книги из ГПНТБ / Красовский, А. А. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем

Синтез систем оценивания. Пусть процесс, координаты которого х 1п должны быть оценены с максимальной воз­

можной точностью, описывается уравнениями

(4.59)

гДе fin— известные функции, | г — белые шумы. Коорди­ наты х 1а измеряются с помощью датчиков, имеющих ошибки или шумы xi ш:

В задаче фильтрации Калмана непосредственно измери­ мыми считаются некоторые линейные комбинации коорди­ нат Xia в совокупности с шумами. Однако предполагается

полная наблюдаемость по Калману, что равносильно возможности косвенного измерения всех фазовых коорди­ нат. Здесь рассматриваем более простой случай прямого измерения всех координат контролируемого процесса в совокупности с аддитивными шумами. Считаем, что ошибки или шумы датчиков могут быть представлены как выходные величины формирующих фильтров, на вы­ ходы которых действуют белые шумы:

Требуется построить систему оценивания (фильтр) вида

выходные величины которой x t^ в определенном смысле

наименьшим образом отличались бы]от истинных значений координат хщ контролируемого процесса по истечении

определенного времени наблюдения. При линейных функ­ циях /in./iffl) /гф квадратичном критерии приближения и известном нормальном начальном распределении коорди­ нат эта задача имеет решение в виде фильтра Калмана

(5.11], [5.12].

г= 1, 2, . .. , п ,

изапишем для этой системы ФПК-уравнение в виде (1.13):

ПП

где Si} — спектральные плотности шумов | гп, 61™— спек­

тральные плотности шумов £г ш, причем шумы | jn счита­ ются некоррелированными по отношению к шумам £<ш. Обозначим векторы

Если бы при заданном начальном распределении

р ( х в , Хф, Хт , t-у) = P i (Хв , Хф, х ш)

удалось найти такие функции / [ф, при которых распреде­

(здесь интегрирование ведется по пространству ошибок датчиков) приближалось бы в определенном смысле

182 РА В Н О В ЕС Н Ы Е РА С П Р Е Д Е Л Е Н И Я В СИСТЕМАХ [ГЛ . IV

наилучшим образом к 6-распределению б (жп —£ф), то зада­ ча синтеза оптимальной системы оценивания была бы ре­ шена. Однако в такой общей постановке решение задачи встречает существенные трудности и в настоящее время не известно.

Представляя заданные функции / гп, /*ш и неизвестные функции / гф указанных аргументов в форме полиномов или рядов, можно решать уравнение (4.46) описанным выше методом рядов. При этом получается бесконечная система уравнений типа (2.11), в которой коэффициенты athi • ••», относящиеся к функциям / гп, / гш, заданы, а от­

носящиеся к / гф — свободны, с учетом, однако, связей, накладываемых составом аргументов этой функции. Если ограничиться конечным числом членов разложения текущей логарифмической плотности, то указанная система обыкновенных дифференциальных уравнений становится замкнутой. Далее необходимо в пространстве коэффици­ ентов разложения In р назначить критерий или функцио­

нал точности оценивания. Если начальное распределение задано, т. е. известны начальные значения коэффициентов разложения In р, то после всего этого задача сводится

к выбору варьируемых параметров ацц..., из условия экстремизации заданного функционала. Эта задача в принципе разрешимая, но трудная. Одна из трудностей заключается в том, что желаемое распределение является обычно концентрированным относительно ягф — а:<п (ма­ лые ошибки оценивания). Это может вызывать плохую сходимость разложения In р в ряд, необходимость учета

большого числа членов ряда и чрезмерную громоздкость системы уравнений типа (2.14). В связи с этим возникает мысль о решении той же задачи методом моментов, т. е. использовании линейных уравнений моментов типа (2.77). При концентрированном распределении разложение ха­ рактеристической функции (2.76) быстро сходится и можно ограничиться учетом моментов невысокого порядка. Одна­ ко начальное распределение может быть не концентри­ рованным по всем фазовым координатам. В этом случае возникают те же трудности, связанные с громоздкостью уравнений моментов.

Можно поставить задачу синтеза оптимальной систе­ мы оценивания как задачу аналитического конструирова­ ния. В этом случае синтезируемые функции /*ф без огра­

186 РА В Н О В ЕС Н Ы Е Р А С П Р Е Д Е Л Е Н И Я В СИСТЕМ АХ [ГЛ . IV

• 2 <А р * + А + А ™ ) -

р,ф=1

(4.70)

— 2 2 appjj? = о,

р = 1

Эти соотношения можно рассматривать и как условия су­ ществования нормального равновесного распределения в рассматриваемой системе, и как уравнения для опреде­

ления коэффициентов а^У*1, а!У\ а“Д ащД . . . системы оценивания, обеспечивающей заданное (в пределах воз­ можного) нормальное равновесное распределение ошибок оценивания и других параметров.

188 Т ЕП Л О В Ы Е Ф Л У К Т У А Ц И О Н Н Ы Е К О Л Е БА Н И Я [ГЛ . V

скорости,

другие силы, линейно зависящие от обобщенных скоростей, ф( = фг (t) — центрированные случайные функции вре­

мени, соответствующие собственным тепловым шумам.

при условии теплового равновесия, когда все элементы системы имеют одинаковую абсолютную температуру Т,

на основе формулы Найквиста [5.1], [5.2] можно записать следующее выражение для матрицы спектральных плот­ ностей тепловых шумов:

где к — постоянная Больцмана. В этой формуле не уч­

тен так называемый квантовый множитель Планка [5.2], [5.4]. Однако изменение спектральной плотности, вызы­ ваемое этим множителем, наступает обычно лишь в обла­ сти частот инфракрасного излучения.

Таким образом, тепловые шумы в подавляющем боль­ шинстве случаев с полным основанием можно считать бе­ лыми шумами, что отражает формула (5.3) и последующие формулы.

Примером пассивных систем с несимметричной матри­ цей могут служить механические системы с гироскопиче-