются в соответствии с изложенной теорией:

М [а2] =	, M [ i2] = - g l .
	сг

Броуновское движение заряженной частицы в магнит ном поле. Рассмотрим броуновское движение сферической заряженной частицы в жидкости или газе при наличии однородного магнитного поля. Обозначая прямоугольные координаты частицы qu q2, q3 и считая, что вектор на пряженности магнитного поля направлен вдоль оси q3,

8 А. А. Красовский

202	Т Е П Л О В Ы Е Ф Л У К Т У А Ц И О Н Н Ы Е К О Л Е Б А Н И Я			[ГЛ. V
202
записываем:
	тР4 1 + г р? 1 —	Чг =	Ф п
	’р?2+СрИ^! =ф2,			(5.37)
	mPq2 + М +	C p t f t f i	= » ср2 ,	(5.37)

т р?з + гр9з = Фз,

где тр — масса частицы, гр = бяцр — коэффициент вяз

кого трения (ц — коэффициент вязкости жидкости, р _ радиус частицы), ер — заряд частицы, Н — напря

женность магнитного поля. Таким образом, здесь

гр	-«pff	0
г = ерн	гр	0	(5.38)
0	0	гр

В данном случае с = 0 и следует использовать фор мулы (5.18). Согласно этим формулам и выражению (5.38)

2kTr Р

кТ

При	отсутствии заряда (ер = 0) или магнитного поля
(Я -	0)

Это — закон Эйнштейна [5.9].

§ 5.2. Микроуправление

Микроуправлением будем называть управление объек

тами микроскопических размеров (от десятков ангстрем до десятков микрон) и управление макрообъектами с пре дельно высокой точностью, обусловленной статистической природой процессов микромира. Самому понятию управ ления в этом определении придается обычный смысл целе направленных действий, основанных на использовании информации.

Несомненно, что микроуправление играет большую роль в живых организмах, В связи с развитием микроэлек

§ 5.2]	М И К Р О У П Р А В Л Е Н И Е	203
		203

тропики, миниатюризации и приближением в ряде задач современной науки и техники к предельно достижимой точности, микроуправление становится актуальным для многих областей возможного применения.

По самому определению для микроуправления опреде ляющими являются случайные возмущающие воздействия, связанные с хаотическим движением микрочастиц. Поэто му теория микроуправления может быть только статисти ческой. Ввиду того, что в задачах микроуправления фигу рируют объекты «надмолекулярного уровня», состоящие из множества атомов или молекул и совершающие движе ния, частотный спектр которых обычно даже не достигает инфракрасного диапазона волн, описание объектов микро управления часто можно осуществлять в рамках классиче ской физики. Однако контроль координат, измерение в ряде случаев выгодно осуществлять с помощью излу чения, корпускулярная, квантовая природа которого оказывает доминирующее влияние. В этих случаях клас сический аппарат является недостаточным. Здесь мы огра ничимся задачами микроуправления, в которых дискрет ность, связанная с квантовой природой взаимодействия, или отсутствует, или настолько мала, что подходящим аппаратом описания являются дифференциальные урав нения и уравнение Фоккера — Планка — Колмогорова.

Хорошо известно, что возможности управления на микроуровне ограничены. Классическим примером, ил люстрирующим эту ограниченность, является воображае мый эксперимент с «демоном» Максвелла [5.9]. Поэтому первым вопросом, который целесообразно здесь рассмо треть, являются предельные возможности управления. Проиллюстрируем постановку и решение этого вопроса на конкретных, но довольно общих примерах.

Стабилизация электрической цепи. Пусть имеется


произвольная пассивная			электрическая цепь,	состоящая
из индуктивностей,		активных сопротивлений		и емкостей
(рис. 5.2).		контурные токи через i} = ( j ( f =
Если	обозначить
= 1 , 2 , . . ., п), то		уравнения подобной цепи можно за
писать в	виде (5.2), где		т — матрица индуктивностей

(взаимоиндуктивностей), г — матрица активных сопротив

лений, с — матрица емкостей,, ср — матрица-столбец кон турных э.д.с. тепловых шумов.

204 Т Е П Л О В Ы Е Ф Л У К Т У А Ц И О Н Н Ы Е К О Л Е БА Н И Я [ГЛ. V

Для случая термодинамического равновесия матрица моментов шумовых токов в пассивной цепи с неособой ма

трицей	т определяется формулой (5.14), а	при разных
т е м п е р а т у р а х элементов — формулой (5.25).		Возникает
в о п р о с ,	нельзя ли создать активную электрическую цепь

Р и с . 5 . 2 .

(цепь, содержащую усилители), которая при той же тем пературе пассивных элементов и прежних динамических свойствах, т. е. прежних уравнениях свободного дви жения

mq + Щ + cq = 0,

обладала бы меньшими уровнями шумов, чем пассивная цепь. То, что при идеальных усилителях с нулевыми шу мовыми температурами это сделать можно, следует из таких рассуждений. Уменьшим все активные сопротивле ния в 1 раз, но подключим идеальные усилители так, чтобы они усиливали в d — 1 раз составляющие контур

ных напряжений

4 - S

= 4" S ruik-

(5-39)

*=1 fc=l

Векторный сигнал на выходах подобных усилителей будет равен

d — 1

u = — S- r q .

Компоненты векторного сигпала-напряжения и с выходов

усилителей подаются в виде дополнительных контурных

§ 5.2]	М И К РО У П РА В Л Е Н И Е	205
		205

э. д. с. в рассматриваемую цепь, образуя отрица тельные обратные связи. Уравнение замкнутой системы с подобными идеальными усилителями принимает вид

т + -j" rq	cq =	rq +	<р*,
или	т- rq +	cq = <p*.	(5.40)
mq

Так как усилители считаются идеальными, то шумы ф*

создаются только в сопротивлениях ~1г	и их спектральные
1	исходной системе.
плотности в -J- раз меньше, чем в	исходной системе.

В динамическом отношении исходная и полученная систе мы идентичны, и дисперсии всех флуктуационных тепло вых колебаний в полученной системе в d раз ниже, чем

в исходной.

Однако всякий реальный усилитель имеет шумовую температуру, отличную от нуля, и конечное входное со противление. Допустим, что имеются реальные (в смысле наличия шумов) безынерционные усилители с одинаковой шумовой температурой Ту (по отношению к выходным сиг

налам). Посредством таких усилителей измеряются кон турные напряжения (5.39). Полагаем, что это измерение

включает измерение каждой из составляющих -j-rihih

или - j r ik(it + ik) усилителем с согласованным входом,

т. е. усилителем, входное сопротивление которого равно

— гг ь. Входные пассивные цепи усилителей имеют темпе

ратуру, равную температуре контролируемой цепи. По этому уравнение контролируемой цепи после уменьшения всех активных сопротивлений в d раз и подключения со

гласованных входов усилителей будет иметь вид


m '4 + - ^ f rg + °q = — и + ф*.		(5.41)
причем матрица	спектральных плотностей шумов ф*

кТ

равна — г. Коэффициенты усиления всех усилителей из

условия сохранения динамических свойств зададим рав ными 2d — 1. Вектор выходных сигналов системы усили

206 Т Е П Л О В Ы Е Ф Л У К Т У А Ц И О Н Н Ы Е К О ЛЕ БА Н И Я [ГЛ. V

телей образуется как вектор усиленных контурных на пряжений и равен

u = ( 2 d _ l) ( * _ r$4-<pyV

(5.42)

где фу — вектор шумов усилителей, спектральная матри ца которого по условию равна

П одставляя (5.42) в (5.41),	находим
mq 4- rq + cq =	ф* + (2d — 1)фу.

Шумы ф* и (2d — 1) фу независимы, и матрица спектраль

ных плотностей их суммы равна сумме матриц спектраль ных плотностей и (2d — 1)25 фу.

Итак, построение активной системы с динамическими свойствами, эквивалентными исходной системе, приводит к уравнению

mq + rq + cq = фш,

(5.43)

где матрица спектральных плотностей фш равна

i - + ( 2 d - l ) 2-? x ]r .

Эквивалентная шумовая температура в активной системе равна

Tm = -% -[T + 2 ( 2 d - i ) ' T 7].

(5.44)

Соответствующие графики в логарифмическом масштабе приведены на рис. 5.3.

Для	случая		отрицательных обратных связей, когда
2d — 1 >	О,	и	шумовой температуры усилителей Ту,
превышающей		половину температуры		Т исходной цепи,
			Гу > - \| - Г,	(5.45)

эквивалентная шумовая температура в активной системе выше 0,83Г.

Условие (5.45) надо считать заведомо выполненным, так как мы приняли, что входные цепи усилителей имеют температуру Т. Активную систему с обратными связями

можно рассматривать как систему управления (стабили зации).

§ 5.2]	М И К Р О У П Р А В Л Е Н И Е	207
Из изложенного	следует, 1то с помощью	рассмотрен-

ного управления посредством усилителей с шумовой тем-


пературой,		превышающей
температуру		элементов
цепи,	невозможно заметно
снизить уровень тепловых
флуктуационных			колеба
ний в этой цепи.			электро
Стабилизация
механической			системы.
Рассмотрим систему, кото
рая состоит из масс,				ли
нейных упругих			связей и
элементов линейного				тре
ния,	а также связанных
с массами индуктивных и
емкостных датчиков, пред
назначенных для контроля
положения		масс.	В	цепи
датчиков включены источ
ники	напряжения			(как
правило, переменного).
Источниками тепловых
шумов в механической ча
сти системы являются ме
ханические сопротивления
г” , а в электрической ча
сти — активные электриче
ские	сопротивления цепей
датчиков г?к. Индуктивно
сти т*к (д",			и ем

кости с\к (д™, . . ., q") цепей датчиков являются функци ями геометрических координат дУ,

	Функция Лагранжа				для	данной системы запишется
в виде
Т	—	1 V	Г™м ,-М.М I	Э / „м		м, . э - э ,
^	—	о 2 j	l ^ i k i i Qk ~ТГ		\Q l i • * • » Q n) $ i $ k l
			l
			4 - S (	«	4	+ 4 ( 4 , • • • , 4 ) 4 / 4 (5.46)

i,k=i

208

Т Е П Л О В Ы Е Ф Л У К Т У А Ц И О Н Н Ы Е К О Л Е Б А Н И Я

[ГЛ. V

где qt — «электрические» координаты — количества элек тричества, ql — электрические токи, т" — массы,

й — коэффициенты жесткости. Уравнения Лагранжа

— ( дь

= ФГ

m ,м

{ ц *

dqf

/с=1

'гк Чк

d L

э -э

—— = U;

<pi —

2ll

d q f

k=1

в раскрытой форме имеют вид

2 (mik'rik

г?№к +

cfnq™) -|-

K=l

I 1

d e i k

о э

/ Э Э

+ ~2~

, *=l

"ТТм" ЧМ*

' aJT

~ Ф* ’

}X-i

S «

+ r ^ + c ^ ) + 2 ^ % 9 ? й = «? + ф?,

*-*

j, *=1

где ut — э.д.с. питания индуктивно-емкостных датчи

ков, ер® — тепловые шумы. За невозмущенное движение примем движение без шумов (шумы источника питания включены в и?), удовлетворяющее уравнениям

2 (т лкЯок + ги-<?о/с 4" ctk(Jo\)			Ь
А=1
I 1	V	дс%	а э	1	V	,.э	л
+ —	2 j	°9oi	Q'oi^o/c-----2~		2 l	- Т « - ЯоЛок — 0,
	3, k ~ i	°9oi			3, k=l	°"oi
П	rutqlit + Ciitqhi)			п	dm9-	Яо&ок = Щ,
2 (т 1кЯок +	rutqlit + Ciitqhi)			j, A=i		Яо&ок = Щ,
Jt=i				j, A=i	6 %j
где
	ЙА =	cik(4oii •		• •> 9on)>
	Э	9 /	Э	9 \
	Wik “		\?01» • • •» #0nj*

Ввиду того, что тепловые флуктуационные колебания весь ма малы, линеаризуем исходные уравнения относительно

§ 5.2]	М И К Р О У П Р А В Л Е Н И Е	209
		209

отклонении от невозмущенного движения:

А л М	М	А Э	Э	Э
А<?г — cji	q0i,	A q i	— qi	— </oi-

Получаем n

2 (лгЦ-Дд” + 4 А д ” + ci™A<Z*) + k=l

-V 2

(ri

cTk^qls) = ф" 1

k^x

L ( 5 . 4 7 )

2 (mu-A9ft

I- r?kAq?k f cikAql) +

k=i

C{“Ag") — <Pi,

где

fc=l

V (J*%\Г

„»

ci к = Ci/c 'Г

• m

„ m .

2 m =i A

r ' o

( д2"1Я \

.0 ...

0/0'

Йк -

dch ^

э*

чл /

drnh

-э

^ а му

7оО

Гг/С—

2л \

о _ м

500

г= 1

\0,н

/ о

i==! V

/о

(5.48)

. э

1 ,м

rifc = Uk

Zj I

я„м J

j=i

'о

_*м

/ дЬпИ \

'“ “ Д и .w

“

•„

8»?i

\ ...

r“ = a u r v ° ' '

Введем обозначения квадратных матриц вида п X га:

mM= I /ref* \|\|,	гм =	\|гГ»\|,	см =	\|\|4“\|\|-	rM3 =	\|\|^ \|,
смэ= \|\|Сг^\|\|,	т э =	1 пцк\|\|,	т9 =	1 т\к\|\|>	ce =	\|cSt \|,

гэм = |И “ Ц, сэм= | 4 “ ||.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 2421 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

mM= I /ref* \|\|,	гм =	\|гГ»\|,	см =	\|\|4“\|\|-	rM3 =	\|\|^ \|,
смэ= \|\|Сг^\|\|,	т э =	1 пцк\|\|,	т9 =	1 т\к\|\|>	ce =	\|cSt \|,