книги из ГПНТБ / Тредер, Г. -Ю. Теория гравитации и принцип эквивалентности. Группа Лоренца, группа Эйнштейна и структура пространства

Как известно, тензорную плотность Эйнштейна можно представить в виде

( 2 '6 4 )

Подставим затем (2.64) в уравнения гравитационного поля и получим

где дополнительный член Ъ1к зависит от поля ф и его пер­ вых и вторых производных.

как определение инертной массы замкнутой системы. Можно записать Р0как интеграл по поверхности. Тогда,

с учетом (2.44), (2.49) и (2.50), получим из суперпотенциа­

откуда следует, что активная тяжелая масса и инертная масса в теории Иордана — Дикке различаются, а следо­ вательно, нарушается и сильный принцип эквивалентности. Это имеет место даже для поля точечных масс, так как для них СфО.

Вообще говоря, вместо (2.68) следовало бы ожидать дру­ гой результат.

Как известно, для стационарного поля 7?о можно пред­ ставить в дивергентной форме. Кроме того, если метрика при г—у оо переходит в (2.44) с коэффициентами (2.49) и (2.50), имеет место равенство

2В

fRg d3x (2.69)

X

Но

— (To-TS) + ( z g - z s ) d3x (2.70) 2y

(суммирование по а от 1 до 3).

60

С другой стороны, для замкнутой системы нужно по­ требовать, чтобы интегралы

J "Л + + Z£ j d3x ( « = 1 , 2 , 3 ) (2.71)

исчезали. Поэтому можем преобразовать интеграл (2.70), что дает

- у - = 2 j Ro dH = j [ф"1 То + to + Zo] d3x = P0, (2.72)

но не (2.68). Где ошибка?

Интегралы (2.71) можно, с учетом (2.65), преобразовать в поверхностные. Тогда легко можно убедиться, что в метрике (2.44), (2.49) и (2.50) эти интегралы не исчезают. Следователь­

но, преобразование интеграла j" R° d3x недопустимо.

Но если интегралы (2.71) не равны нулю, то рассмотрен­

ное выше распределение материи (Т[ ф 0 в мировой трубке конечного сечения) не является замкнутым. Другими сло­ вами, величины

не образуют никакого вектора относительно преобразова­ ний, переходящих на бесконечности в лоренцевы.

Если же мы хотим видеть в Р0 инертную массу, то авто­ матически в теории Иордана — Дикке активная тежелая масса не совпадает с инертной. Но: 1) в теории Эйнштейна Рк имеет физический смысл в некотором классе систем ко­ ординат; 2) в теории Иордана—Дикке Ph теряет всякий физический смысл. Из всего этого следует, что формулиров­ ка сильного принципа эквивалентности как условие ра­ венства масс несет очень мало информации, если речь идет о неньютоновских гравитационных полях.

§ 6. ТЕОРИЯ ХОЙЛА

Для описания гравитационного взаимодействия Хойл также вводил скалярное поле, однако руководствовался он при этом принципом Маха [12]. Особенно большое значе­ ние его С-поле играет в космологии Хойла (предотвращение сингулярностей), а также для решения недавно возникшей задачи о сильных гравитационных полях локальных не­ однородностей во Вселенной [13].

61

Уравнения поля и движения в теории Хойла выводятся из вариационного принципа

где / — константа связи, равная ІО-28, а в новых вариантах теории она равна ІО-8 [20]; Ck= C ,k— градиент скаляр­ ного поля С; т — масса покоя заполняющих Вселенную частиц.

Структура теории Хойла отличается от структуры тео­ рии Иордана — Дикке. Если в последней скалярное поле является составной частью гравитационного поля, а член связи естьф/?, то в теории Хойла С-поле связано с материей при помощи выражения Б т J Ck ■dxk/ds, которое явля­ ется полным дифференциалом и поэтому при вариации мировой линии дает вклад только в конечных точках.

материя существует, ее движение определяется членом Smjds, т. е. существующая материя движется по геодези­ ческим линиям пространства, образованного ею же.

Следовательно, в теории Хойла выполняется слабый принцип эквивалентности для обычной материи, пока она существует. Более того, выполняется и сильный принцип, поскольку для описания поля используется лишь метрика, а С-поле рассматривается как новая материя. Это новое поле тоже является источником гравитации, но соответствующие решения в теории Хойла и Эйнштейна различаются очень мало из-за чрезвычайной малости f. На этом мы и закончим обсуждение теории Хойла.

Уже в наше время Хойл и Нарликар предложили но­ вую теорию, основанную на принципе Маха (масса и инер­ ция одной частицы обусловлены всей материей Вселенной) [14].

До конца параграфа мы будем пользоваться следующи­ ми обозначениями: а, Ь,... — номера частиц; А,В,... — точ­ ки на мировых линиях частиц а,&,...; аМ , Ь'в ,...— коорди­

62

наты этих точек (і = 1,2,3, 4). Вдоль мировой линии час­ тицы а собственное время в точке А задается выражением

гДе ëih — метрика риманова пространства, в котором час­ тицы движутся; G (А , В) — действие сил инерции А на В

и, наоборот, G (А, В) = G (В, А) и определяется с помощью конформно-инвариантного уравнения

Здесь X — произвольная точка риманова пространства, скалярная кривизна в которой имеет значение R(X). Да­

лее, g — детерминант параллельного пропагатора giA kx- Варьируя (2.75) по мировым линиям частиц, получаем

уравнения их движения:

da *

Здесь инертная масса tna частицы определяется с помощью

Геометрия определится варьированием g ih, которые входят в (2.75), по G (Л, В). Получаются уравнения

(Я,*“ St*) ^ 2 2 >п{а) ^ b)^ + 3 g ipgkpT ^ -

■2 2 [m (0) (gik gP^ m flq — tn% + m(b) (gik gP*m!% —

a<b

63

причем тензор энергии—импульса некоторой системы УѴ-час- тиц определяется выражением

Хойл и Нарликар замечают, что уравнения (2.78) и (2.81) при преобразовании

конформно-инвариантны, если массовые функции преобра­ зуются следующим образом:

Если число частиц так велико, что можно рассматривать систему іѴ-частиц как континуум, то можно повсюду заме­

а

примут ВИД '

\т2(R ik — Y ëik R^j + STik — m (gik g n m. pq — m.t k) _

тогда как для m из (2.77) следует уравнение

64

Уравнения (2.86) и (2.87) имеют большое сходство с уравнениями поля скалярно-тензорной теории Иордана— Дикке. Можно сказать, что в теории Хойла — Нарликара в «приближении однородной жидкости» мы имеем дело с скалярно-тензорной теорией с одним скалярным полем т, тогда как в общем случае — со скалярно-тензорной теорией со многими скалярными полями т^Ь). Это доказали Пирани и Дезер [15].

Достойна внимания форма уравнений движения (2.78). Массы покоя всех частиц не могут при помощи одного кон­ формного преобразования одновременно стать постоянны­ ми. Вообще при помощи одного конформного преобразова­ ния можно достичь того, чтобы только одна частица дви­ галась по геодезической линии и имела постоянную массу покоя.Тогда все другие частицы не будут двигаться по гео­ дезическим линиям, т. е. в теории Хойла — Нарликара слабый принцип эквивалентности выполняется не строго.

Чтобы рассмотреть в своей теории красное смещение, отклонение света и смещение перигелия, Хойл и Нарликар

Тогда геометрия в окрестности какой-либо частицы (в ка­ честве таковой выбирается первая частица) определяется при условии, что в этой окрестности нет других частиц, но на большом от нее расстоянии находится много частиц, так что здесь можно применить «приближение однородной жидкости»:

Если обозначить (х функцию массы т (|) , то при учете упо­ мянутого условия получаются уравнения

Хойл и Нарликар предполагают затем, что вне частицы в ее системе покоя геометрия является сферически-симметрич-

ной и статической, а [х зависит только от г. Для точечной массы они дают решение

Здесь р следует интерпретировать как активную тяжелую массу частицы, тогда как т0— [хг = 2 т0— инертная масса.

Если считать Солнце точечной массой и принять, что траектория планеты существенно не отклоняется от геоде­ зической линии, что должно иметь место по оценкам Хойла и Нарликара, то для отклонения света получается значение Эйнштейна, тогда как смещение перигелия достигает 5/6 значения Эйнштейна, т. е. примерно на 17% меньше, что, по оценкам Дикке, находится в пределах возможного. По Хойлу и Нарликару, смещение перигелия, существенно зависящее от (р/г)2, может быть приближено к смещению в теории Эйнштейна, если учитывать, что Солнце является системой, состоящей из п ~ 1 0 5 7 частиц.

Хойл и Нарликар показали, что за член ~ г - 1 в (2.90) отвечает тензор энергии—импульса, а за член ~ г 2 — фун­ кция (X. В таком случае следовало бы в качестве активной тяжелой массы для системы из п частиц принять пр. Для системы, состоящей из п частиц, следует, кроме (х, в (2.89) добавить только одну частицу, так что, по Хойлу и Нар­ ликару, в этом случае должно иметь место

Очевидно, что теперь для п-*- °° смещение перигелия достигает значения Эйнштейна.

Существенно, что и по этой теории смещение перигелия меньше, чем по теории Эйнштейна, так что, очевидно, теория войдет в противоречие с магнитогидродинамикой магнитных звезд [1 0 ].

66

ЛИТЕРАТУРА

3.Treder H.-J. Lorentz-Gruppe, Einstein-Gruppe und .Raumstruk­ tur. Jn: Einstein—Symposium 1965. Berlin, 1966, p. 57.

4.Dicke R. H. Remarks on the Observational Basis of General

8.Jordan P. Z. Physik 157 (1959), 112.

9.Brans C., Dicke R. H. Phys. Rev., 124 (1961), 925.

10. Steenbeck M., Krause F. Astron. Nachrichten, 291 (1969), 49.

11.Freundlich E. F. Vistas in Astronomie (ed. A. Beer), Vol. I, Pergamon Press Ltd., Headington Hill Hall, Oxford, England. 1960.

12.Hoyle F. Proc. Roy. Soc., A273 (1963), 1.

16.Bergmann P. G. Comments on the Scalar-Tensor Theory. Intern. J. Theor. Phys., 1 (1968), 25.

18.Dicke R. H. The Significance for the Solar System of Time Varying Gravitation. Ebenda, p. 242.

19.Ludvig G. Fortschritte der projektiven Relativitätstheorie. Bra­ unschweig, 1951.

20.Hoyle F. Galaxis, Nuclei and Quasars, New York, 1966.

21.Jordan P. Die Expansion der Erde. Braunschweig, 1967.

Глава 3

БИМЕТРИЧЕСКИЕ И ТЕТРАДНЫЕ ТЕОРИИ

§ 7. РАСШИРЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ

В рамках слабого принципа эквивалентности уже не нужно требовать, чтобы симметричный тензор gik описывал гравитационное поле полностью. Кроме введения допол­ нительного скалярного поля (см. гл. 2 ), можно вводить и другие поддающиеся геометрической интерпретации ве­ личины в качестве дополнительных к тензору g ih. Рассмот­ рим здесь такие величины, которые имеют физический смысл даже в геометрии Минковского. Имеются в виду метриче­ ский тензор Минковского -ц1к и объекты, обобщающие по­ нятие системы отсчета в СТО.

Метрика Минковского -цік в инерциальной системе от­ счета (в связанной с ней координатной системе) имеет ком­

Произвольно ускоренную систему отсчета можно получить

Так как тензор Римана в пространстве Минковского равен нулю, то тетрады удовлетворяют условию

Поэтому всегда существует возможность привести систему

дествлена с ней. В этом случае каждое лоренц-пре- образование тетрад оказывается связанным с контравариантным преобразованием координат. Теория систем от­ счета в СТО будет исчерпывающей, если известен способ перехода от инерциальной системы отсчета к произвольно ускоренной. Этот переход можно найти с помощью голономных преобразований координат. Векторы h f = 8 ^ пол­

ностью определяют абсолютный параллелизм, идентичный параллельному переносу евклидова пространства.

= hf .), то при наличии гравитационного поля возможны

только неголономные преобразования h f , причем тетрады

h f определят неголономный объект

и абсолютный параллелизм с аффинной связностью

68

в исчерпывающе изложенной в части Б теории Тредера [5 ] происходит постепенное ослабление сильного принципа эквивалентности. Во всех этих теориях либо используется дополнительная к g ik метрика Минковского y\ik в качестве опорной и асимптотической при г->оо, либо вводятся в

рассмотрение тетрады h f, дающие способ перехода от плос­ кого пространства к искривленному, т. е. от инерциальной

В специальной теории относительности инерциальная

что метрика искривленного пространства выражается через них следующим образом:

g i k = h f h f у\A B .

Но при этом шесть тетрадных компонент выбираются про­ извольно — они соответствуют локальным преобразованиям Лоренца. В тетрадных теориях, близких по духу исследо­ ваниям Эйнштейна по геометрии с абсолютным паралле­

т. е. в теорию входят общие тетрады и инерциальные тетра­ ды СТО одновременно. Естественно, что при этом инерци­ альные тетрады 84 считаются известными, поскольку они

определяются как векторы Киллинга для В теории Тредера используются инерциальные тетрады

СТО 84 и тетрады теории Меллера, так что в ней определены матрицы перехода от 8 ^ к h f, симметричные комбинации 84, приводящие к плоской метрике t\ik, а также h f, приво­

дящие к метрике риманова пространства g ik. Другими сло­ вами, теория Тредера отличается от теории Розена—Колера лишь способом обобщения ОТО, близким к способам Мел­

69