книги из ГПНТБ / Красовский, А. А. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем
.pdf20 У РА В Н Е Н И Е Ф О К К Е РА — П Л А Н К А — КОЛМ ОГОРОВА [Г Д . I
Для производной энтропии по времени в предположении,
что величины pfu pft In р, ~ In р исчезают на бесконеч
ности:
(p/i In р) |
= 0, |
нетрудно получить выражение [1.13]
Я = — ^ - . ^ р S £ d x l... d x n +
4* 4- i ^ s ’ .s (4Э$ Д (
Действительно, вследствие условии (1.11) производная
Н равна
оо
= — |
Inpdxj,. ..d x n. |
Подставляя сюда выражение для dpldt из (1.10) и интегри
руя по частям, находим
ПОО
Н= — 2 ■^ J -(P /i)in p ^ i- --dxn —
1—1 v J t
1 — А — ОО
- 4- 2
*. —оо х 3
§ 1.1] В Ы В О Д Ф П К -У РА В Н Е Н И Я 21
+ 4- s 5« S |
'- - S ^ |
^ d*i'--da!n= |
|
|
i . i = l |
3 |
* |
|
|
= - |
i=sl * |
V |
•W |
d<r«+• |
|
1—■*■ |
—во |
|
|
+4- . 2 |
—oo |
J |
||
|
г»J—1 |
|||
В отсутствие шумов (свободное движение системы)
Н = — |
щ ) р й х i---dxn. |
Для обобщенных консервативных систем Н = 0, т. е. энт
ропия обобщенной консервативной системы в отсутствие шумов постоянна.
При наличии шумов энтропия обобщенной консерва тивной системы всегда нарастает. Действительно, в этом случае
Я = |
1 |
V с f |
Г 3 In р d In р , |
j |
||
— |
|
Si i \ - - - \ ^ - g ^ p d x 1...d X n = |
||||
|
|
г, j= l |
*^_оо |
г |
3 ' |
|
=4- |
Й |
, |
| |
|
|
Ь 3=1 |
|
|
|
|
|
|
=Т М [(|ч.^ )']. (‘ -ад |
|
где — случайные |
функции, моменты |
которых равны |
||
М [т^цД = S tj. |
Из (1.20) |
видно, что Н > |
0. |
|
Для систем, не являющихся обобщенными консерва тивными, при наличии шумов может существовать энтро
пийное равновесие (Я = 0). Оно наступает при
3 In р ~|
(1.21)
22 |
У РА В Н Е Н И Е Ф О К К Е РА — П Л А Н К А — КОЛМ ОГОРОВА [ГЛ . I |
§ 1.2. Свободное движение. Первые интегралы исходной системы и решение ФПК-уравнения
При отсутствии шумов уравнение (1.13) имеет вид
д 1я р |
v |
4 |
9 In р |
v |
dfi |
( 1.22) |
|
dt |
A |
h |
дх. |
1 |
~~ А |
дх. |
|
|
г=1 |
|
г=1 |
1 |
|||
Это уравнение описывает изменение плотности распреде ления в фазовом пространстве при случайных начальных условиях, заданных начальным распределением (1.3).
Допустим, что для исходной системы дифференциаль ных уравнений, которая при отсутствии шумов имеет вид
|
ii + U (%, |
•••, ®п, 0 = 0, |
|
(1.23) |
|||
известно п |
линейно |
независимых |
первых |
интегралов |
|||
■ф, (хи |
..., хп, |
t) = |
ch |
] = |
1, 2, ..., |
п. |
(1.24) |
Покажем, что для систем без прямых нелинейных свя зей, для которых уравнения (1.23) имеют форму
П
^ |
"I" Фг (р^Ъ • • |
^4+1' • *З'п) = О |
-»и 2 есть Функция времени или постоянная, общее t=i
решение ФПК-уравнения (1.22) имеет вид
( |
п |
|
1пр = Т (ф 1, . . . , ф „)+ |
щ -dt, |
(1.25) |
у |
i —1 i |
|
где Ф (фх, ..., ф„) — произвольная функция первых инте гралов (1.24). Действительно, полные производные пер вых интегралов (1.24), определенные с учетом уравнений движения (1.23), равны нулю:
о. (1.26)
dt
Подставляя выражение (1.25) в (1.22) и учитывая (1.26),
§ 1.2] |
СВО БО Д Н О Е Д В И Ж Е Н И Е |
23 |
получаем тождество
v а т |
^ |
|
|
/ |
v |
|
aiF |
|
_ |
|
агь, |
at "т А |
дх. |
& |
>'1 |
^А |
|
агь. аж^7. |
~ |
|
|
|
|
|
1=1 |
|
1=1 |
|
1 |
|
|
|
|
_ у а ^ / ^ _ v ^ |
/lj + |
, V ди |
|||||||
|
— А |
э-ф, I |
аг |
|
^ аж. |
аж. |
||||
|
|
j = l т 3 ' |
|
|
г=1 |
* |
1 |
г=1 » |
||
Решение (1.25) |
или |
|
|
|
|
|
|
* n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р = |
exp [ т (i)jj, • • •, 4 0 |
+ |
^ S |
Й Л ] |
|||||
У
h dxi *
(4-27)
содержит п линейно независимых первых интегралов и яв ляется общим, так как удовлетворяет произвольному на чальному распределению. В самом деле, для удовлетво рения условия
In р 0 fa , ..., хп) = |
¥ |
(%, ..., фв), |
= т|){ |
fa , |
.... хп, 0), |
|
достаточно задать |
¥ |
в виде |
|
|
|
|
^ (^1* |
•••»’Фп) = |
Ро (%> |
•••»%n)t |
|
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
Zj = *((*!>!, .... Ч»п>- |
|
|
|
||
По условию якобиан |
a^j I отличен от нуля |
и |
соотноше- |
|||
|
|
дзск \ |
|
|
|
|
ния (1.24) млогут быть разрешены относительно ж*; в част ности, при t =- 0
Xi = Z, (clt . . . , Сп ) = Zj . . . , l^ n )’
Если известно к < ^ п первых интегралов исходной си
стемы уравнений без прямых нелинейных связей, в част ности один первый интеграл, то выражение
t n |
|
|
р = exp [ ‘F (t|>i, • • Ю + I 2 |
• |
(1-28) |
о i==1 1
удовлетворяя ФПК-уравнению, является его частным ре шением.
24 У РА В Н Е Н И Е Ф О К К Е РА — П Л А Н К А — КОЛМ ОГОРОВА [ГЛ . I
Распределение (1.28) будет существовать в системе,
если начальное распределение имеет вид |
|
|||
Ро (*!, |
хп) = exp № (ih, |
Tpft)], |
i|>j = |
|
|
= |
^i (®i* |
0). |
(1.29) |
Если первые интегралы не зависят от времени, |
|
|||
|
(*®1» •••> ^n) |
~" *-«> |
П |
Q. |
|
|
|
||
и система является обобщенной консервативной, |
^ = 0, |
|||
то как общее (1.27), так и частное (1.28) решения не зави сят от времени. Такие распределения вероятностей будем называть равновесными стационарными или просто рав новесными.
Если уравнения исходной системы имеют каноничес кую форму:
^ |
= _ ^ . |
dq. |
_ д Н г |
(1.30) |
|
d t |
dqi ’ |
dt |
dpi ’ |
||
|
где Нг — функция Гамильтона (индекс «г» введен для от личия от обозначения энтропии), qt — обобщенные коор динаты, Pi — обобщенные импульсы, то ФПК-уравнение
принимает вид
|
|
дР |
■ |
у |
д |
|
|
|
|
|
at “• |
& dq. |
дрХ |
|
|||
|
|
|
|
i—1 |
|
|
||
ИЛИ |
|
|
|
|
|
|
|
|
др . |
VI |
др |
дН р |
„ |
Qp |
дН г |
|
|
д t ”• |
^ |
dq. |
dp. |
^ |
dp. |
dq. |
|
|
|
i = l |
|
|
i = i |
‘ i |
чг |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
0. |
(1.31) |
В статистической физике это соотношение называется
теоремой Лиувилля |
[1.14]. |
|
Канонические системы (1.30) относятся к классу обоб |
||
щенно консервативных систем, так как здесь |
||
ди |
V J W l _ у * н г = 0. |
|
2дх.г |
^ idqidpi |
S i dgidpi |
S 1.2] |
С В О БО Д Н О Е Д В И Ж Е Н И Е |
25 |
Если функция Гамильтона не зависит явно от времени, то уравнения (1.30) имеют первый интеграл Н г = const
и согласно предыдущему существуют равновесные стацио нарные распределения вероятностей
Р = exp [V (Яг)1, |
(1.32) |
где Y — произвольная функция. В этом легко убедиться прямой подстановкой в (1.31).
Рассмотрим теперь несколько примеров нахождения равновесных распределений вероятностей путем исполь
зования первых интегралов. |
|
|
|
||
1. |
Свободное |
вращательное |
движение твердого тела |
||
описывается уравнениями Эйлера |
|
|
|||
|
Jx^x + ( /2— /у) (0уЮ2 = |
0, |
|||
|
|
х |
Л ) |
= |
0 ) |
|
JZ |
"4" (/„ |
J х) |
— 0, |
|
для которых известны первые интегралы: интеграл энер гии
J Х®х 4” j yft)y 4“Jz® z — С1
и интеграл момента количества движения
|
JW x + /уСОу + |
J\(a\ = с2. |
|
|||
При использовании |
обозначений |
|
||||
W.T |
’ Х 1' |
СОу — Хпу |
(02 — х3, |
(1.33) |
||
я 123 |
я 213 |
JX Л |
_ Jy Jx |
|||
|
Я 312 — |
|
||||
эти выражения принимают вид |
|
|||||
i \ 4- «123^2^3 = |
0, |
^ 1 = Jx?\ + JyX\ + J zx\, |
(1.34) |
|||
4" |
= 0, Фг = J хХ\ 4~ J v x 2 4" J z x з- |
|||||
|
||||||
±3 4- ^312Х 1Х 2 = о,
Система является консервативной и согласно предыду щему имеет стационарные? равновесные распределении-
26 |
У РА В Н Е Н И Е Ф О К К Е РА — П Л А Н К А — КОЛМ ОГОРОВА |
[ГЛ . I |
|
вероятностей |
|
|
|
р (со„ co„, щ) = |
|
|
|
= |
exp [VF {JX(&X"Ь J У®У~Ь ^z®z> Jx®x ~Ь J уЛу "Ь ^гОг)1| |
(1.35) |
|
где Y — произвольная функция, но такая, что условие |
|||
нормировки (1 .1 1 ) |
выполняется. |
|
|
|
Таким образом, |
если начальное распределение компо |
|
нент угловой скорости твердого тела может быть представ лено в виде (1.35), то это распределение сохраняется неогграниченно долго.
Для тела с эллипсоидом инерции в виде эллипсоида вращения (Jv = J z, J х ф J у) любое симметричное отно
сительно начала координат и равномерное в экваториаль ной плоскости (сечение плоскостью yz поверхности р =
= const есть окружность) распределение вероятности яв ляется равновесным. Действительно, это распределение может быть представлено в виде
exp {'F [ / ж<в| J у (Юу + СО*), + Jy (®у "Ь (О*)]}
путем подбора функции Чг. Для аналитических функций это вытекает из того, что при указанных условиях р 0
может быть представлено в виде целого степенного ряда двух аргументов: уг = со| и у2 = со* + col. С другой сто роны, коэффициенты разложения в ряд по степеням уъ уг функции
exp[xF(Jxyl + J vy2, Л уг + J vy2)] |
(1.36) |
линейно независимых (по условию J y Ф J x) сумм J ХУ\ +
+ 1уУъ ЛУг + JyVi могут быть сделаны любыми путем
подбора функции Y.
Итак, для тела с эллипсоидом инерции в виде эллипсо ида вращения относительно оси х любое распределение
вероятностей, симметричное относительно этой оси, яв ляется равновесным.
Если телу с J v = Jz (гироскопу), помимо случайных
угловых скоростей, сообщено регулярное вращение со
скоростью Q* относительно оси |
х, то согласно преды |
дущему |
|
р = ехр {Ч7 [/х (Qx сод.)2 J y (со* |
-)- со*), У* (Q* -f- сож)2 |
|
+ Jy (иу + ®z)]}- |
8 1.2] |
СВО БО Д Н О Е Д В И Ж Е Н И Е |
27 |
Это решение сохраняет силу общего равновесного распре деления для симметричных относительно оси х и точки со* = £2* начальных распределений.
2.Уравнения движения вокруг центра массы искус
ственного спутника (твердое тело с размерами, малыми в сравнении с расстоянием до центра гравитации) на кру говой орбите имеют вид [1.15]
+ (Л — Jy) ®,/02— 3«2(Jz— /„) у'у" = о, •
Jytoy + (Jx — Jz) |
— 3Q2 (Jx— |
Jz) |
yy" = o, |
(1.37) |
|
Jx^z Y {JV |
Jx) |
3Q2 (Jу |
Jx) yy = 0. |
|
|
Здесь Q = y |
^3-— угловая скорость орбитального движе |
||||
ния, р — гравитационная постоянная, |
R — расстояние |
||||
до центра гравитации, у, у', у" — направляющие косину сы между связанными осями (главными осями инерции) и осью орбитальной системы координат, направленной по радиусу-вектору орбиты, <ох, со„, о>2 — угловые ско
рости в связанной системе координат. Направляющие косинусы у, у', у" связаны с шестью другими направляю щими косинусами а, а', а", (5, Р', Р" между орбитальными и связанными осями и компонентами угловой скорости
кинематическими |
соотношениями |
Пуассона: |
|||
у = |
у'со2 — у"соу -f aQ, |
a = |
a'toz — a"cov — yQ, |
||
у' = |
у"сож— yco2 + |
a'Q, |
a' = |
a"co2 — aco2 — y'Q, |
|
y" = |
ycoy — у 'mx + |
a"Q, |
a" = awy — a'со* — y"Q, |
||
|
P |
= РЧ -Р'Ч , |
(1.38) |
||
P' = Р Ч — Pw2,
P"= P®y — РЧ-
Тривиальными первыми интегралами уравнений (1.38) являются шесть линейно независимых алгебраических со отношений между направляющими косинусами
а2 + |
р2 + |
У2 = 1, |
а а ' + рр' + |
уу ' = 0, |
|
|
а '2 + |
р'2 + |
у '2 = 1, |
а'а" + Р'Р" + |
у'у" - |
0, |
(1.39) |
а"2 + |
р"2 + |
у"2 => 1, |
аа" + рр" + |
уу" = |
0 |
|
28 |
У РА В Н Е Н И Е Ф О К К Е РА — П Л А Н К А — КОЛМ ОГОРОВА £ГЛ. t |
или эквивалентные им соотношения. Кроме того, система уравнений (1.37), (1.38) двенадцатого порядка имеет пер вый интеграл типа Якоби [1.15]:
Ф1 = -j t7*®! + J y(dl + |
+ Т Q2(/ *T2+ 7 Л '2+ |
ЛТ"2)— |
— Q ( / жШзсЗ + |
J у(ОуР' -ф- / гсо2Р") = сг. |
(1.40) |
Рассматриваемая система является консервативной, и для нее справедливо доказанное положение. Равновесный закон распределения можно строить как функцию всех семи первых интегралов, однако вводить тривиальные ин тегралы (1.39) нет смысла. Взамен этих соотношений луч ше выразить все направляющие косинусы через три не зависимые величины. Если в качестве этих величин при нять угол ср поворота вокруг оси х , угол О поворота вокруг оси у и угол ф поворота вокруг оси z связанной си
стемы координат, в результате которых (трех последова тельных поворотов) система связанных координат совме щается с орбитальной, то
a = |
cos Ф cos ф, a' = — cos ft sin ф, |
a" = sin 0, |
P = |
cos фsin ф -f sin фsin § cos ф, |
|
P' = |
cos фcos ф — sin фsin d sin ф, |
|
P" = |
— sin фcos ft, |
(1.41) |
Y = |
sin фsin ф — cos фsin Ф cos ф, |
|
Y' = |
sin фcos ф + cos фsin d sin ф, |
|
Y" = |
cos фcos 0. |
|
Равновесное распределение, соответствующее первому ин тегралу (1.40), имеет вид
р = ехр [¥ (фх)],
где Y — произвольная функция, при которой удовлетво ряется условие нормировки (1.11). Для малых углов
Ф, §, ф, |
Р'=1, Р" = —ф. |
V = —^ У' = ф» у" = 1» |
выражение равновесного распределения можно предста вить так:
р = exp (Т [Лю* /у ®2 -(-/ z® |+ 3Q2(/*02+ /уф2)—
— 2Q ( / жсохф + /„coy — / zoyp)]}. (1.42)
I 1.2] |
СВ О БО Д Н О Е Д В И Ж Е Н И Е |
29 |
Это стационарное равновесное распределение является частным, так как основано лишь на одном первом инте грале.
Поясним физическую причину существования равно весного распределения для рассматриваемого движения спутника, называемого либрационным. Члены в уравне
ниях (1.37), содержащие множитель Q2, соответствуют мо ментам, создаваемым неоднородным (центральным) грави тационным полем. Эти моменты стремятся ориентировать главные оси инерции по орбитальному трехграннику. Од нако в условиях отсутствия рассеяния энергии, которо му отвечают уравнения (1.37), затухания либрационных колебаний и вращений не происходит, вследствие чего и возможно равновесное распределение.
3. Движение многих тел с пренебрежимо малыми от носительными размерами (материальные точки) под дей ствием потенциальных сил взаимного притяжения или от талкивания в инерциальной декартовой системе координат описывается уравнениями
т&i + = 0, щщ -f- |
= 0, niiZi -f |
= 0 (1.43) |
(i = l , 2, . . . , i V > 2),
где U — потенциальная энергия, зависящая от относи
тельных расстояний между телами:
и = и l Y |
— |
X j f 4- (ух— у ■ ? + (Zi — Z j f ], |
(1.44) |
|
|
|
* , / = |
1 ,2, |
|
Для системы (1.43) |
известен интеграл энергии |
|
||
|
|
N |
|
|
% = |
4" |
2 |
+ 2/? + 2?) + u = Cl |
(1.45) |
i=i
и три первых интеграла количества движения:
N |
N |
N |
|
Ь = 2 mi£i = С2, Фз = 2 т№ = С3, ъ = 2 |
= С*‘ |
||
1=1 |
1=1 |
1=1 |
|
(1.46)
Система является консервативной, и согласно предыду щему для нее существует стационарное равновесное