книги из ГПНТБ / Красовский, А. А. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем

ния в установившемся режиме (МРР = M pq = M q„ = 0)

имеют исключительно простое решение [5.5], [5.6]:

При этом

Средние кинетическая и потенциальная энергии флукт} а ционных колебаний такой системы равны

что находится в полном согласии с положениями кинети­ ческой теории. Согласно (5.13), (5.14) матрицы коэффи­ циентов распределения равновесной системы равны

Поэтому плотность равновесного распределения может

4 (ЯТсЯ + Ятт )

есть энергия системы (флуктуационных колебаний), и распределение (5.16) есть распределение Гиббса [1.16].

В ряде случаев в динамической системе нет потенциаль­ ных сил. В этих случаях с = 0 и уравнения (5.12) прини­ мают форму

1Мрр -|- ттп М рртп V =

lifpq + rm~xM vq — МррПГ1 = 0,

(5.17)

М д р + М д р Т П ~ V — Г Г Г Ш р р = 0 ,

lifgg — Щ-Шрд — МдрПГ1 = 0.

192 Т Е П Л О В Ы Е Ф Л У К Т У А Н И О Н Н Ы Е К О Л Е БА Н И Я [ГЛ. V

т. е. вторые моменты обобщенных координат линейно из­ меняются во времени. Соответствующее решение для си­ стемы, находящейся в термодинамическом равновесии (справедлива формула (5.4)), имеет вид

В этом можно убедиться прямой подстановкой выражений

(5.4), (5.18) в (5.17).

Для неравновесной системы, температуры различных составных частей которой различны, а также для пере­ ходных режимов формулы для коэффициентов распределе­ ния сложнее указанных. Однако и для этих случаев мож­ но записать общие выражения для А — —М~х и получить

некоторые общие выводы.

Матрицу фундаментальной системы решений, удовлет­ воряющую уравнению

w + aw = 0, w (tr, t') = 1

(1 — единичная матрица), представим в блочной форме:

w(t, t') =

В последних выражениях через 1 обозначены единичные матрицы размерности п X п.

8 5.1] Ф Л У К Т У А Ц И О Н Н Ы Е Т Е П Л О В Ы Е К О Л Е Б А Н И Я 193

Решение уравнения (5.10) запишем в виде (2.35)i

I

М (t) = w (t, 0) М (0) ш' (/, 0) + 1 w (t, О Sw (t, 1') dt'. (5.20)

О

Необходимо различать понятия термодинамического рав­ новесия и равновесного или установившегося состояния в смысле уровней шумов. Если элементы системы имеют различные температуры, то термодинамическое состоя­ ние неравновесное. Для поддержания такого состояния (поддержания различных температур) необходимы, вооб­

неравновесной (в термодинамическом смысле) стационар­ ной. Весовые функции стационарной системы суть функ­

ции разности аргументов:

w (t, t') = w (t — t').

Если невозмущенное движение системы асимптотиче­ ски устойчиво, т. е. ш (£) -> 0 при t -*■ оо, то как в равно­

весной, так и неравновесной (в термодинамическом смы­ сле) стационарных системах с течением времени устано­ вятся определенные уровни флуктуационных тепловых колебаний:

При блочном представлении матриц имеем

т/27 А. А. Красовский

Для доказательства обратим внимание на то, что в пас­ сивных системах интегралы

дать такую воображаемую систему, в которой все вели­

(третье начало термодинамики в подобном воображаемом эксперименте можно во внимание не принимать).

и условиям положительны, поэтому положительны и ин­ тегралы (5.30).

Таким образом, дисперсии (5.29) в любой точке нерав­ новесной системы представляют собой в отношении тем­ ператур элементов 7\ц линейные формы с положитель­ ными коэффициентами. Такая форма принимает наимень­ шее значение на нижней границе аргументов (темпера­ тур) и наибольшее значение на верхней границе аргумен­ тов. Положение доказано.

Для равновесных систем справедливы весьма простые формулы (5.13), (5.14) вторых моментов флуктуационных колебаний. Эти формулы в сочетании с доказанным поло­ жением позволяют для неравновесной системы занисать следующие неравенства:

кТпн,, < М [gf,] < кТшах

(5.31)

max

ческое дополнение диагонального элемента тц этого

определителя, | с | — определитель матрицы с, с*1— алге­ браическое дополнение диагонального элемента Сц этого

определителя.

Перейдем к рассмотрению конкретных примеров. Тепловые шумы в много­

В отношении токов (матрица q) данная система устойчи­

ва, и в ней устанавливается равновесное (в смысле шумов) состояние. Согласно (5.29) для этого состояния

(5.32)

а матрица w (t) — || юц (t) || удовлетворяет уравнению

miv + rw = 0, w (0) = тг1.

Дисперсии токов согласно (5.31) находятся в пределах

— коэффициенты связи.