книги из ГПНТБ / Красовский, А. А. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем

210 Т Е П Л О В Ы Е Ф Л У К Т У А Ц И О Н Н Ы Е К О Л Е Б А Н И Я [Г Л . V

и матриц-столбцов:

— блочные матрицы.

Если невозмущенное движение рассматриваемой элек­ тромеханической системы устойчиво, а слабой нестационарностыо, вносимой индуктивно-емкостными датчиками с переменным напряжением питания (см. выражения (5.48)), можно пренебречь, то дисперсии тепловых флуктуационных колебаний в системе (5.50) выражаются фор­ мулами (5.29). Эти формулы при одинаковой температуре элементов электромеханической системы имеют вид

Допустим, что имеются безынерционные усилители с шумовой температурой Ту. С помощью этих усилителей

можно усиливать сигналы индуктивно-емкостных датчи­

уменьшить тепловые флуктуационные колебания путем уменьшения «естественных» сопротивлений в системе с од­ новременным созданием «искусственных» сопротивлений за счет отрицательных обратных связей. Суммарные со­ противления rvlx, фигурирующие в уравнениях свобод­ ного движения системы, при этом должны оставаться не­ изменными. Неизменными остаются также весовые функ­ ции Юц.

Легко видеть, что, как и в предшествующем случае, с помощью усилителей с шумовой температурой Ту, пре­ вышающей температуру Т исходной системы, невозмож­

но сколько-либо существенно уменьшить уровни флуктуационных тепловых колебаний. Доказательство такое же, как в предыдущем случае. Пусть сопротивление

г5 = ria уменьшено в d раз и к нему подключен согла­

сованный вход безынерционного усилителя с температу­ рой входного сопротивления Т и общей шумовой темпера­ турой Ту. Сигнал усиливается этим усилителем в 2d — 1

раз и подается на вход соответствующей цепи индуктив­ но-емкостного датчика, образуя отрицательную безы­ нерционную обратную связь. В результате восстанавли­ вается сопротивление

а спектральная плотность шумов становится равной

спектральной плотности 2knlT.

Выше показано, что интегральные квадратичные оцен­

ки вида

оо

§ wi4(t)wiV.(t)dt

о

212 Т Е П Л О В Ы Е Ф Л У К Т У А Ц И О Н Н Ы Е К О Л Е БА Н И Я [ГЛ. V

положительны и увеличение любого из элементов матрицы спектральных плотностей ведет к увеличению дисперсий

(см. (5.21), (5.22), (5.51)).

Предельная точность управления пассивным объектом при неквантовом взаимодействии с контролирующей си­ стемой. В рассмотренных задачах стабилизации вопрос об оптимальной обработке информации, оптимальной фильтрации сигналов датчиков информации, не ставился. Поэтому эти примеры, несмотря на их относительную общность, не являются вполне убедительными в смысле предельной возможной точности управления.

Попытаемся хотя бы для одного класса пассивных объектов решить ту же задачу о предельной точности управления с позиций оптимальной фильтрации сигна­ лов. Ввиду того, что априорная информация о контроли­ руемом процессе представлена в виде дифференциальных уравнений, естественно привлечь теорию фильтрации

трица коэффициентов, и вектор наблюдения (измерения) имеет вид

где £. — вектор-столбец белых шумов с неособой спек­ тральной матрицей Sz, hz — заданная квадратная или

прямоугольная матрица, то оптимальной в смысле мини­ мума математического ожидания квадратов ошибок оцени­ вания является система (фильтр Калмана)

214 Т Е П Л О В Ы Е Ф Л У К Т У А Ц И О Н Н Ы Е К О Л Е БА Н И Я [ГЛ. У

В развернутой до блоков форме это уравнение дает

л.. - й,ч - л.;+ -д4Д,; (г + D я и = о.

И

Эти уравнения для стационарной системы имеют весьма простое частное решение

Действительно, подставляя (5.63) в (5.62), убеждаемся, что три нижних уравнения обращаются в тождества, а верхнее уравнение приобретает вид

(второй корень уравнения (5.64) отрицателен и не имеет физического смысла). Рассматриваемая система вполне наблюдаема по Калману. Действительно, легко прове­ рить, что при неособых матрицах тп, с, г + гт ранг ма­

трицы

равен 2п. Из теории фильтра Калмана известно, что ре­

шение (5.63) в этом случае является единственным в том отношении, что к нему при t —>- оо стремятся все другие

решения, соответствующие произвольным начальным ус­ ловиям.

Итак, в установившемся состоянии корреляционные матрицы ошибок оптимального оценивания равны

Эти выражения следует рассматривать как характери­ стики предельной возможной точности контроля пассив­ ной системы при рассматриваемом неквантовом взаимодей­ ствии с измерителями. Они допускают простую интерпре­ тацию. Рассмотрим пассивную систему, аналогичную контролируемой, но с абсолютной температурой.

Согласно (5.13), (5.14) ковариационные матрицы тепловых флуктуационных колебаний в такой системе равны

M qq = кТшс~\ M qq = кТшПГ1,

что совпадает с выражениями (5.67). Таким образом, предельная возможная точность контроля пассивной си­ стемы при рассматриваемом неквантовом взаимодействии характеризуется ошибками, равными уровням тепловых флуктуационных колебаний этой системы при темпера­ туре Тш. Что касается формулы для Тш, то здесь целесо­

образно рассмотреть три случая:

В случае б), когда шумовая температура измерителей равна температуре Т контролируемой системы, предельная

достижимая точность контроля соответствует тепловым флуктуационным колебаниям при температуре 0,732г. В случае Та ^ Т предельная достижимая точность кон­ троля практически не зависит от Та и соответствует уров­

ням тепловых флуктуационных колебаний при темпера­ туре Т. Здесь проявляется явный выигрыш от оптимальной

фильтрации, однако и он не позволяет получить точность оценивания выше, чем соответствующая температуре Т .

Этот результат можно отнести не только к точности оце­ нивания, но и к точности управления. Действительно, точность управления может превосходить точность изме­ рения (оценивания) лишь в случае дополнительной филь­ трации шумов в замкнутой системе. Однако фильтр Калмана уже осуществляет фильтрацию шумов и при этом сам фильтр является некоторой моделью контролируемой системы.

Действительно, вводя обозначение блочной матрицы

4 }

на основе (5.54), (5.58), (5.63) уравнение оптимального фильтра представляем в виде

Таким образом, стационарный оптимальный фильтр пред­ ставляет собой некоторую модель контролируемой сис­ темы, отличающуюся от последней, по существу, лишь диссипативными членами. Эти члены слабо влияют на собственные частоты. Кроме того, при Ти Т, когда

согласно предыдущему

отличие левых частей уравнений (5.2), (5.70) вообще мало. Приходим к заключению, что оптимальный фильтр осу­ ществляет фильтрацию шумов вплоть до низших собствен­ ных частот контролируемой системы. Дальнейшее подав­ ление шумов измерителей в замкнутой системе невозмож­ но, так как собственные частоты замкнутой системы для осуществления стабилизации, как правило, должны пре­

вышать собственные частоты разомкнутой системы. Более строгое доказательство этого положения о предельной точности управления можно получить на основе теоремы разделения или стохастической эквивалентности [5.15]. Указанный порог, или барьер, управления становится особенно заметным в задачах контроля микроскопических объектов. Есть, однако, основания предполагать, что с помощью квантового взаимодействия с контролируемым объектом можно получить существенно более высокую точность контроля в сравнении с рассмотренным «класси­ ческим» случаем. К такому выводу приводят, в частности, следующие рассуждения. Пусть мы имеем систему (5.2), но с одной степенью свободы. Тогда т, г, с, q, <р — ска­

лярные величины и формулы (5.67) дают выражения для дисперсий ошибок оценивания координаты и ее произ­ водной:

Величина

т 2М [ё2] = М [(тгеё)2] = кТшт

есть дисперсия ошибки оценивания импульса. Таким образом,

М [е2] М [(те)2] = е2 (те)2 = к^Тт — ,

С

v ? v m = k Tm

где соо = " j / " — собственная частота контролируемой

системы. Между тем соотношение неопределенности Гей­ зенберга [5.16], рассматривающее квантовое взаимодей­ ствие с контролируемым процессом, может быть записано в виде

V & V (те)2 ж ,

где h — постоянная Планка.

Для задач, в которых собственная частота объекта намного меньше частот инфракрасного диапазона (именно в этих задачах справедлива формула Найквиста и формула

тать белыми шумами со спектральной плотностью (5.72). Однако нас интересует шум, приведенный к контролируе­ мой координате. Спектральная плотность приведенного шума определяется как величина (5.72), поделенная на квадрат крутизны преобразования:

Шум, свойственный самому фотоприемнику (ФЭУ), как уже отмечалось, может быть исчезающе малым, и им пре­ небрегаем. Световые потоки фотодатчиков считаем неза­ висимыми. Таким образом, вектор наблюдения в данном случае имеет вид

где | и — векторный белый шум с матрицей спектральных плотностей

ции светового давления создают некоторое обратное шумо­ вое воздействие на контролируемый объект. Спектральная плотность флуктуаций светового давления имеет следую­ щий порядок величины:

где ср — тепловые шумы с матрицей спектральных плотцоетрй (5.4), фд — шумы, создаваемые флуктуациями