книги из ГПНТБ / Тредер, Г. -Ю. Теория гравитации и принцип эквивалентности. Группа Лоренца, группа Эйнштейна и структура пространства

ривать смещение частоты света в гравитационном поле как подтверждение принципа эквивалентности для фотонов, т. е. для электромагнитного взаимодействия. Равная инерт­ ной, тяжелая масса фотона равна т = hvc~2. Тогда из теоремы о сохранении энергии в классической механике следует

что и дает значение смещения частоты фотона в зависимости от гравитационного потенциала. Это смещение было обна­ ружено даже в земных условиях Паундом и Ребка с по­ грешностью ІО-2, для чего были использованы узкие линии безотдачного у-излучения в эффекте Мёссбауэра [28]. Эффект отклонения света появляется при движении фотонов вблизи поверхности Солнца. Этот эффект был обнаружен практически сразу же после его предсказания теорией Эйнш­ тейна, однако погрешность измерений отклонения света невысока и не достигает 10 % (ср. с § 3).

Нужно сказать, однако, что ни смещение частоты, ни отклонение света не являются следствием равенства т Т — m s , так как понятия тяжелой и инертной масс — нереляти­ вистские. Не следует ожидать, что их можно непосредствен­ но применять и в случае частиц, движущихся со световой скоростью. В общей теории относительности (ОТО) сме­ щение частоты света объясняется в рамках хронометрии пространства — времени, а отклонение света (теория Нью­ тона дает для него неверные значения) вычисляется без использования термина «тяжелая масса». В статическом гравитационном поле кинетическая энергия постоянна, а потенциальная энергия в гравитационном поле в релятиви­ стских теориях отсутствует:

dxk

Sok — 7Г~ = const> Po = const- ak

К тому же полученное значение отклонения света зависит от используемых уравнений поля, поскольку уравнения поля описывают именно релятивистскую часть взаимодейст­ вия света с гравитацией. Тем самым отклонение света явля­ ется дополнительным требованием на уравнения поля, а не подтверждением принципа эквивалентности.

Равенство тяжелой и инертной масс приводит к тому, что, наблюдая за движением материальной точки в задан­ ной координатной системе, невозможно указать причину

20

ускорения точки, т. е. невозможно различить гравитацион­ ное и инертное ускорения. Но эта неразличимость только локальная, хотя и ее уже достаточно для локального опи­ сания гравитационных сил средствами, пригодными для описания инерционных сил в ускоренных системах отсчета, а именно с помощью метрики, отличной от метрики прост­ ранства Минковского. Линейный элемент пространства Мин­ ковского

ds2 = Y)ik dxl dxk = c^dP — dx2 — dy2 — dz2 (1.5)

характеризует, следовательно, пространство без гравита­ ции, а координаты (xyzf) образуют инерциальную систему. Для гравитационного поля линейный элемент имеет более общий вид:

Тензор ^характеризует потенциал гравитационного поля, а производные от него — поле сил. В каждой точке прост­ ранства можно так подобрать координатную систему, чтобы выполнялось условие

Это и есть формулировка принципа эквивалентности. Урав­ нение (1.7)описываетполев некоторой локальной инерциаль­ ной системе отсчета в отсутствие всяких сил. Точку Р можно интерпретировать как центр тяжести свободно падающего ящика в некоторый момент времени. Если же ввести гло­ бальную координатную систему (1.5), то все пространство будет свободно от гравитационных сил; и все силы, возни­ кающие при этом в других координатных системах, будут силами инерции. Это значит, что в глобальном смысле раз­ личие между тяжелой и инертной массами существует*.

Эти рассуждения показывают, что принцип эквивалент­ ности тяжелой и инертной масс в случае риманова прост­ ранства нужно переформулировать. Это возможно глав­ ным образом потому, что в каждой точке риманова про­ странства можно ввести локально координаты Минковско­ го, а следовательно, и локальную инерциальную систему.

21

Но любая точка в системе без сил движется по прямой, инвариантное свойство которой — автопараллельность или экстремальность. Это свойство должно сохраниться и для точки, движущейся без сил в произвольной координатной системе. Заметим, что экстремальность — простейшее свой­ ство, поскольку оно относится только к метрике:

В то же время автопараллельность требует определения пе­ реноса от точки к точке. Если такой перенос не будет мет­ рическим, то требования автопараллельности и экстремаль­ ности приведут к различным кривым. Релятивистский под­ ход к принципу эквивалентности приводит к так называе­ мому постулату геодезических: свободные от действия сил точечные массы движутся в римановом пространстве с определенной метрикой по геодезическим линиям, а парал­ лельный перенос в пространстве должен быть сформулиро­ ван особо. Это требование подсказывается тем обстоятель­ ством, что тензор энергии — импульса удовлетворяет усло­ вию

эквивалентности. Но ни одна из этих двух формулировок принципа эквивалентности не дает никаких динамических условий на g ik. Уравнение (1.8) означает, что теорема о сох­ ранении энергии — импульса в СТО будет локально спра­ ведлива и в ОТО. Но в СТО эта теорема следует из уравне­ ний поля. Поэтому нужно принять, что локально все реля­ тивистские волновые уравнения справедливы и в ОТО. Запись этих уравнений в системе координат (1.7) приводит к их общей ковариантности (см. гл. 4).

Ковариантная запись волновых уравнений — это все, чего можно достигнуть на основании предыдущих рассуж­ дений по обобщению принципа эквивалентности. Сформу­ лированный таким образом принцип эквивалентности мож­ но было бы назвать слабым принципом эквивалентности (см. дополнение).

22

Эйнштейновская теория гравитации сформулирована на основе сильного принципа эквивалентности, а именно: в свободно падающей лаборатории, т. е. в системе отсчета с метрикой (1.7) в точке наблюдения, исчезают все гравита­ ционные эффекты. Это значит, что гравитационное поле входит только в метрику, а кривизна пространства не учи­ тывается локально в канонических уравнениях неграви­ тационных полей. Однако такое сильное утверждение экспе­ риментально не доказано. Более того, при описании спинор­ ных полей фундаментальным понятием оказывается не метрика, а система отсчета.

Если гравитационное поле описывать только с помощью метрики и если потребовать общей ковариантности поле­ вого уравнения второго порядка (чтобы в пределе прихо­ дить к теории Ньютона), то общее уравнение гравитацион­ ного поля можно записать в виде

Уравнения Эйнштейна с Х-членом можно вывести из вариационного принципа, но только в случае Х=0 можно получить для замкнутой системы gik-+ г\ік на бесконечнос­ ти. Уравнения (1.9) с X = 0 называют собственно урав­ нениями Эйнштейна*.

Эйнштейновская теория гравитации с удивительной точностью объяснила смещение перигелия Меркурия и предсказала отклонение света в гравитационном поле:

* Космологическая константа X вовсе не означает какую-либо массу покоя частицы — кванта гравитационного поля, как это имеет место, например, в уравнении Клейна — Гордона. Это видно уже из того, что в отсутствие гравитации имеем не gik — 0, а

Sik = Ш-

23

Эти чрезвычайно малые несовпадения теоретических и экспериментальных данных устанавливают предельно вы­ сокий барьер для всех других теорий тяготения, которые претендуют на уточнение эйнштейновской теории (см.

также § 3).

Существенным преимуществом теории Эйнштейна явля­ ется то, что уравнения (1.8) следуют из уравнений грави­ тационного поля автоматически; для этого достаточно вы­ числить тождество Бьянки. Из ковариантности теории сле­ дует существование только одного дифференциального выражения второго порядка, линейного относительно вторых производных от gik и являющегося локальным обобщением волнового оператора. Это выражение — тензор Эйнштейна Еік = R ik—{4^g‘k R. Ковариантное уравнение поля второ­ го порядка, имеющее характер волнового уравнения, дол­ жно иметь вид Еік = —%Тік. По аналогии с теорией Нью­

пульса материи. Но так как из тождества Бьянки следует

Е% — 0, то из Еік = —у.Тік следует Т% = 0, если X= const.

Ковариантность уравнений Эйнштейна допускает про­ извольные преобразования g ik(xl ), образующие обобщен­ ную калибровочную группу координатных преобразований. Принцип ковариантности и динамическое уравнение в тео­ рии Эйнштейна связаны так же, как в макроскопической теории электромагнитизма Максвелла связаны закон со­ хранения электрического заряда и калибровочная инвари­ антность 4-потенциала, с той только разницей, что из ди­ намического уравнения Эйнштейна следуют и уравнения движения источников гравитационного поля, а из закона сохранения заряда в электродинамике уравнение для 4-то­ ка не вытекает. В теории Эйнштейна уравнения поля уже содержат полную информацию о движении пробных час­ тиц и сингулярностей, а следовательно, и о произвольном распределении материи, если задана ее внутренняя струк­ тура.

24

Так как динамическое уравнение есть просто одна из формулировок слабого принципа эквивалентности, то оно должно содержаться во всех вариантах гравитационных теорий, даже в тех случаях, если оно и не вытекает из урав­ нений поля. Здесь нужно позаботиться лишь о том, чтобы общая ковариантность теории, т. е. калибровочная инва­ риантность гравитационного потенциала, не накладывала на Тік дополнительных условий.

А теперь сопоставим различные степени обобщения и различные формулировки принципа эквивалентности. Для этого рассмотрим мысленный эксперимент с бесконечно малым невращающимся свободно падающим лифтом. Ре­ зультаты этого мысленного эксперимента будем постепен­ но обобщать, и на каждом этапе обобщения будем оцени­ вать меру их физической общности. Из равенства тяжелой и инертной масс следует, что гравитационное ускорение пробной частицы относительно лифта в его центре тяжести равно нулю. Это утверждение проверено экспериментально Этвешем и Дикке, и его можно считать справедливым и в более общей ситуации, т. е. для всех материальных полей.

Если траектория материальной точки в системе отсчета лифта — прямая, т. е. геодезическая, то она должна оста­ ваться геодезической в любой координатной системе. Это значит, что принцип (или постулат) геодезических есть не более чем ковариантная формулировка условия mT = ms. Это условие можно немедленно обобщить на частицы с ну­ левой массой покоя, хотя само понятие массы принадле­ жит ньютоновской механике и его нельзя непосредственно перенести на частицы, движущиеся со световой скоростью.

Описание гравитационного поля в терминах неевклидо­ вой геометрии указывает лишь на глобальное отличие сил инерции от гравитационных; локально они эквивалентны, т. е. каждой геодезической можно подобрать такую коор­ динатную систему, в которой метрика будет иметь вид gik = у\;й+ 0 2. Примером такой координатной системы явля­ ется система касательных единичных векторов вдоль гео­ дезической падающего лифта.

Используя принцип геодезических, следует всегда пом­ нить, что пробными могут быть только бесструктурные частицы. Например, частицы со спином движутся уже не по геодезическим, так как они реагируют на тензор кри­ визны [25].

Принцип геодезических можно развить и для непрерывно распределенной материи. Для пыли, т. е. для невзаимо­

25

действующих точечных масс, тензор материи имеет простои вид:

Тш = p-о и1ик.

Из закона сохранения массы {\xQul). L = 0 получаем сразу

uffcit* = 0 -v 7 f* = 0.

В пространстве Минковского исчезает обычная дивергенция Т '\, а ковариантная запись этого утверждения суть Т'Д = 0. Таким образом, динамическое уравнение справед­ ливо и для непрерывной материи.

Но от ковариантной записи сохранения тензора энер­ гии — импульса непрерывной материи нельзя непосредст­ венно перейти к уравнениям поля. Анализ проблемы Райнича (из структуры тензора энергии — импульса вывести структуру уравнений поля) указывает на следующий воз­ можный путь дальнейшего обобщения динамического урав­ нения. Независимо от внешнего гравитационного поля, уравнения всех волновых полей в системе отсчета беско­ нечно малого свободно падающего лифта всегда имеют ка­ нонический вид (т. е. в уравнения входят только первые производные). Тогда уравнения поля в общем случае не­ евклидова пространства легко получить, заменяя обычные производные их ковариантными обобщениями. Грубо го­ воря, СТО справедлива для всех волновых полей только локально.

Такое обобщение принципа эквивалентности не содер­ жит пока никакой принципиально новой физической инфор­ мации. Однако в теории Эйнштейна принцип эквивалент­ ности обобщается еще раз: в свободно падающей системе отсчета не зависят от внешнего гравитационного поля и гравитационные эффекты. Другими словами, кроме метрики Минковского, в этой системе нет других величин, обязан­ ных гравитационным полям. Гравитация описывается только с помощью 10 независимых компонент метрического тен­ зора.

Система отсчета (см. § 12) hf, применение которой ста­ нет ясным при выводе уравнения спинорных полей, одно­ временно с g ik = -qik + Ог должна тоже принять вид h f = = 8f Ог-

Принцип эквивалентности, лежащий в основе ОТО, называется сильным. Он нарушается в том случае, если для

26

описания гравитационного поля, помимо метрики, исполь­ зуются другие величины (скалярное поле в скалярно-тен­ зорных теориях и поле тетрад в тетрадных теориях); тогда число независимых переменных в соответствующих тео­ риях возрастает.

Подведем итог нашим рассуждениям и рассмотрим по­ следовательность все более жестких формулировок прин­ ципа эквивалентности.

I. Инертная масса равна пассивной тяжелой массе. Нерелятивистское приближение.

II. Точечная частица, находящаяся во внешнем грави­ тационном поле, движется по геодезической. Метрика про­ странства полностью определяется внешним гравитацион­ ным полем.

III. Тензор материи подчиняется динамическому урав­ нению. Это с необходимостью следует из формулировки II для пыли, а в предельном случае СТО является просто законом сохранения энергии — импульса. (Феноменологи­ ческий предельный случай для формулировки IV.)

IV. СТО локально справедлива для всех волновых по­ лей, кроме гравитационного (слабый принцип эквивалент­ ности). Уравнения полей в присутствии гравитации полу­ чаются из канонической их формы в СТО заменой обычных производных ковариантными.

V. Метрика адекватно описывает гравитационное поле (сильный принцип эквивалентности). В системе отсчета свободно падающего лифта исчезают все гравитационные эффекты.

§ 2. ЛОРЕНЦ-ИНВАРИАНТНОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ РИМАНА И ОБЩИЙ ПРИНЦИП КОВАРИАНТНОСТИ

Теперь нам предстоит выяснить, как реализуется ло- ренц-инвариантность в римановой геометрии, необходи­ мость которой вытекает из принципа эквивалентности. В пространстве Минковского (СТО) три группы преобразо­ ваний — группа координатных преобразований, группа преобразований систем отсчета и группа движений — сов­ падают. В римановой геометрии их нужно различать.

Если в пространстве Минковского координатные пре­ образования всегда ограничены условием инвариантности метрики (1.5), то в римановой геометрии этого условия нет. Это ограничение на координатные преобразования в СТО приводит к редукции общей группы преобразований к

27

группе Лоренца. Расширение группы допустимых коор­ динатных преобразований при переходе от пространства Минковского к пространству Римана возможно чисто фор­ мальным образом, даже несмотря на то, что глобальная метрика (1.5) может существовать только в пространстве без гравитации. Более того, при подходящих координатных условиях даже в римановой геометрии можно ограничи­ ваться преобразованиями Лоренца; например, это возможно в гармонических координатах. Следовательно, обобщение координат — не решающий момент при переходе от СТО к ОТО.

Принципиальное различие геометрий Минковского и Римана заключается в подходе к понятию системы отсчета. Система отсчета — это поле 4-реперов, обеспечивающих связь тензорных величин и наблюдаемых скалярных ве­ личин. В каждой точке пространства задается система че­ тырех ортонормированных векторов, образующая базис касательного векторного пространства. Измеримые ска­ лярные величины тогда являются проекциями соответст­ вующих тензоров на этот репер (см. гл. 4).

Физический смысл времениподобного вектора репера — изображение часов в определенном состоянии движения. Компонента некоторого интервала, соответствующая на­ правлению времениподобного вектора, дает значение раз­ ности хода времени, измеряемой этими часами. Пусть дан

Произвольный вектор в базисе кд имеет компоненты

рк = РА кд

или

pA = pkkA.

Если базис ортонормирован, то

где кдВ — тензор Минковского, и локальная аффинная инва­ риантность базиса (1.10) сводится к локальной лоренцевой инвариантности. Однако репер этим еще не установлен, так как уравнения (1.11) инвариантны относительно ло­

28

кальных, т. е. зависящих от места, преобразований Лорен­ ца

Те свойства пространства, которые определяются лишь метрикой gik, при таком преобразовании остаются неизмен­ ными. Однако введение преобразований (1.12) придает риманову пространству принципиально новое свойство — дальний, или абсолютный, параллелизм.

С помощью одних лишь метрических объектов вообще нельзя произвести сравнение тензоров на конечном рас­ стоянии. Геодезический параллельный перенос, с помощью которого можно производить сравнение геометрических объектов в пространстве Минковского, в римановом про­ странстве будет зависеть от способа переноса и потому не может уже служить эффективным инструментом сравне­ ния объектов. Задание же поля тетрад позволяет осущест­ вить сравнение на расстоянии путем сравнения скалярных проекций тензоров на оси соответствующих тетрад:

преобразований Лоренца, но инвариантно относительно гло­ бальных, т. е. не зависящих от места, лоренцевых преобра­ зований. Таким образом, глобальные лоренцевы преобра­ зования переводят тетрады в им эквивалентные, а локаль­ ные — изменяют форму сравнения объектов на конечном расстоянии.

В пространстве Минковского поле тетрад определяется геодезическим переносом, а потому в нем допустимы лишь глобальные лоренцевы преобразования систем отсчета. В римановом пространстве с не равной нулю кривизной не существует геометрически выделенного конечного пере­ носа, поэтому в нем допустимы локальные преобразования. Так как в принципе можно ввести другие тетрады и в про­ странстве Минковского, то оно отличается от риманова пространства именно наличием выделенного поля тетрад, а не группой их инвариантности.

По отношению к группе движений риманово простран­ ство существенно отличается от пространства Минков­ ского: риманово пространство существенно более жестко. Движение есть бесконечно малое координатное преобра­ зование типа

29