
книги из ГПНТБ / Тредер, Г. -Ю. Теория гравитации и принцип эквивалентности. Группа Лоренца, группа Эйнштейна и структура пространства
.pdfds2 = c2 dt2 г — а |
1 + -2-)* ((dx1)2 + |
(dt2)2 + |
(dt3)2) = |
r + a |
|
|
|
|
Д І (л-Чх1 + x2dx2 + |
x3dx3)2, |
(5.6) |
видим, что в линейном приближении, т. е. с точностью до члена, пропорционального о2, обе метрики совпадают. Вопреки этому, во втором приближении получим неко торое отличие от ОТО (см. ниже). Далее, из динамиче ских уравнений как для точечных масс, так и для фотонов следует геодезический закон движения в пространстве с метрикой (5.5). Отсюда получаем в качестве перво го гравитационного эффекта ньютоновское уравнение дви жения в поле тяготения массы гпа (кеплеровское движение), а также красное смещение в поле тяжести, равное
АNV |
а |
} |
Г |
и, наконец, эйнштейновское значение для отклонения света
ѵ |
= |
<5' 7> |
где V — эффективная |
скорость |
света в гравитационном |
поле точечной массы гпа .
Для исследования смещения перигелия потребуется линейный элемент трехмерного пространства только в
линейном |
приближении, а |
компонента £00, наоборот, |
в нелинейном приближении: |
|
|
ds2 = с2 (і |
— -y-J dt2— |
((dxJ)2 -I- (dx2)2 + (dx3)2). |
|
|
(5.8) |
Геодезический закон движения в метрике (5.8) дает |
для |
|
движения перигелия ([1], |
[4]) следующее выражение: |
|
Ä <р = 2к ^1 + 7 а(Ці4+Цг) |
) , т. е. Д ср = ± Л <р Эй;іштей„. |
|
|
|
(5.9) |
Это выражение допускает некоторую корректировку. Об щая внешняя статическая сферически-симметричная мет рика сосредоточенного источника содержит не одну кон станту Шварцшильда, а две константы:
120
е.... = — s.
= 0 (ц, v = 1, 2, 3). (5.10)
Метрика (5.10) создается некоторым неточечным сфериче ским распределением масс (см. §16). Условие а Ф Ь не из меняет ньютоновского приближения как в выражении для смещения перигелия, так и в выражении для откло нения света.
В то время как в вакуумном решении отношение кон станты Шварцшильда а к константе b остается неопреде ленным, то при заданной внутренней структуре источника поля оно может быть определено с помощью условий сши вки внешнего и внутреннего решений. Для физических условий, реализуемых в нормальных звездах (например, в Солнце), имеет место а т Ь (см. §16). Существенные отк лонения от эйнштейновской и ньютоновской теорий начи наются в том случае, если вблизи материи гравитационное поле является сильным.
§ 16. СТАТИЧЕСКОЕ СФЕРИЧЕСКИ-СИММЕТРИЧНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАТЕРИИ
Статический тензор материи идеальной жидкости име ет вид
(5.11)
Линейный элемент пространства— времени возьмем в виде
ds2 = <р(г)* dl2 — giryidx^ + dxl + dxl) - (5.12)
и примем для тетрад и метрики aik плоского простран ства, в котором сформулированы гравитационные уравне ния, выражения
(5.13)
Уравнения для тетрадного поля (4.45)
n h ? + * h ? f t l =* 0 |
(5.14) |
121
приводятся тогда к двум уравнениям: |
|
AtP = 4 " * ф (р + |
(5.15а) |
|
|
дg = ----~Х £ (Р Р)- |
(5-156) |
В случае статического сферпчески-симметричного решения
в вакууме (р |
= 0, |
р= 0) |
получаем отсюда |
|
|
|
<Р= |
1 ---- g = l + — |
г |
(5.16) |
|
|
|
г |
|
|
|
и коэффициенты в метрике (5.10) |
|
|
|||
ёоо = |
----j- 'l > |
— — Vv |
+ “ ) ’ |
|
|
|
ëfvo -= 0 (H-, V= i,2,3). |
|
(5.17) |
Эта метрика резко отличается от статического сферическисимметричного решения (5.6) общей теории относительно сти. В то время как в решении Шварцшильда (5.6) характе ристическая поверхность г= 2т (поверхность Шварц шильда) полупроницаема, поверхность в решении (5.17), соответствующая поверхности Шварцшильда, полностью непроницаема для частиц. К этому вопросу мы еще раз вер немся в конце параграфа.
Другое отличие, как уже было указано, состоит в том, что решение (5.17) зависит не от одной константы/«Шварц шильда, а от двух констант. Поведение обеих этих кон стант устанавливается при заданной структуре островно го распределения материи при помощи условий сшивки. В общей теории относительности для гравитационных по лей, зависящих от времени и принадлежащих одному и тому же распределению материи, имеет место асимпто
тика |
- |
|
2т. |
|
|
|
|
|
|
о 00 — |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
с теоремами• : |
|
|
0Эйнштейна(и-»ѵ= 1.2,3)и Паули. |
|
||||
Толмана=и |
выражением |
|||||||
|
.. |
|
ё 0ѵ. |
|
|
|
|
|
Масса |
Шварцшильда |
задается при |
этом |
в |
соответствии |
|||
т .= |
JѴ~ |
§ Т ? |
dl = Л J V ~ g |
(ТІ - |
Tl) d3x. (5.18) |
122
В эйнштейновских координатах У — g = 1 она рав
на
т = |
J (То — Ti) dH. |
(5.19) |
В нашем случае идеальной жидкости из тензора мате рии следует
Р, ТІ = — р5]1 (р., V= 1,2, 3), |
(5.20) |
откуда для массы m находим
>п — (-^-j (р + Зр) d3x. |
(5.21) |
В тетрадной теории внешняя статическая метрика (5.16) содержит две константы а и Ь, что вытекает из по тенциалоподобного вида уравнений поля. Чтобы лучше оттенить возникающие при этом новые эффекты, перепи шем уравнения (5.14) и (5.15) в виде
а / г ? + х Л 4 ? = 0 |
(5.22) |
|
и |
Д£ = — хМ\ , |
|
Дср = у.Мо, |
(5.23) |
причем конкретная форма МА определена только с точ
ностью до требования |
М? = ki ТТ (где kf — четыре |
произвольных векторных |
поля). |
Из (5.23) при условии сферической симметрии стати ческого внешнего поля получили на основании гауссовых
интегральных теорем |
|
|
kl (р + |
|
|
||
|
а = |
J Ml dH = ( А ) |
J |
3р) dH, |
(5.24a) |
||
|
b = |
j M\ dH = |
j |
k\ (p — p) dH. |
(5.246) |
||
Вообще говоря, эти интегралы отличаются друг |
от друга: |
||||||
в частности, |
давление |
р приводит к увеличению констан |
|||||
ты а |
и к уменьшению Ь. Если положить, например, kf = |
||||||
= bf |
(вместе |
с ht вводим, таким |
образом, еще 4 вектор |
||||
ных |
поля, которые |
предполагаются |
постоянными), то |
||||
а > 6 |
* [2]. |
|
|
|
|
|
|
Речь идет о частном выборе связи, рассмотренном на стр. 104.
123
В нашем случае потенциалоподобной связи
|
|
|
M f= h tT lk, |
а = |
j |
cp(p + |
3 p )d 3x, |
|
|||||
|
|
|
|
|
b = |
|
£(pJ — P)d3x |
|
(5.25) |
||||
возникает |
второй эффект. |
Из |
уравнений |
(5.15а) |
и (5.156) |
||||||||
и условий cp -V 1 |
и g->-l |
при г-ѵоо |
следует, что со с 1 |
||||||||||
и |
£ > 1 . |
При |
р — 0 |
из |
(5.25) |
и |
(5.19) |
получаем |
|||||
a< cm <b. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Чтобы |
сравнить |
оба эти |
эффекта, |
рассмотрим несжи |
||||||||
маемую |
жидкость |
с р = const [3]. Для |
тензора |
материи |
|||||||||
(5.11) в метрике |
(5.12) |
получим |
динамическое уравнение |
||||||||||
|
|
|
|
|
? - ^ |
+ |
(р + |
р ) - ^ = 0. |
|
(5.26) |
|||
|
|
|
|
|
|
dr |
|
|
|
аг |
|
|
|
|
Уравнения (5.15) и (5.26) |
можно |
решить итерациями. |
||||||||||
Для |
этого |
cp, g |
и р разложим в ряд по степеням хр/2; |
||||||||||
после |
подстановки их в в (5.15) |
и (5.26) |
получим |
||||||||||
|
|
Г |
R 2 — r 2 |
|
ср_ + |
3R* — 5R°-r°- + |
2г2 (ъру |
|
|||||
|
= |
|
|
у. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Р(— Г “ |
‘I |
|
|
|
45 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. 2L + |
|
|
(1*)'+ О |
((Я .)’ ) |
(5.27) |
|||
со = |
1 - |
3* a - r2 |
|
60 |
, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь R — радиус сферического распределения материи. Пренебрегая членами высшего порядка малости, из (5.25) и (5.27) получим
а = m Ii,l |
--------------3 |
т |
--------З т - л- . |
|
|
1 |
5 |
Я |
Я2 ' |
(5.28) |
|
ои = m'I 1 НI- -тЯ --I |
-3527 -•-тR-2- -,Ь |
||||
|
Чтобы устранить отсюда эффекты, связанные с давлением, используем (5.27) формально и в случае р = 0 пренебрежем уравнением (5.26).
124
Тогда получим |
|
|
|
|
|
а — in |
1 |
6 |
т |
.n |
|
1 --------------- |
5 |
R |
b О |
|
|
|
L |
|
|
||
L |
1 I |
6 |
111 |
I n |
(5.29) |
b — in |
1 ------------- |
5 |
R |
b 0 |
|
|
L |
|
|
Сравнение (5.28) и (5.29) показывает, что эффекты, связанные с давлением, и эффекты потенциалоподобной связи одного порядка. Однако последние, вообще говоря, преобладают, так что
(5.30)
а
Заметим, что применение итерационных методов для плотных звезд, у которых /пи R сравнимы между собой, не совсем корректно. В случае R < 2т эффекты потенциа лоподобной связи резко преобладают над эффектами, связанными с давлением. На поверхности распределение ср становится меньше Ѵ2, а из условия положительной оп ределенности тензора материи р>3р следует
(р + 3р) ®<1 и (p— p ) g > 1
т. е. имеет место неравенство (5.30).
Константа а пропорциональна активной тяжелой мас се тА(а = GmA/c2). Следовательно, она в тетрадной теории оказывается меньше, чем в ОТО. Это обстоятель ство можно интерпретировать как подавление гравити рующего действия источника гравитационным потенциа лом ср, иными словами, как своеобразная абсорбция грави тации. Напротив, источник q не подавляется полем g. Истинная абсорбция X = Ыа в принципе может быть изме рена, так как она входит в выражения для смещения пери гелия и для отклонения света [3 ]. Релятивистские эффекты смещения перигелия и отклонения света являются тем
самым, по крайней мере, в |
принципе, проверкой |
нару |
|||
шения сильного принципа |
эквивалентности, |
поскольку |
|||
X = |
1 имеет место только в общей теории относительнос |
||||
ти, удовлетворяющей сильному принципу |
эквивалентнос |
||||
ти. |
Все же практическое определение X |
из |
указанных |
||
эффектов невозможно, так как | X— 11для Солнца |
имеет |
||||
величину порядка ІО-6. |
|
|
|
|
Различие между интегралами (5.19) и (5.25) тем больше, чем сильнее гравитационные потенциалы внутри материи.
125
Чтобы можно было обсудить количественное соотношение этих величин, необходимо рассмотреть полную систему уравнений феноменологической тетрадной теории, со стоящую из гравитационных уравнений, динамического уравнения и уравнения состояния материи [5]. Прини мая во внимание (5.13), получаем из (5.15) уравнения
|
_1_ |
д_ |
|
|
= ~2 |
+ |
^ |
? |
(5.31а) |
|
|
г3 |
дг |
|
|
||||||
и |
|
|
|
|||||||
|
|
|
dg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дг |
|
|
-Т < 1> |
■р) 8- |
(5.316) |
|||
|
|
|
дг |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Интегрирование этих уравнений дает |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.32а) |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.326) |
Так как ср и g |
при г = |
0 |
должны быть |
регулярными, то |
||||||
имеет место |
г‘ |
dtp |
|
0 и |
г2- ^ - |
|
|
= 0. |
Тем самым |
|
|
~дГ г=о |
|
|
дг |
г=О |
|
||||
получается из (5.32а,б) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
= |
—— |
( (о + 3р) © r2dr |
(5.33а) |
|||||
|
|
дг |
2r2 |
J |
|
|
|
|
|
|
|
- |
Ü r = |
|
— |
|
J |
|
(Р |
d'—--Р ) |
(5.33в) |
Граничными условиями для |
cp, g, —— |
и |
будут |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
dr |
|
dr |
|
Т ( Я ) = 1 — к |
, £ ( / ? ) = l + -кf |
|
(5.34) |
|||||||
df |
|
|
|
|
dg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
dr |
■=R |
R 2 |
|
|
dr |
Ir=R |
|
|
R2 |
|
126
Из Тцк = 0 получаем, учитывая (5.11) и (5.12), динами^ ч.еское уравнение
* Р ____ Р + Р |
2 |
(5.35) |
|
dr |
2 ‘ |
дг ' |
|
Точную картину поведения масс а а b можно получить при высоких центральных плотностях лишь с помощью интегрирования уравнений (5.33) и (5.35). Учтем гранич ные условия (5.34) и положим
<Р ( О = <? ( 0 ) Ч>о( 0 . |
g ( r ) = S ( 0 ) ' Ы |
О . |
(0) = 1 |
(а = 0,1). |
(5.36) |
Рис. 1. Массы а и Ь (в единицах |
Рис. 2. R |
как функция |
|||
массы Шварцшильда MQ Солнца) |
в |
р (0). |
|||
зависимости от центральной |
плот |
|
|
||
ности. |
|
|
|
|
|
Уравнения (5.33), |
вместе |
с |
(5.36), |
переходят |
в уравнения |
dr |
— К |
dr |
= Ta r*%, |
(5.37) |
|
|
|
|
|
|
(5.38) |
|
dr |
г* |
ф0 (г) |
T0= |
-^-(p+3p), T t = ---- ^-(р — p)j с |
начальными значе- |
|
ниями |
ф0 (0) = 1, Ха(0) = 0, |
р(0) = р(р (0)). |
127
Из условий сшивки (5.34) для постоянных а и b находим следующие значения:
а ~ - г - |
Фо(Я) |
I 1 - |
(5.39а) |
|
|
* \ |
( R ) |
R . |
|
и |
~ «ИЮ |
. _ L '_ |
|
|
Ь |
(5.39B) |
|||
|
. •/. |
(R) |
R _ |
|
Задаваясь p(0) и уравнением состояния p — p(p), будем численно интегрировать систему (5.37) и (5.38), начиная
Рис. 3. Число барионов В (внут
ри ядра с уравнением состоя ния р = р/3) в зависимости от
центральной плотности р (0).
от г = |
0 и до г = R, причем р(/?).<7,89 г/см3. Пользуясь |
|||
уравнениями состояния |
Гаррисона, |
Вакано |
и Уилера [6 ], |
|
получаем для а, Ь и R кривые*, представленные на рис. 1 и 2. |
||||
Рис. 1 |
означает, что кривая для |
а ведет |
себя так же, |
|
как и в общей теории |
относительности: |
а стремится к |
||
критическому значению |
0,6MQ . Кривая в области сверхъ |
ядерных плотностей существенно отличается от а. Раз
ность |
b—а возрастает |
от |
0,046Л1д при р (0) = 3 • ІО1 4 |
г/см2 |
|
до 1 ,9 |
4 |
АІ0 при р(0) = |
ІО3 |
0 г/см?. В соответствии со |
ска |
занным |
выше, это возрастание разности означает рост эф |
фективной абсорбции гравитации.
Обратимся теперь к тем следствиям, к которым приво дит в теории гравитационного коллапса эффект абсорбции
гравитационного взаимодействия. |
|
|||
В работе |
[5 ] подсчитано число барионов |
|
||
|
В = |
j |
n ) / \ g ^ \ d * x |
(5.40) |
* Позже |
мы вернемся |
к |
рис. 2. |
|
128
(где п—плотность числа барионов, |gv.., | —детерминант мет рики трехмерного пространства) для внутреннего ядра г <; га звезд с критической центральной плотностью и уравнением состояния р = р/3. Рис. 3 дает зависимость числа барионов в центральной области с радиусом от 0,17 х X 10- 2 до 0,19 • 10- 2 от центральной плотности. Очевидно, что, в отличие от общей теории относительности, в тетрадной теории число барионов В неограниченно возрастает с центральной плотностью р (0 ) в рассматри ваемом интервале плотностей. То, что такое поведение числа барионов в тетрадной теории действительно является следствием потенциалоподобной связи, уясняет ся из следующего качественного рассуждения.
Пусть будут заданы число барионов п, плотность энер гии р и давление р газа ультрарелятивистских частиц Ферми
с массой т, импульсом q и энергией Е —У пг2с2 + q2&q: dn —
Р - |
f 8t |
,1 |
3£ j |
1 |
|
|
J - * r ^ T i r ‘i , = T p |
|
|
||||
(h — постоянная |
Планка). |
Тогда для |
плотности |
числа, ба |
||
рионов имеем выражение |
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
•и |
|
|
(5.41) |
|
|
L |
|
|
||
|
3«*/* |
|
|
|
||
(где L — элементарная планковская длина |
j |
, а р пе |
ресчитано в геометрические единицы [слг2]). Тогда из (5.40) и (5.41) получим
ß ~ rf r 2Ph \g v„\3dr. |
(5.42) |
о |
|
Теперь исследуем уравнения поля (5.31) и уравнение (5.35)
для р = р/3 вблизи г = 0 |
при условии, |
что |
р (г) —> оо при |
|
г-> 0 . Принимаем также |
во внимание, |
что |
|
|
Р(0 = Рог_а -Ь . |
« > 0 , g(r) = g 0 |
rp + |
... (5.43) |
|
Переходя теперь к уравнениям (5.31) и (5.35), |
получим |
|||
а = 2 |
у |
|
|
(5.44) |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
1/а 5—344 |
129 |