книги из ГПНТБ / Красовский, А. А. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем

то уравнения старших коэффициентов (3.72) примут форму

Акк', .... 3s'

2iV

X Л pp't ii't ...,//») = 0.

2N—2

Эти уравнения ничем не отличаются от уравнений коэф­

рассматриваемой системы. По условию система без шу­ мов устойчива и в свободном движении А ц ’,хк',ss' стре­ мятся к бесконечности при t —*■оо (см., например, вы­

ражения (2.23)).

Спускаясь от уравнений старших коэффициентов к уравнениям коэффициентов с 2N — 2, 2N — 4, . . . ин­

дексами, убеждаемся, что, вообще говоря, все эти коэф­ фициенты стремятся к бесконечности при t-*- оо. Таким

образом, для устойчивой без шумов системы решение (3.71) неустойчиво по Ляпунову.

Для того чтобы найти другое, хотя бы приближенное, решение, необходимо проинтегрировать уравнения (3.70) при обычном предположении (3.73). Однако предваритель­ но целесообразно осуществить следующий анализ и преоб­ разования.

Как и в предыдущей задаче постоянных параметри­ ческих воздействий (см. § 3.2), все коэффициенты целесо­ образно разбить на три группы: коэффициенты со штрихо­ выми индексами, равными нулю, коэффициенты со штрихо­ выми индексами, не равными нулю, и коэффициенты, часть штриховых индексов которых равна нулю, а другая часть этих индексов отлична от нуля.

Рассмотрим сначала уравнения коэффициентов второй группы, т. е. уравнения коэффициентов членов, содержа­ щих только параметрические координаты хц•, i' > 0. Для них в соответствии с (3.69) app-tii^ kk' = 0 и уравнения

(3.70) ничем не отличаются от уравнений коэффициентов для случая линейной стационарной системы, находящейся

§ 3.3] ДИ Н А М И К А Л И Н Е Й Н Ы Х С ТОХАС ТИЧЕСКИ Х СИСТЕМ 123

под воздействием аддитивных белых шумов. Так и должно быть, так как нижняя группа уравнений (3.66), по су­ ществу, автономна. Очевидно, что при нормальном цент­ ральном начальном распределении текущее распределение для параметрических координат является нормальным цен­ тральным, а установившееся распределение для этих координат всегда нормально. Поэтому уравнения (3.70) для коэффициентов данной группы сводятся к уравнениям

то система уравнений (3.74) замкнута, при переходе к обратной матрице || к(г<|-1 (корреляционной матрице) становится линейной и решается обычным способом (см.

первой группы, соответствующих членам с основными координатами xi0. Для этой группы уравнений

Дрр', кк' = арр', io, ко ~ 0»

и опять уравнения (3.70) ничем не отличаются от анало­ гичных уравнений для линейной системы, находящейся под воздействием аддитивных шумов. Решение есте­ ственно искать в виде коэффициентов нормального

центрального распределения. Уравнения (3.70) при этом сводятся к уравнениям вида

П

А{0, но— 2 (аро, гоАро, ко + аро, коАро, i0) —

При уже использовавшемся предположении, что Арр’,ю = 0 при р' > 0, система уравнений (3.75) замкнута и обыч­

ным простым способом позволяет определить корреля­ ционную матрицу

1 M io,fto|= 1 io,АО11

или матрицу коэффициентов ||xli0>h0||. Основную труд ность составляет определение коэффициентов третье! группы, соответствующих произведениям как основных координат xin, так и параметров xih, к > 0. Уравнения

(3.70), соответствующие этим коэффициентам:

имеет и вторая группа уравнений (3.76), которую с уче­ том соотношений (3.77), (3.79), (3.81), (3.69) можно пред­

Остается третья группа уравнений (3.76), которая с уче­ том (3.77), (3.79), (3.81), (3.82) принимает вид

Заметим, что уравнения (3.83) являются линейными от­

нениях (3.83) следует считать заданными. Подводя итог

§ 3.3] ДИ Н А М И К А Л И Н Е Й Н Ы Х СТОХ А С ТИ ЧЕСКИ Х СИСТЕМ 127

изложенному, заключаем, что логарифмическая плот­ ность вероятности в фазовом пространстве системы (З.С8), определенная с точностью до кубических членов при нор­ мальных центральных начальных распределениях основ­ ных координат и параметров x it- (V > 0) и независимости

аддитивных шумов от параметрических шумов, равна

(см. уравнения (3.74)).

Нас интересует распределение основных координат. Оно получается интегрированием совместного распреде­ ления по пространству параметров

i, i', k, k'=l

Обозначим, как и ранее, корреляционную матрицу пара­ метров, обратную матрице коэффициентов распределения параметров | ^444>|кЛ*||, через — М:

128 РЕ Ш Е Н И Е Ф П К -У РА В Н Е Н И Я М ЕТОДОМ РЯ Д О В [ГЛ. 111

— распределение в стационарной (без параметрических шумов) системе. Коэффициенты A i0)k0>ц> определяются

уравнениями (3.83), которые с учетом выражений (3.69) можно представить так:2

где

1 при v = р,

Иу|1 = |

Опри v=^p.

Итак, в рамках рассматриваемой «кубической теории» (аппроксимация совместной логарифмической плотности