книги из ГПНТБ / Красовский, А. А. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем

§ 2.3. Статистическая устойчивость невозмущенного состояния.

Равновесные распределения и их устойчивость

Понятие статистической устойчивости невозмущенного состояния, так же как и обычной устойчивости этого со­ стояния, относится к системам без шумов, т. е. к системам вида

При рассмотрении статистической устойчивости началь­ ные условия считаются случайными, характеризуемыми

статистической устойчивостью [1.13], [2.5], если при

если хотя бы одна из координат отлична от нуля:

Более слабым является требование статистической устойчивости при заданном начальном распределении р 0.

Невозмущенное состояние является статистически устойчивым при заданном начальном распределении р 0 {хи . . . , х п), если при этом распределении текущая плотность вероятности стремится к центральной 6-функции 6 (хг, . . ., х п) с течением времени. Необходимым усло­

вием статистической устойчивости невозмущенного со­ стояния является отрицательная определенность суммы ряда

ПП

могут располагаться мнимые корни и нулевые корни. Мни­ мые корни порождают незатухающие гармонические со­ ставляющие весовых функций wih. Вследствие этого,

как видно из (2.23), при наличии мнимых корней измене­ ние коэффициентов A t (г), A lh(t), . . . носит характер

незатухающих колебаний и стационарное равновесное распределение невозможно. Таким образом, стационарное равновесное распределение в системе без шумов может существовать лишь тогда, когда все корни характеристи­

ная матрица линейного приближения есть единичная мат­ рица и выражения (2.23) с учетом постоянства коэффици­

п

п

••Н aPij'...rfAprs (01 “Ь

N - 1

64 Р Е Ш Е Н И Е Ф П К - У Р А В Н Е Н И Я [ГЛ. И

3!

• • • + flpij^pjci- s(t')]}dt',

'"whT

Из второй группы этих уравнений видно, что для того, чтобы величины A t были постоянными, необходимо и до­

статочно, чтобы

П

2 &ppi = 0, i — 1 , 2, . . . , и. p = i

С учетом постоянства И г = И? на основе третьей группы выражений (2.44) приходим к заключению, что для по­ стоянства A tj необходимо и достаточно выполнение ра­

венства

ПП

з2 а ррц ”Ь2 ®pij^p= О-

p=i

Продолжая подобные рассуждения, убеждаемся в справедливости следующего положения. Необходимыми и достаточными условиями существования в стационарной система и-го порядка без шумов равновесного распреде­ ления вероятностей являются:

—наличие у характеристического уравнения линей­ ного приближения «-кратного нулевого корня;

—выполнение равенств

П

V—1

равновесного распределения в системе без шумов накла­ дывают определенные ограничения как на коэффициенты системы, так и на коэффициенты самого стационарного распределения. Любое распределение, удовлетворяющее этим условиям, сохраняется в системе неограниченно долго. В этом смысле такое равновесное распределение можно считать устойчивым (не асимптотически) или ней­ тральным. Из этих общих условий существования равно­ весного распределения можно получить целый ряд усло­ вий для частных случаев.

3 А. А. Красовский

деления заключаются в наличии n-кратного нулевого кор­ ня и выполнении равенств

пп

- . • — l f 2 , . * ., j i .

Для равномерного в пределах всего фазового пространства распределения вероятностей все коэффициенты A t , A i k ,

условиями существования в стационарной системе без шу­ мов равномерного равновесного распределения вероят­ ностей являются наличие n-кратного нулевого корня у

i, j, s... = 1, 2, . . . , п.

Динамические системы, в которых выполняются условия

П

(2.47) и условие 2 a w — 0, названы выше обобщенно

p = i

консервативными системами. Подклассом таких систем

являются системы без прямых связей, у которых все коэффициенты с двумя одинаковыми первыми индексами равны нулю (арр = 0, appi = 0, . . . ).

Таким образом, в стационарных обобщенно консерватив­ ных системах и системах без прямых связей при наличии n-кратного нулевого корня у характеристического уравне­ ния линейного приближения в отсутствие шумов сущест­ вует равномерное равновесное распределение вероятно­ стей. Если в таких системах в начальный момент было равномерное распределение, оно сохраняется неограни­ ченно долго.

Согласно тем же соотношениям (2.45) необходимыми и достаточными условиями существования в стационарной системе без шумов равновесного нормального распределе­ ния вероятностей являются наличие n-кратного нулевого корня и выполнение равенств

п п п

i, j, к,. .. = 1 , 2 , ... , n.

Рассмотрим конкретный пример — вращательное дви­ жение твердого тела, описываемое уравнениями Эйлера

(1.37)

3*

68 РЕ Ш Е Н И Е Ф П К -У РА В Н Е Н И Я [ГЛ . 11

Характеристическое уравнение линейного приближения

з

2 ариАр = °*

р=1

(2.51)

2 {a PrsA pij — f 'I" ■• • "Ь a pijA pkI ... s) — 0 ,

Видно, что равномерное во всем фазовом пространстве рас­ пределение плотности вероятности является в данном случае равновесным. Кроме того, существует множество других равновесных распределений. Раскроем первые две

и им симметричных в смысле перестановки двух послед­ них индексов, равны нулю. Получаем

различных моментах инерции тела относительно главных

Таким образом, «нормальная составляющая» равновесного распределения угловых скоростей является центральной канонической. В главе I на основе привлечения первых