книги из ГПНТБ / Шубов, И. Г. Шум и вибрация электрических машин

где k — жесткость вала при изгибе.

Условие (8-1) возможно, если у произвольно, а со имеет зна­ чение

(8-2)

Выражение (8-2) дает критическую скорость вращения вала. Для вала длиной I с моментом инерции поперечного сечения

приближается к оси вращения.

Часть кривой выше критической скорости принято изображать без учета знака.

На рис. 8-3 показано расположение точек В, S и G при равно­ весии сил по уравнению (8-4).

На этом рисунке В — ось подшипников, S — ось вала, G — центр тяжести диска.

При скоростях, меньших критической, точка G лежит от

Ш

В случае упругих подшипников рассмотренная физическая картина остается той же, однако несколько понижается критиче­ ская скорость ротора. Обычно жесткость подшипников по верти-

скорости вращения, соответствующие двум указанным жесткостям подшипников.

Формуле 8-2 можно придать более удобный вид:

<8'6)

где g — ускорение силы тяжести, или для критической скорости вращения

где у0— максимальный прогиб от веса О, см.

8-2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИТИЧЕСКИХ СКОРОСТЕЙ РОТОРА

а. Вал на двух опорах« При изучении поперечных колебаний вала электрической машины основное внимание уделяют расчету его критических скоростей. Правильно сконструированный вал должен иметь критические скорости вращения, достаточно уда­ ленные от рабочих скоростей.

Принятый в электромашиностроении графический метод рас­ чета критических скоростей обеспечивает достаточную точность, но сопряжен со значительной расчетной и графической работой.

112

Ниже излагается метод [34], позволяющий определять кри­ тические скорости аналитическим путем, в связи с чем он легко поддается расчету на счетно-решающей машине.

При изучении изгибных колебаний вал электрической машины на двух подшипниках рассматривается как балка на двух опорах (рис. 8-4).Задача о статическом изгибе такой балки сводится, как

—изгибающий момент; q(x)—

—интенсивность нагрузки на балку; EJ (х) — жесткость балки при изгибе.

Ось X направлена по оси вала. Уравнения (8-8) могут быть использованы для изучения изгибных колебаний вала, если в на­ грузку включить силы инерции вала, интенсивность которых пред ставляется выражением

д(*) д2у g dt2 •

Уравнение колебаний вала относительно положения покоя может быть при этом записано в следующем виде:

где у (х, t) — динамический прогиб вала; М (х, t) — динамиче­ ский изгибающий момент; у (х, t) и М (х, t) являются гармони­ ческими функциями времени и их можно представить в виде:

где у (х) и М (х) — форма колебаний и форма изгибающего мо­ мента,

Ш

Подставляя у (х, t) и М (х, t) в (8-9) и сокращая на sin kt, получим однородную систему дифференциальных уравнений:

Решение системы уравнений (8-11) относительно формы коле­ баний у (х) и формы момента М (х) возможно только при опре­ деленных значениях к = кк (k = 1,2). Физически это означает, что вал с заданным распределением массы и жесткости, с заданной длиной имеет строго определенные частоты свободных колебаний. Каждой частоте кк соответствует своя форма колебаний ук (х) и своя форма изгибающего момента Мк (х).

Сущность приводимого ниже метода заключается в том, что здесь задается форма колебаний и форма изгибающего момента, тем самым исключается двойное интегрирование и двойное диф­ ференцирование.

Форму колебаний и форму изгибающего момента можно пред­ ставить в виде рядов

а-і и bt — неопределенные коэффициенты.

Представляя форму колебаний и форму изгибающего момента в виде рядов (8-12), тем самым сводим задачу об определении неизвестных функций у (х) и М (х) к задаче о нахождении беско­ нечного числа коэффициентов at и bt (і = 1, 2, . . оо), для определения которых из (8-12) получается бесконечная система однородных алгебраических уравнений. Эта система алгебраи­ ческих уравнений допускает решение только при определенных значениях к = кк, соответствующих частотам свободных изгибных колебаний вала.

Для электрических машин интересно знать первую, иногда первые две частоты свободных изгибных колебаний.

114

Приближенную формулу низших частот можно получить,

T. e. оставив в разложении (8-12) только один член с индексом k. Решение уравнений дает нижеследующую формулу для опре­

деления критических скоростей вращения вала

sin 2я£г

Ф(ё/) = 5/ — 2я

Значения функции Ф ( |г) для различных значений % приведено в приложении 9.

Q* = ~Т £ АМ ’

і=і

где qt — погонный вес t-ro участка; Е — модуль упругости материала вала.

Для стального вала (Е — 2,1-ІО6 кгс/см2)

лкр

Для проведения расчета критической скорости вала составим расчетную табл. 8-1.

115

Следует, однако, иметь в виду, что не для каждого вала должен производиться такой расчет. Так, например, для тихоходных валов достаточно произвести приближенную оценку критической ско­ рости.

Формула для приближенной оценки первой критической ско­ рости получается исходя из следующих упрощений:

1.Вал машины заменяется эквивалентным валом равного по длине сечения d3KB. Для машины постоянного тока этим сечением может быть принята ступень вала под коллектором, а асинхрон­ ной и синхронной машин (кроме турбогенераторов) — ступень вала под посадку вентиляторов.

2.Вес ротора G принимается равномерно распределенным по длине I между опорами.

Эта формула имеет вид:

Если величина пкр, рассчитанная по формуле (8-15), будет выше рабочей скорости вращения ротора не меньше чем на 80— 100%, то более точного расчета не требуется.

Так, по приближенной формуле критическая скорость ротора, рассчитанного в примере,

В случае если рабочая скорость вращения этого ротора равна 1500 об/мин, то точного расчета критической скорости не тре­ буется,

116 (

б. Вал на двух опорах с консолью. У вала на двух опорах с нагруженной консолью, как известно, имеются две основные критические скорости. Первая из них — низшая критическая скорость, при которой инерционные силы, действующие в пролете между опорами и на консоли, направлены в противоположные стороны.

В этом случае упругая линия имеет вид, показанный на рис. 8-5, а. При второй критической скорости (высшей) инерцион­ ные силы направлены согласно на рис. 8-5, б.

Обычно для электрических машин практическое значение имеет только первая критическая скорость.

Аналитически произвести упрощенный расчет критической скорости вала с консолью, используя при этом результаты выше­

Рис. 8 -6 . Формы колебаний вала с консолью

приведенного расчета критической скорости в пролете, можно следующим образом:

1.Определить критическую скорость пкр к для вала одинако­ вого по длине сечения, в пролете между опорами которого дей­ ствует нагрузка, равная весу якоря Ga, а на консоли — весу маховика G„.

2.Определить критическую скорость пкр вала без консоли одинакового сечения с нагрузкой в пролете, равной весу якоря G„.

3.Установить коэффициент влияния консоли kK на величину критической скорости, взяв отношение критических скоростей

^кр. к^кр-

Формула для расчета коэффициента kK может быть получена из частотных уравнений деформаций вала, исходя из того, что центробежные силы вращающихся масс при критической скоро­ сти должны быть уравновешены упругими силами:

У і ■= /« і® 2г / Л і + т 2 й>г у 2% 1 г \

податливости, характеризующие деформацию в точке от единич­ ной силы, приложенной в той же точке; Ä,12, Я,21 — взаимные податливости.

По теореме взаимности Я.12 = Х21, так как груз, приложенный в точке 1, вызывает прогиб в точке 2, равный прогибу в точке 1, вызванному такой же нагрузкой в точке 2.

117

Эта зависимость для различных значений GJGUи сП приведена на рис. 8-6.

Определим первую критическую скорость вала на двух опорах с нагруженной консолью (п. «б»).

Длина консоли I = 120 мм; вес маховика GM= 1300 кгс\

вес якоря Ga = 1400 кгс; отношение GH/GM= -Цщу- = 1,08;

118

у вала на двух опорах с консолью, имеются две основные критические скорости, которым соот­ ветствуют две пространственные формы колебаний вала (рис. 8-7).

Обычно практическое значение имеет критическая скорость, рас­ считанная по первой форме коле­ баний (рис. 8-7, а).

Частотные уравнения дефор­ маций вала аналогичны уравне-

Рис. 8 -6 . Кривые коэффициентов влия­ ния консоли kK

ниям (8-16). Поэтому расчет критической скорости может про­ изводиться по формуле (8-20), приняв в ней податливости [31 ]:

^ п ~~ТЩЁ7^ (4/і (/ —Сі)2сі —Ci (—ci -f b2ci — l\c\) (Z2 — 1\ —c2));

Рис. 8-7. Формы колебаний трехопорного вала

8-3. ВЛИЯНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ФАКТОРОВ НА КРИТИЧЕСКУЮ СКОРОСТЬ ВРАЩЕНИЯ

На критическую скорость вращения влияет целый ряд факто­ ров. К самым существенным из них относятся магнитное притяже­ ние, податливость опор вала, гироскопическое действие масс и' влияние насаженных на вал деталей (пакетов железа и втулок).

Рассмотрим кратко все эти факторы.

а. Магнитное притяжение. Сила одностороннего магнитного притяжения при некотором эксцентриситете ротора приводит к увеличению прогиба вала, т. е. к дополнительному эксцентри­ ситету, который, в свою очередЬ, вызывает дополнительное увели­ чение прогиба и т. д. Когда упругая реакция изогнутого вала

119