книги из ГПНТБ / Красовский, А. А. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем

Роль шума | х здесь может играть случайный момент на валу двигателя следящей системы.

Если 4 = а г = 0, 4° 4 2) ф 0, т. е. релейное

управление присутствует в уравнении, в котором нет шу­ ма, то согласно (4.31) условие существования кусочно­ нормального распределения имеет вид

«1 = — х — • <1ц + а22

2. Система с переменной структурой второго порядка с одной линией переключения описывается уравнениями

Так же как в предыдущем случае, определяем коэффициенты с двумя индексами:

Последние две группы условий существования (4.23) для данного случая имеют вид

+ — S n (^n —®1-4а) I+ (4V —®4i b)'

§ 4.2J Ф П К -У РА В Н Е Н И Е И С И Н ТЕ З СИСТЕМ У П РА В Л Е Н И Я 173

Синтез систем управления. Сопоставим уравнение (4.44) с ФПК-уравнением (1.22) для свободного движения (uj = 0) того же объекта:

Пусть для момента t = t2 задана логарифмическая плот­

ность распределения

In /> (* !,.. ., хп, g = In р3 (Хи . . . , Х п ) -

= - М * 1 . • • М*п) (4-46)

в виде отрицательно определенной функции, могущей служить оценкой (нормой) приближения к невозмущенно­ му состоянию и удовлетворяющей условию нормировки. Пусть определено решение ФПК-уравнения (4.45) при условии (4.46). Тогда, как видно из (4.42)—(4.46), спра­ ведливо следующее положение.

Если для неуправляемого объекта (м,- = 0) без шумов известно текущее распределение плотности вероятности в фазовом пространстве р (хг, . . ., хп, t), обращающееся в

Функционал (4.47) является полуопределенным в том смысле, что назначаемыми по желанию конструктора яв­ ляются составляющие Уя и

Составляющая

раскрывается после решения задачи об определении лога­ рифмической плотности вероятности в фазовом простран­ стве неуправляемого объекта. Однако сумма

Л

заведомо является неотрицательной функцией фазовых

невозмущенным состоянием чаще всего также неотрица­

является заданной функцией времени и наличие соответ­

5 4.2] Ф П К -У РА В Н Е Н И Е И С И Н ТЕ З СИСТЕМ У П РА В Л Е Н И Я 175

ствующего члена в минимизируемом функционале никакой роли не играет, так что этот функционал также сводится

к(4.49).

Вработах [4.7]—[4.9] практическая процедура анали­ тического конструирования рассматривается как итера­ ционная. При таком подходе сначала на основе техниче­ ских соображений ориентировочно задается назначаемая часть функционала и определяются оптимальные для дан­

ного функционала управления. Далее тем или иным путем, но обычно посредством интегрирования уравнений зам­ кнутой системы на ЭВМ определяются процессы в синте­ зированной системе. Если эти процессы оказываются в каком-либо отношении неудовлетворительными, произ­ водится более или менее целеустремленная трансформа­ ция назначаемой части функционала и вновь осуществля­ ется синтез. Процедура повторяется до получения прием­ лемых результатов. При такой трактовке задачи аналити­ ческого конструирования синтез на основе минимизации функционала (4.47) оказывается целесообразным.

Для получения оптимальных управлений в явной фор­ ме необходимо решить уравнение (4.45) при граничном условии (4.46). Если неуправляемый объект (ut = 0) от­

носится к классу систем без прямых нелинейных связей и известна полная система первых интегралов для этого объекта, то согласно (1.25) общее решение уравнения (4.45) имеет вид

U п

lnp = Y (фх, • • •, Ф„) — f 2

( i=i i

где произвольная функция определяется из условия

Таким образом, в данном случае оптимальные управления равны

Если для объекта того же класса известно р <^п линейно

независимых первых интегралов, но условие

ляется редким исключением. В общем случае, когда эти интегралы неизвестны, для отыскания решения уравне­ ния (4.45) можно использовать изложенный выше метод рядов. Уравнения для коэффициентов логарифмической плотности вероятности и выражения этих коэффициентов

По условию функция V3 должна быть положительно опре­

деленной, поэтому в разложении присутствуют лишь члены четных степеней. Коэффициенты pih, рШ т, . . ., симмет­

ричные относительно всех индексов, считаются задан­ ными величинами. Тогда, в соответствии с (2.8), (2.19), (4.46), коэффициенты ряда логарифмической плотности вероятности получаются как решение бесконечной систе­ мы линейных уравнений (2.19) при граничных условиях следующего вида:

(4.55)

Интегрирование уравнений при подобных граничных усло­ виях удобно производить в обратном времени т = —t. При этом момент t2 считается за начальный. Для устой­

чивых по линейному приближению объектов это выгодно с точки зрения сходимости метода. Соответствующие со­ ображения приведены в главе II.

Для выражения коэффициентов оптимальных управ­ лений через квадратуры весовых функций линейного приближения можно использовать выражения (2.23), за­ менив в них момент времени 0 на t2 и начальные значения

где Ь изменяется от <; t2 до t2- Сами оптимальные в

смысле минимума функционала (4.47) управления имеют вид

Этот ряд при t = t2 по условию сходится.

Для объектов без прямых нелинейных связей и обоб­ щенно консервативных объектов выражения для коэффи­ циентов оптимальных управлений принимают вид

&ijkо • • •