книги из ГПНТБ / Тредер, Г. -Ю. Теория гравитации и принцип эквивалентности. Группа Лоренца, группа Эйнштейна и структура пространства

ПОСЛЕСЛОВИЕ

Д. Д. Иваненко.

КАТАЛОГИ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ

1.Геометрический каталог

Кпервому каталогу отнесем различные варианты «еди­ ных» теорий, условно относимых к 2 0 -м годам, когда они возбуждали наибольший интерес. Их целью являлась гео­ метризация не только гравитации, проделанная в ОТО 1916 г., но и электромагнетизма, а средством служили раз­ личные отходы от римановой геометрии. Основными тео­ риями оказались: конформная теория Вейля 1918 г., не­ симметричная метрика Эйнштейна, обобщенная связность

Эддингтона, различные типы геометрии Схоутена, пятимер­ ная теория Калуца с вариантами Иордана, Паули, Тири, Эйнштейна и других, геометрия абсолютного параллелиз­ ма в пространстве с кручением (Эйнштейн — Вейценбек), геометрия Финслера.

Из множества этих работ не удалось получить никаких физических результатов, за исключением первого вывода уравнения Клейна—Гордона с помощью пятимерной тео­ рии. Поэтому продолжение подобных исследований стало вызывать в лучшем случае недоумение. Однако нынешний, более глубокий подход к анализу теорий каталога I позво­ ляет извлечь из них ряд плодотворных идей и методов. Во-первых, следует отметить возросший интерес к круче­ нию, введение которого подсказывается ныне с разных то­ чек зрения (см. ниже каталог III); различные стороны кон­

самой идеи геометризованной трактовки взаимодействий и структуры материи с ударением на топологическую, ра­ нее оставленную в стороне, ее характеристику, конечно,

© Атомиздат, 1973-

150

при учете квантовой теории поля. Подобную программу как своеобразный реванш геометризации выдвинул более 10 лет назад Уилер.

В трудах группы Уилера следует отличать отдельные интересные результаты и новые точки зрения на ОТО от допущений и выводов, выходящих, за рамки стандартных теорий. Одним из достижений программы Уилера является идея «суперпространства», каждая точка которого являет­ ся трехмерным пространством. Эти идеи, на которых мы не будем останавливаться, играют определяющую роль в фундаментальных исследованиях и успели обратить на себя общее внимание.

И. Прагматическиң каталог Торна

Недавно группа Кип Торна (Вилл, Нордведт, Вей Ту-Ни) составила каталог «жизнеспособных» теорий, при­ годных прежде всего для объяснения четырех классиче­ ских эйнштейновских эффектов с точностью, допускаемой современным исследованием Солнечной системы. При этом в каталог Торна включены также и «нежизнеспособные» теории, заведомо не дающие требуемых эффектов. Хотя это и нарушает принцип составления каталога, но анализ этих теорий целесообразен для сравнения с «жизнеспособ­ ными» вариантами. В каталоге II речь идет о «метрических» теориях, удовлетворяющих условиям: 1 ) наличие метрики с обычной сигнатурой ds2 = dxa dx? , 2 ) воздействие гравитации на обычную материю описывается уравнением у Т = 0, где Т — тензор всех видов «обычной» материи без гравитационного поля, у — ковариантная производная.

Далее, для каждой теории подсчитывается первое постныотоновское приближение; идея метода постньютоновских параметров (ПНП) восходит к Эддингтону и была развита Шиффом. Метрике планетной системы придается вид

ds2= {1 — 2M'/r + 2ß (M'lr)2} dt2 — ( l — 2уУИ7г) dsg;

Однако для учета вращательного эффекта, возможных отклонений от принципа эквивалентности и т. д. оказалось необходимым взять разложение метрики не с двумя, а с

151

девятью параметрами, различные значения которых харак­ теризуют ту или иную «метрическую» теорию. Имеем

но = 1 — 2м + 2ßu2 — 40 + ZA-,

ёоа= ~ Д л +

Sab ~ (1 — 2уц)3аЬ.

Функции и, ф ит. д. описывают распределение плотности р, давления р, внутренней энергии П и т. д.:

ства, обязанную телу,, ß дает меру нелинейности. В позд­ нейших обозначениях и несколько иной нормировке Вилл

постньютонову метрику движения относительно средней выделенной системы отсчета во Вселенной. Для сохранения

=0 ; следовательно, теория удовлетворяет всем известным

экспериментам; СТТ (различные варианты скалярно-тензорной теории

Иордана, развитой Брансом—Дикке и др.) —два произволь­

152

ных параметра: константа связи скалярного поля с обыч­ ной гравитацией и космологический член. Напомним, что основой скалярно-тензорной теории является высказанная ранее Дираком идея о зависимости гравитационной кон­ станты от космологического времени. В СТТ берется 0 1 (г, і) вместо G = const, причем оказалось удобным взять за основную функцию 0 _1; затем можно локализовать кон­ станту связи и космологическую постоянную, заменив их новыми скалярными функциями (Бергман, Вагонер, Д. Д. Иваненко). Заметим в этой связи, что локализация космологического члена в ОТО, на наш взгляд, по сущест­

космологический член обычно опускался. При достаточно большом значении параметра: со > 6 , СТТ удовлетворяет всем известным экспериментам и астрономическим наблю­ дениям; при со -9 - °°, 0 = const, СТТ переходит в ОТО. Интересно отметить, что при 0<с о + 3 / 2 = е <^1 СТТ становится приближенно эквивалентной конформноплоской теории Вей Ту-Ни.

В известном смысле СТТ является одним из «ближай­ ших» обобщений ОТО. В период, предшествовавший соз­ данию ОТО, попытки релятивизации ньютоновской грави­ статики, начатой еще Пуанкаре в 1906 г., привели затем к скалярной теории гравитации Нордстрема (1912 г.), раз­ вивавшейся Эйнштейном.

Обратим сейчас внимание на некоторые новые резуль­ таты в СТТ, полученные в нашей группе. Нерелятивист­

153

что приводит к моделям звезд, не отличающимся в этом приближении от ньютоновских (Г. Е. Горелик). Не оста­ навливаясь на скалярно-тензорном обобщении шварцшильдовской задачи, отметим, что первоначальное решение Хек­ мана и позднейшее решение Бранса—Дикке эквивалентны друг другу, что можно показать, переходя от шварцшильдоподобных координат к изотропным.

Значительный интерес представляет космология в СТТ, основные соотношения которой мы приведем в квазиныотоновской трактовке типа Милна—Мак Кри:

В точных космологических решениях СТТ сингуляр­ ность, в противоположность ОТО, достигается при конеч­ ных значениях масштабного фактора а (в ОТО при а ^ 0)

ихаббловской «постоянной». Более того, оказывается, что

вСТТ пробная частица достигает локальной сингулярно­ сти за конечное время; сама сингулярность может быть «голой», в противоположность случаю ОТО. Таким обра­ зом, неправильными оказываются как утверждения об от­ сутствии коллапса в СТТ, так и заключение Торна об от­ сутствии каких-либо существенных различий коллапса в СТТ и ОТО.

Напомним, наконец, что одним из наглядных следствий СТТ является возможность расширения Земли ввиду веко­

вого ослабления гравитации, что приводит ко многим ре­ зультатам, подтверждающим аргументы мобилистов в тео­ рии движения континентов (Иордан, Д. Д. Иваненко, М. X. Сагитов).

Продолжим .ознакомление с каталогом II. В векторной гравидинамике, как и в СТТ или в варианте с дополнитель­ ным тензорным полем, физика локальных процессов может зависеть от движения относительно некоторой выделенной глобально во Вселенной системы отсчета; в частности, гра­ витационная константа, как и в СТТ, может меняться под влиянием окружающей материи.

Вопреки обычным представлениям, что эксперимент Юза—Древера (в котором не была найдена анизотропия

154

инертной массы) и эксперименты, не обнаружившие «увле­ чения» эфира, будто бы опровергают векторный вариант теории, Вилл полагает, что эти опыты исключают только те векторные и дополнительные тензорные поля, которые взаимодействуют непосредственно с материей, но не поля, взаимодействующие только с гравитацией.

Исходя из интеграла действия

8 J [ V — g G<T ‘ {R + ka. ß kv ag V Tl + Lm ] &x

и уравнений поля ka. p :P= 0 , можно построить теорию, где

в правой части уравнения Эйнштейна возникает тензор энергии векторного поля, а также рассчитать постньюто­ новское приближение. Гравитационная константа здесь мо­ жет меняться со временем. При достаточно малом значении векторного поля (/г2 < 3 -1 0 ' 2) теория согласуется с опы­ том. Кустаанхеймо рассмотрел ряд векторных гравидина­ мик с произвольными параметрами, подобранными для со­ гласования с опытом, однако ему не удалось добиться пол­ ного согласования.

Заметим, со своей стороны, что, введя дополнительное поле тензора 2-го ранга Сар, можно построить теорию типа биметрической (Розен—Коллер—Я. И. Пугачев), в кото­ рой имеются два римановых многообразия и строятся отно­ сительные величины тензора 3-го ранга в виде разности символов Кристоффеля s — T(g) — Г(С) (в этой записи опущены для простоты индексы). Если одно из многообра­ зий является плоским пространством, то подобная вспомо­ гательная теория приобретает наиболее простую форму и позволяет проанализировать ряд положений гравидина­ мики. Эта теория коротко упоминается в каталоге II, впро­ чем, без указания на ее близость к биметризму и еще без анализа постньютоновского приближения и без сравнения с экспериментом. Более последовательно биметрическую теорию как чисто геометризованную гравидинамику можно было бы включить в каталог I.

Для СТТ два параметра совпадают в старых и новых обозначениях (ß, у); новые (а, £) все исчезают.

После ОТО и СТТ в каталоге II главное внимание уде­ лено целой серии конформно плоских теорий гравитации (КПТ), характеризующихся физической метрикой, порож­ даемой скалярным полем на базе глобальной плоской мет­ рики gap = фт)«р. Кроме того, в КПТ задается полевое уравнение волнового типа для скалярной функции ф :

155

Щф) = 4 up', где p' определяется либо тензором энергии, либо его следом.

Поскольку максвелловские уравнения конформно ин­ вариантны, то распространение света в КПТ соответствует случаю плоского пространства, так что все КПТ не дают эффектов отклонения света и запаздывания времени в гра­ витационном поле, т. е. противоречат двум из четырех ос­ новных тестов гравитации.

Рассмотрение явно «нежизнеспособных» КПТ в катало­ ге Торна производится, по-видимому, с целью лучшего анализа постньютоновских предсказаний в различных тео­ риях. В каталоге рассмотрены КПТ разных авторов: Нордстрем (1912 г.), Эйнштейн—Фоккер (1914 г.), Уитроу—

следовать постньютоновское приближение. В случае КПТ Нордстрема—Эйнштейна—Фоккера имеем уравнения поля:

распределение материи во Вселенной определяет выделен­ ную систему отсчета, в которой только пространственные «слои», ортогональные времени, являются конформно плос­ кими. В каталоге Торна рассмотрены: теория Эйнштейна 1912 — с переменной скоростью света, где

ds2 = ( 1 — 2 0 ) c2dt2 — (dx2 + dy2+ dz2),

не приводящая к общерелятивистским эйнштейновским (!) эффектам отклонения света, запаздывания времени и сдви­ га перигелия; варианты Пейдж—Туппера, Папепетру, Йилмаза, Уитроу—Мордуха, Колемана, Розена (1971 г.), Ни (1972 г.). Для иллюстрации приведем еще метрику Папапетру

ds2 = ё~ 9dt2— e?ds3 ,

которая, согласно Ни, совместима с известными опытами кроме гравиметрических.

Розен берет метрику ds2— ф dt2 — ф ds23, где 0, ф — две скалярные функции, удовлетворяющие некоторым поле­

156

вым уравнениям. Метрика согласуется с опытом лишь при определенном выборе параметров разложения функций, однако, в противоположность ОТО, здесь, как для вариан­ тов Папапетру и Ни, предсказывается отсутствие увлече­ ния инерциальных систем, вращающейся Землей, которое предполагается проверить в Стэнфорде (проект Шиффа— Фэйрбенка).

Различные варианты подобных теорий предсказывают те или иные значения сдвигов в орбите Луны, что в прин­ ципе можно зарегистрировать в точных измерениях (лазер­ ный эксперимент с использованием установленных на Луне «зеркал»). Предсказания различных отклонений от выводов ОТО, обязанных нарушению принципа эквивалентности, стали называть эффектами Нордведта (исследовавшего от­ личие инертной массы от пассивной гравитационной мас­ сы). В частности, ввиду того, что собственная гравитацион­ ная энергия Луны гораздо меньше, чем Земли, согласно Нордведту (1968 г.), ускорения Земли и Луны по отноше­ нию к Солнцу слегка различны, что и приводит к «поляри­ зации» орбиты Луны; при этом анизотропия сдвига лежит далеко за пределами нынешних возможностей лунно-лазер­ ных экспериментов, точность которых, как надеются, со­ ставит примерно 1 0 см.

Заметим в этой связи, что лунный лазер в принципе спо­ собен заметить ряд других возмущений лунной орбиты, обязанных, например, нелинейной суперпозиции полей Солнца и Земли или же движению Солнечной системы во Вселенной и зависящих от параметров а г.

Другими предсказаниями нордведтовского типа явля­ ются сдвиг стабильных лагранжевых точек Юпитера, мо­ дификация 3-го закона Кеплера, поляризации орбит, вы­ званные Юпитером.

Мы коснулись этих вопросов несколько подробнее, что­ бы еще раз передать нынешнюю атмосферу в релятивист­ ской физике: постановка уточненных гравитационных опытов, релятивистская «ревизия» небесной механики, уста­ новления различных «ближайших» обобщений эйнштейнов­ ской теории гравитации.

111. «Третий» полевой каталог

Приводя в предварительный порядок множество суще­ ствующих теорий гравитации, для дальнейшей классифи­ кации целесообразно объединить в «третий» каталог все

157

варианты, основанные на аналогии поля тяготения с дру­ гими полями — скалярным, векторным и т. д., и тем са­ мым питающиеся различными идеями современной теории поля. С этой точки зрения сюда можно отнести скалярную теорию, СТТ, векторные и тензорные варианты, которые с иных позиций включаются в каталоги I или II.

Включим в каталог III различные варианты, исходящие из теорий спина 2. Нетривиальным вариантом является затем «сильная» гравитация Салама, в которой за основу берутся ОТО-подобные уравнения, построенные для вол­ новых функций Ф-мезонов спина 2. Предполагается, что барионы взаимодействуют с этим квазигравитационным по­ лем, а через него уже с обычной гравитацией, которая непосредственно связана только с лептонами (подобно тому, как, согласно гипотезе векторной доминантности, адроны связаны с электромагнитным полем через р-ме- зоны).

Наряду с работами, делающими ударение на значении спина, обратим внимание на тетрадные варианты. Отправ­ ным пунктом служит установление вида взаимодействия гравитационного поля с фермионами, описываемыми спи­ норным уравнением.

Как было показано (В. А. Фок, Д. Д. Иваненко, 1929 г.), для этой цели необходимо ввести тетрады и опре­ делить через коэффициенты вращения Риччи ковариантную производную спинора. Эти коэффициенты аналогичны сим­ волам Кристоффеля в общем тензорном анализе. Позднее тетрадная трактовка гравитации была применена для ана­ лиза систем отсчета (см. книгу О. С. Иваницкой), для ана­ лиза проблемы энергии (Меллер, В. И. Родичев, Б. Н. Фро­ лов) и установления правдоподобных критериев гравитационных волн (И. М. Дозморов). Выяснилось, что речь идет не о простой переписке эйнштейновских уравне­ ний в тетрадной форме (хотя и в этом случае рассмотрение дополнительных условий придает теории новую окраску), а скорее можно говорить о «тетрадной ревизии» ОТО, при­ чем в конце концов подсказывается мысль, что именно тетрадные компоненты, а не составленная из них метрика, более соответствуют роли волновых функций или потен­ циалов гравитационного поля.

Обратимся к «крайнему» варианту тетрадной гравита­ ции Тредера (1967 г.) с сотрудниками (см. настоящую кни­ гу), в котором теория строится при отказе от сильного принципаэквивалентности. Анализ постныотоновского

158

приближения и сингулярностей показывает, что здесь вос­ станавливается основной блок результатов ОТО и СТТ и вместе с тем имеются новые возможности. Выполнение слабого принципа эквивалентности гарантирует обычную форму уравнений всех полей, кроме гравитационного.

Интересны космологические следствия некоторых ва­

риантов теории Тредера. Выбирая квазисинхронную мет­ рику ёао = / 2 (0 >goa — 0 , приходим к аналогу уравнений

Фридмана:

(для случая, когда основное уравнение гравитационного поля имеет вид

Если / не обращается в нуль, то у = det(9 aP) тоже ни­ где не исчезает. Иначе говоря, наряду с сингулярными решениями эйнштейновского типа в теории Тредера содер­ жатся и решения, не имеющие особенностей.

Как изложено в книге Тредера, его теория приводит к своеобразной абсорбции гравитации, т. е. к ее ослабле­ нию внутри массивных тел, что позволяет с новой точки зрения посмотреть на проблему коллапса, неизбежность которого отвергается. Так или иначе, тредеровский тетрад­ ный вариант гравидинамики уже оказался интересным в ряде отношений.

К каталогу III следует отнести трактовку гравитации

Киблл, Б. Н. Фролов). Для компенсации производных от ставшей локализованной, т. е. функцией точки, фазы а необходимо ввести электромагнитное поле, если лагран­

группы Пуанкаре требует введения нового компенсирую­ щего поля, которое замечательным образом оказывается по существу совпадающим с гравитационным. Минималь­ ный, по обычным критериям, лагранжиан компенсирую­ щей, или, как ее до сих пор чаще называли, калибровочной теории содержит, наряду со скаляром кривизны, добавки,

159