книги из ГПНТБ / Красовский, А. А. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем

других по величине, то подбором а можно, по крайней

мере для начальных распределений, близких к (3.111), добиться высокой вероятности нахождения главного эк­ стремума и малой вероятности прихода к неглавному экстремуму. В этом случае данный алгоритм поиска может применяться без дополнительных процедур. Если

же экстремумы близки по величине, то согласно получен­ ному решению вероятности прихода в окрестности этих экстремумов будут сопоставимы по величине. В этом слу­ чае путем статистической обработки можно выполнить анализ найденного экстремума и в случае его отличия от искомого, осуществить переброс начальной точки поиска в соседний «квадрат» (заранее выбранный район поиска). Подобные операции «глобального» поиска широко извест­ ны [3.20], [3.13], [3.21].

Заметим, что, помимо задачи поиска экстремума, урав­ нениям (3.110) и изложенной теории можно дать совер­ шенно другую интерпретацию. Действительно, уравнения

(3.110) при п — 3 представляют собой уравнения движе­

ния броуновской заряженной частицы в электростати­ ческом поле с потенциалом F. В этом случае xv x2, ха — геометрические координаты частицы, кх = ка = ка —ве­

личина, пропорциональная заряду частицы и обратно пропорциональная коэффициенту вязкого трения (силой инерции в сравнении с силой Стокса пренебрегаем),

мер, при рассмотрении электростатических улавливающих фильтров (электроулавливания), электроокрашивания, электросепарации (о данных технологических процессах см., например, [3.22]).

Система экстремального регулирования с синхронным детектированием при случайных сигналах поиска. Из­ вестная структура системы экстремального регулирова­ ния с синхронным детектированием изображена на рис. 3.6. Если объект безынерционный и описывается квадра­ тичной формой, то уравнения системы запишутся в виде

рости дрейфа эстремума, 624 — поисковые составляющие, кi — коэффициенты усиления каналов, a.jh — постоянные

величины. Будем считать, что поисковые колебания пред­ ставимы с помощью формирующих фильтров типа аперио­ дических звеньев:

Tlabti + bxt = £*п, i — 4, 2, . . ., re, (3.125)

§ 3.4] СТАТИСТИЧЕСКОЕ И СС ЛЕД О ВА Н И Е СИСТЕМ 157

имеет вид

На рис. 3.7 представлены кривые изменения диспер­

сии М п = (A#!*-}- ба^)2 во времени при различных зна­ чениях постоянных х = /с1а117’п, т] = S'JTn, получен­

ные путем численного интегрирования уравнений (3.141). Видно, что увеличение спектральной плотности случай­ ного поискового сигнала, так же как и увеличение коэффи­ циента усиления («форсирование» процесса), неизбежно приводит к потере устойчивости.

ГЛА&А IV

РАВНОВЕСНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В СИСТЕМАХ С КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ.

ФПК-УРАВНЕНИЕ И СИНТЕЗ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

В данной главе рассматриваются относительно разно­ родн ы е во п р о сы статистической теории динамических

систем. Сначала выводятся условия существования ку­ сочно-нормального равновесного распределения в систе­ мах с кусочно-линейными характеристиками при наличии шумов.

Затем рассматриваются постановки задач синтеза си­ стем управления и оценивания и пути решения этих задач. Часть затрагиваемых вопросов носит проблемный характер и не имеет исчерпывающего решения.

§ 4 . 1 . Равновесные распределения в системах с кусочно-линейными характеристиками

Предположим, что re-мерное фазовое пространство ди­ намической системы может быть разбито на конечное чис­ ло областей C?v, в каждой из которых характеристики системы линейны:

где a?\ a$ — заданные постоянные или функции време­

ни. Области Gv в совокупности занимают все фазовое пространство и разделены заданными непрерывными ги­ перповерхностями

В дальнейшем в качестве таких граничных гиперповерх­ ностей чаще всего будут рассматриваться гиперплоскости

Поверхности (4.2), (4.3) будут именоваться поверхно­ стями переключений.

Будем полагать, что шумы, действующие на систему, одинаковы для всех областей фазового пространства.

Тогда уравнения движения в v-й области будут иметь вид

П

зываются системами с кусочно-линейными характери­ стиками. Подклассом этих систем являются релейные

системы вида

П

x i 4" + 2 aikx k — £ii (4-5)

<с= 1

в которых при переходе из одной области в другую меня-

(v)

ется скачком «постоянная составляющая» щ .

Другим подклассом кусочно-линейных систем являются системы с переменной структурой, исследованные С. В. Емельяновым и его учениками [4.1]—[4.5]. Для этого

подкласса ^ = 0, а граничными поверхностями служат

гиперплоскости, проходящие через начало координат. Часто используемая аппроксимация характеристик эле­ ментов систем управления в виде ломаных также при­ водит к уравнениям вида (4.4). Достаточно очевидно, что использование концепции фазового газа для систем с ку­ сочно-линейными характеристиками правомерно.

Ввиду локального характера ФПК-уравнения оно справедливо внутри каждой из областей Gv: