книги из ГПНТБ / Тредер, Г. -Ю. Теория гравитации и принцип эквивалентности. Группа Лоренца, группа Эйнштейна и структура пространства

лера, Пеллегрини и Плебаньского. В теории Тредера прин­ цип эквивалентности ослабляется в наибольшей степени, в то время как теория Розена — Колера занимает в этом смысле промежуточное место между теориями Меллера и Эйнштейна. Поскольку в теории Тредера представление о физической природе гравитационного поля основано на крайне слабом принципе эквивалентности, существенно изменяющем физическое содержание теории гравитации, ее следует рассмотреть особо (часть Б).

В каждом из рассматриваемых вариантов обобщения ОТО имеет место обогащение геометрической структуры Ѵ4. Все они отличаются от теории Эйнштейна наличием системы отсчета, подобранной соответствующим образом. В результате оказывается возможным разумное определение энергии и импульса. Во всех вариантах используются особые векторные поля, которые, однако, не имеют ничего общего с векторными полями, определенными с помощью групп движений риманова пространства. Это дает возможность не­ посредственно вводить в теории спинорные поля (см. тео­ рии Меллера и Тредера).

§ 8. ТЕОРИЯ РОЗЕНА — КОЛЕРА

В теории Розена—Колера в дополнение к g ik вводится в рассмотрение метрика -qik. Это значит, что, кроме римано­ ва пространства с g ik, существует еще некоторое плоское пространство i\ik, и точки с одинаковыми координатами в обоих пространствах отображаются друг на друга. Это эквивалентно заданию некоторого многообразия Ѵ4 с двумя сопряженными тензорными полями g lk и -qik, причем мно­ гообразие, соответствующее плоскому пространству, гомеоморфно многообразию искривленного пространства. Фи­ зически это значит, что в теории существует возможность непрерывно сравнивать опорное плоское пространство с пространством, адекватным реальной ситуации при нали­ чии гравитационного поля.

Для двух метрик можно записать линейные элементы

70

Разность между коэффициентами аффинной связности ри-

производной по координатам. Отсюда для Dlmn получаем явное выражение в произвольной системе координат

так как в нормальной системе координат выражения (3.9) и (3.10) совпадают.

Очевидно, что с помощью этих двух ковариантных про­ изводных легко теперь свести к тензорам все геометриче­ ские объекты, которые в общей теории относительности были лишь аффинными. Для этого достаточно заменить в них обычные производные производными относительно дгА.

В нормальных координатах полученные тензоры совпа­ дают с аффинными тензорами, если выполнить подстановку

V = g + V 1 R (g = d e tg lft, T = d e tijIJt). (3.11)

Тензор Риччи теперь можно получить с помощью Dlmn и ч]1/г только чисто тензорными операциями. Так как про­ странство с метрикой 'f\ik плоское, то можно положить

Го тп = 0 глобально. В этих координатах, с учетом (3.9), получим

а для тензора Риччи

Так как в определение (3.13) входят только тензорные величины, то оно будет справедливо в любой системе ко­ ординат.

71

ны нулю силы инерции, то правая часть в уравнении гео­

Розена—Колера полюсил гравитациисопоставляется тен­ зор, причем тензор gifl является тензорным потенциалом,

а7 )іа — тензорный потенциал мнимых сил. Геодезические

Если в качестве уравнений гравитационного поля принять уравнения Эйнштейна, то они будут иметь вид

где тензор Риччи определяется по формуле (3.13), а грави­ тационным силам отвечает введенный выше тензор. Су­ щественным моментом в формулировке уравнений поля является разделение инерционных и гравитационных сил (3.9).

Так как уравнения Эйнштейна подчиняются условию

то в собственно теории Эйнштейна можно ввести четыре дополнительных координатных условия, например усло­ вия де Дондера

72

Однако его недостаточно для определения связи g ik и i\lk, так как всегда можно четырьмя координатными преобра­ зованиями, не нарушая (3.18), перейти от заданного t\lk

К ПРОИЗВОЛЬНОЙ СВЯЗИ Т]ік и g ik.

В качестве примера рассмотрим сферически-симметрич-

однако асимптотическое условие (3.18) все еще выполняет­ ся, если положить

Отсюда следует, что для установления однозначной связи 'Oik и Ліа необходимы еще четыре координатных условия. Только в этом случае g ik и -qik фиксированы. Выбор допол­ нительных координатных условий кажется несколько искус­ ственным и неоднозначным. Однако можно воспользовать­ ся принципом соответствия с проверенной теорией слабого гравитационного поля по аналогии с условием де Дондера в теории Эйнштейна, записанным в ковариантном виде

Плохо только, что условие (3.22) не вытекает с необходи­ мостью из самой теории. Кроме того, недостатком теории можно считать сам факт введения, кроме gik, дополнитель-

73

ного тензора т]гА, который не входит в уравнения поля, а связан с ними лишь через дополнительные условия.

Тензор ~qik не входит также и в уравнения движения. По­ этому установление однозначной связи g iK и -г\ік особенно важно, иначе может возникнуть ситуация, когда различные гравитационные поля приводят к одинаковой картине дви­ жения частиц в этих полях. В теории Розена — Колера два решения с одинаковыми gik, но разными т\ік, приводи­ ли бы в этом случае к различному разложению в уравнении

Так как уравнения движения частиц во внешнем грави­ тационном поле следуют уже из слабого принципа экви­ валентности, то необходимость фиксации связи g ik и до­ полнительных полевых величин должна учитываться в лю­ бом варианте теории гравитации.

Выведем теперь уравнения гравитационного поля Ро­ зена — Колера из принципа действия. В отличие от теории Эйнштейна в теории Розена—Колера можно образовать

скалярную величину, билинейную noD ^H содержащую лишь первые производные метрического тензора. Для этого достаточно соответствующий аффинный скаляр теории Эйнштейна

понимать как плотность в нормальных координатах с

получаем уравнения Эйнштейна, так как (3.23) справедливо в нормальных координатах.

Дополнительные условия (3.22) не вытекают из этого вариационного принципа. При нашем выборе координат вариация функции Лагранжа по т)гй не приводит ни к ка­ ким новым уравнениям, а дает лишь тождество Риччи (3.16).

Чтобы в рамках биметрической теории получить зам­ кнутую систему уравнений поля, нужно сконструировать полный лагранжиан, в который входили бы g ik и і\ік и их первые производные. Но в рамках теории Розена — Ко­ лера такой лагранжиан определяется неоднозначно. Если

74

ограничиться функциями Лагранжа, однородно квадратич­ ными в нормальных координатах по скалярным плотностям g >k, содержащими первые производные от скалярных плот­ ностей и приводящими к симметричному тензору энергии — импульса, то можно показать, что существуют лишь две такие функции

У = ë m n ë r s ë " g тГ1 § Vt ( V — g ) ~ lm,

L 2 = ëm„ërsëUgr.Sl gr.St ( V ^ ë Y 1.

так что

ствуют еще три аффинные плотности, однако они не при­ водят к симметричному тензору энергии — импульса гра­ витационного поля. Варьируя (3.25), получаем полную систему уравнений Колера [2 ] в нормальных координатах:

причем Та= У — g Т\ есть тензорная плотность энергии—

импульса материи,

V .

есть тензорная плотность энергии — импульса гравита­ ционного поля, и справедливы равенства

Уравнение (3.26) есть результат вариации действия по giÉ, а уравнение (3.27) — по т\ік. Из (3.26) непосредственно сле­ дует условие

являющееся законом сохранения энергии — импульса в нормальных координатах.

75

Из уравнений (3.26) и (3.27) вытекает справедливость сла­ бого принципа эквивалентности. Кроме того, из (3.26) и (3.27) после некоторых преобразований можно получить

(3.31)

а это значит, что уравнения поля для у* и кц* удовлетворяют условию равенства нулю дивергенции тензора мате­ рии. И наоборот, если дивергенция тензора материи равна нулю, то уравнения для t]ik удовлетворяются тождествен­ но, т. е. они выбраны в теории Колера так, чтобы произвол выбора при фиксированному*соответствовал произволу определения у * из уравнения (3.26). А этот произвол, в свою очередь, ограничивается условием равенства нулю дивергенции тензора материи. Уравнения для т)ій можно рассматривать так же, как дополнительные условия на у*. Дополнительные условия Колера на t\ik имеют глу­ бокий физический смысл — они гарантируют справедли­ вость слабого принципа эквивалентности. В теории Ко­ лера нельзя произвольно выбирать у* и т)г* и вычислять затем тензор материи. Нужно всегда учитывать дополни­ тельные условия (3.27) .

Для величин L™ из (3.27) можно получить выражение

и если отбросить в производных от gmnчлены второго поряд­

ка. Здесь т\тп — тензор Минковского. Принимая это во вни­

76

где

Vfm + ^ 2 8 тТ г= Ф т.

Если учесть (3.39), то в случае статического распределе­ ния однородной материи (для которой дивергенция тен­ зора материи равна нулю) получим метрику

(3.37) совпадает с соответствующим результатом теории

Для того чтобы в (3.37) коэффициент при (dx° ) 2 отвечал общепринятому для определения красного смещения при­ ближению, между К1 и Х2 должно существовать соотноше­ ние

Теперь уже можно выразить отклонение света и смещение

Для смещения перигелия нужно вычислить gm во втором приближении. Конкретные вычисления по (3.26) дают

* Ф — ньютоновский потенциал.

77

откуда, учитывая также (1 .2 0 ) и (1 .2 1 ), получаем формулу для красного смещения:

Если Хх = 1, то из (3.43) снова следует эйнштейновское зна­ чение смещения.

Как видим, конкретное смещение перигелия в сильной степени зависит от Хх. При Х ^ І А<р всегда положителен, но даже при дальнейшем уменьшении Хх смещение все еще превышает эйнштейновское значение. Например, при Хх = = 0,9 соответствующие величины имеют следующие кон­ кретные значения: Дф = 1,90", Дер = 1,15 Д?ЭйнштеШі.

В рассматриваемой теории уже в лагранжиане полагают Хх = 1 , что приводит, во-первых, к наиболее простому математическому оформлению теории и, во-вторых, к пол­ ному совпадению теории с теорией Эйнштейна в низших порядках приближения слабого поля. Расхождения с тео­ рией Эйнштейна (даже при X = 1) начинаются уже в выс­ ших порядках приближения слабого поля и, разумеется,

вслучае сильного поля.

Втеории Розена — Колера можно сформулировать за­ коны сохранения энергии, импульса, момента импульса и закон движения центра тяжести системы. Уравнение (3.30) справедливо только в нормальных координатах. В общем же случае следует написать

В теории Эйнштейна величина (Т* + U) является псевдо­ тензором, из которого можно получить лишь интегральные законы сохранения, связанные с определенным выбором системы координат. В теории Розена —‘Колера)уравнение (3.44) чисто тензорное. Так как пространство і)ІА плоское, то существует 10 векторов Киллинга, удовлетворяющих уравнениям

78

Поэтому из (3.44) обычным путем можно найти 10 строгих законов сохранения для величин

Гравитационная энергия локализуема, так как тензорная

торы Киллинга іт генерируют группу движений в прост­ ранстве с метрикой 7 ]ik, а не в римановом пространстве с метрикой glk, в котором как раз и происходит, в соответст­ вии с принципом эквивалентности, истинное движение ма­ териальной системы. Отсюда следует также, что нет такой материальной частицы, движение которой можно было бы использовать для измерения метрики т\ік.

§ 9. ТЕТРАДНЫЕ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ

Если в теорию Эйнштейна ввести тетрады, то из уравне­ ний гравитационного поля можно определить лишь метри­ ку

они могут быть определены только с точностью до произ­ вольных локальных лоренцевых вращений: теория инвари­ антна относительно этой группы преобразований. Тетрад­ ная переформулировка общей теории относительности Эйн­ штейна не дает новой физической информации. Эйнштейн уже в 1928 г. [6 ] пришел к мысли ввести в теорию в ка­ честве существенных физических величин, кроме самих тетрад, и 6 их комбинаций. Он имел в виду построить единую теорию гравитации и электромагнетизма, поэтому 6 дополнительных величин он пытался ассоциировать с по­ левыми величинами теории Максвелла и искал для них та­ кие уравнения, которые в приближении слабого поля сов­ падали бы с уравнениями Максвелла.

Полученная таким образом теория все еще оставалась бы инвариантной относительно глобальных лоренцевых преобразований тетрад. Геометрическая структура рима-

79