Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

книги из ГПНТБ / Тредер, Г. -Ю. Теория гравитации и принцип эквивалентности. Группа Лоренца, группа Эйнштейна и структура пространства

.pdf
Скачиваний:
18
Добавлен:
19.10.2023
Размер:
6.62 Mб
Скачать

ds2 = c2 dt2 г — а

1 + -2-)* ((dx1)2 +

(dt2)2 +

(dt3)2) =

r + a

 

 

 

 

Д І (л-Чх1 + x2dx2 +

x3dx3)2,

(5.6)

видим, что в линейном приближении, т. е. с точностью до члена, пропорционального о2, обе метрики совпадают. Вопреки этому, во втором приближении получим неко­ торое отличие от ОТО (см. ниже). Далее, из динамиче­ ских уравнений как для точечных масс, так и для фотонов следует геодезический закон движения в пространстве с метрикой (5.5). Отсюда получаем в качестве перво­ го гравитационного эффекта ньютоновское уравнение дви­ жения в поле тяготения массы гпа (кеплеровское движение), а также красное смещение в поле тяжести, равное

АNV

а

}

Г

и, наконец, эйнштейновское значение для отклонения света

ѵ

=

<5' 7>

где V — эффективная

скорость

света в гравитационном

поле точечной массы гпа .

Для исследования смещения перигелия потребуется линейный элемент трехмерного пространства только в

линейном

приближении, а

компонента £00, наоборот,

в нелинейном приближении:

 

ds2 = с2 (і

-y-J dt2

((dxJ)2 -I- (dx2)2 + (dx3)2).

 

 

(5.8)

Геодезический закон движения в метрике (5.8) дает

для

движения перигелия ([1],

[4]) следующее выражение:

Ä <р = ^1 + 7 а(Ці4+Цг)

) , т. е. Д ср = ± Л <р Эй;іштей„.

 

 

 

(5.9)

Это выражение допускает некоторую корректировку. Об­ щая внешняя статическая сферически-симметричная мет­ рика сосредоточенного источника содержит не одну кон­ станту Шварцшильда, а две константы:

120

е.... = — s.

= 0 (ц, v = 1, 2, 3). (5.10)

Метрика (5.10) создается некоторым неточечным сфериче­ ским распределением масс (см. §16). Условие а Ф Ь не из­ меняет ньютоновского приближения как в выражении для смещения перигелия, так и в выражении для откло­ нения света.

В то время как в вакуумном решении отношение кон­ станты Шварцшильда а к константе b остается неопреде­ ленным, то при заданной внутренней структуре источника поля оно может быть определено с помощью условий сши­ вки внешнего и внутреннего решений. Для физических условий, реализуемых в нормальных звездах (например, в Солнце), имеет место а т Ь (см. §16). Существенные отк­ лонения от эйнштейновской и ньютоновской теорий начи­ наются в том случае, если вблизи материи гравитационное поле является сильным.

§ 16. СТАТИЧЕСКОЕ СФЕРИЧЕСКИ-СИММЕТРИЧНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАТЕРИИ

Статический тензор материи идеальной жидкости име­ ет вид

(5.11)

Линейный элемент пространства— времени возьмем в виде

ds2 = <р(г)* dl2 — giryidx^ + dxl + dxl) - (5.12)

и примем для тетрад и метрики aik плоского простран­ ства, в котором сформулированы гравитационные уравне­ ния, выражения

(5.13)

Уравнения для тетрадного поля (4.45)

n h ? + * h ? f t l =* 0

(5.14)

121

приводятся тогда к двум уравнениям:

 

AtP = 4 " * ф (р +

(5.15а)

 

дg = ----~Х £ (Р Р)-

(5-156)

В случае статического сферпчески-симметричного решения

в вакууме

= 0,

р= 0)

получаем отсюда

 

 

<Р=

1 ---- g = l + —

г

(5.16)

 

 

г

 

 

и коэффициенты в метрике (5.10)

 

 

ёоо =

----j- 'l >

— Vv

+ “ ) ’

 

 

ëfvo -= 0 (H-, V= i,2,3).

 

(5.17)

Эта метрика резко отличается от статического сферическисимметричного решения (5.6) общей теории относительно­ сти. В то время как в решении Шварцшильда (5.6) характе­ ристическая поверхность г= 2т (поверхность Шварц­ шильда) полупроницаема, поверхность в решении (5.17), соответствующая поверхности Шварцшильда, полностью непроницаема для частиц. К этому вопросу мы еще раз вер­ немся в конце параграфа.

Другое отличие, как уже было указано, состоит в том, что решение (5.17) зависит не от одной константы/«Шварц­ шильда, а от двух констант. Поведение обеих этих кон­ стант устанавливается при заданной структуре островно­ го распределения материи при помощи условий сшивки. В общей теории относительности для гравитационных по­ лей, зависящих от времени и принадлежащих одному и тому же распределению материи, имеет место асимпто­

тика

-

 

2т.

 

 

 

 

 

 

о 00 —

 

 

 

 

 

 

 

 

г

 

 

 

 

 

с теоремами• :

 

 

0Эйнштейна(и-»ѵ= 1.2,3)и Паули.

 

Толмана=и

выражением

 

..

 

ё 0ѵ.

 

 

 

 

 

Масса

Шварцшильда

задается при

этом

в

соответствии

т .=

JѴ~

§ Т ?

dl = Л J V ~ g

(ТІ -

Tl) d3x. (5.18)

122

В эйнштейновских координатах У — g = 1 она рав­

на

т =

J (То — Ti) dH.

(5.19)

В нашем случае идеальной жидкости из тензора мате­ рии следует

Р, ТІ = — р5]1 (р., V= 1,2, 3),

(5.20)

откуда для массы m находим

>п — (-^-j (р + Зр) d3x.

(5.21)

В тетрадной теории внешняя статическая метрика (5.16) содержит две константы а и Ь, что вытекает из по­ тенциалоподобного вида уравнений поля. Чтобы лучше оттенить возникающие при этом новые эффекты, перепи­ шем уравнения (5.14) и (5.15) в виде

а / г ? + х Л 4 ? = 0

(5.22)

и

Д£ = — хМ\ ,

 

Дср = у.Мо,

(5.23)

причем конкретная форма МА определена только с точ­

ностью до требования

М? = ki ТТ (где kf — четыре

произвольных векторных

поля).

Из (5.23) при условии сферической симметрии стати­ ческого внешнего поля получили на основании гауссовых

интегральных теорем

 

 

kl +

 

 

 

а =

J Ml dH = ( А )

J

3р) dH,

(5.24a)

 

b =

j M\ dH =

j

k\ (p — p) dH.

(5.246)

Вообще говоря, эти интегралы отличаются друг

от друга:

в частности,

давление

р приводит к увеличению констан­

ты а

и к уменьшению Ь. Если положить, например, kf =

= bf

(вместе

с ht вводим, таким

образом, еще 4 вектор­

ных

поля, которые

предполагаются

постоянными), то

а > 6

* [2].

 

 

 

 

 

 

Речь идет о частном выборе связи, рассмотренном на стр. 104.

123

В нашем случае потенциалоподобной связи

 

 

 

M f= h tT lk,

а =

j

cp(p +

3 p )d 3x,

 

 

 

 

 

 

b =

 

£(pJ P)d3x

 

(5.25)

возникает

второй эффект.

Из

уравнений

(5.15а)

и (5.156)

и условий cp -V 1

и g->-l

при г-ѵоо

следует, что со с 1

и

£ > 1 .

При

р — 0

из

(5.25)

и

(5.19)

получаем

a< cm <b.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Чтобы

сравнить

оба эти

эффекта,

рассмотрим несжи­

маемую

жидкость

с р = const [3]. Для

тензора

материи

(5.11) в метрике

(5.12)

получим

динамическое уравнение

 

 

 

 

 

? - ^

+

(р +

р ) - ^ = 0.

 

(5.26)

 

 

 

 

 

 

dr

 

 

 

аг

 

 

 

 

Уравнения (5.15) и (5.26)

можно

решить итерациями.

Для

этого

cp, g

и р разложим в ряд по степеням хр/2;

после

подстановки их в в (5.15)

и (5.26)

получим

 

 

Г

R 2 — r 2

 

ср_ +

3R* 5R°-r°- +

2г2 (ъру

 

 

=

 

 

у.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р(— Г “

‘I

 

 

 

45

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. 2L +

 

 

(1*)'+ О

((Я .)’ )

(5.27)

со =

1 -

3* a - r2

 

60

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь R — радиус сферического распределения материи. Пренебрегая членами высшего порядка малости, из (5.25) и (5.27) получим

а = m Ii,l

--------------3

т

--------З т - л- .

 

1

5

Я

Я2 '

(5.28)

ои = m'I 1 НI- -тЯ --I

-3527 -•-тR-2- -,Ь

 

Чтобы устранить отсюда эффекты, связанные с давлением, используем (5.27) формально и в случае р = 0 пренебрежем уравнением (5.26).

124

Тогда получим

 

 

 

 

 

а — in

1

6

т

.n

 

1 ---------------

5

R

b О

 

 

L

 

 

L

1 I

6

111

I n

(5.29)

b — in

1 -------------

5

R

b 0

 

L

 

 

Сравнение (5.28) и (5.29) показывает, что эффекты, связанные с давлением, и эффекты потенциалоподобной связи одного порядка. Однако последние, вообще говоря, преобладают, так что

(5.30)

а

Заметим, что применение итерационных методов для плотных звезд, у которых /пи R сравнимы между собой, не совсем корректно. В случае R < эффекты потенциа­ лоподобной связи резко преобладают над эффектами, связанными с давлением. На поверхности распределение ср становится меньше Ѵ2, а из условия положительной оп­ ределенности тензора материи р>3р следует

(р + 3р) ®<1 и (p— p ) g > 1

т. е. имеет место неравенство (5.30).

Константа а пропорциональна активной тяжелой мас­ се тА(а = GmA/c2). Следовательно, она в тетрадной теории оказывается меньше, чем в ОТО. Это обстоятель­ ство можно интерпретировать как подавление гравити­ рующего действия источника гравитационным потенциа­ лом ср, иными словами, как своеобразная абсорбция грави­ тации. Напротив, источник q не подавляется полем g. Истинная абсорбция X = Ыа в принципе может быть изме­ рена, так как она входит в выражения для смещения пери­ гелия и для отклонения света [3 ]. Релятивистские эффекты смещения перигелия и отклонения света являются тем

самым, по крайней мере, в

принципе, проверкой

нару­

шения сильного принципа

эквивалентности,

поскольку

X =

1 имеет место только в общей теории относительнос­

ти, удовлетворяющей сильному принципу

эквивалентнос­

ти.

Все же практическое определение X

из

указанных

эффектов невозможно, так как | X— 11для Солнца

имеет

величину порядка ІО-6.

 

 

 

 

Различие между интегралами (5.19) и (5.25) тем больше, чем сильнее гравитационные потенциалы внутри материи.

125

Чтобы можно было обсудить количественное соотношение этих величин, необходимо рассмотреть полную систему уравнений феноменологической тетрадной теории, со­ стоящую из гравитационных уравнений, динамического уравнения и уравнения состояния материи [5]. Прини­ мая во внимание (5.13), получаем из (5.15) уравнения

 

_1_

д_

 

 

= ~2

+

^

?

(5.31а)

 

г3

дг

 

 

и

 

 

 

 

 

 

dg

 

 

 

 

 

 

 

 

дг

 

 

-Т < 1>

■р) 8-

(5.316)

 

 

 

дг

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Интегрирование этих уравнений дает

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.32а)

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.326)

Так как ср и g

при г =

0

должны быть

регулярными, то

имеет место

г‘

dtp

 

0 и

г2- ^ -

 

 

= 0.

Тем самым

 

~дГ г

 

 

дг

г=О

 

получается из (5.32а,б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г

 

 

 

 

 

 

 

=

——

( (о + 3р) © r2dr

(5.33а)

 

 

дг

2r2

J

 

 

 

 

 

 

-

Ü r =

 

 

J

 

d'—--Р )

(5.33в)

Граничными условиями для

cp, g, ——

и

будут

 

 

 

 

 

 

 

dr

 

dr

Т ( Я ) = 1 — к

, £ ( / ? ) = l + -кf

 

(5.34)

df

 

 

 

 

dg

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dr

■=R

R 2

 

 

dr

Ir=R

 

 

R2

 

126

Из Тцк = 0 получаем, учитывая (5.11) и (5.12), динами^ ч.еское уравнение

* Р ____ Р + Р

2

(5.35)

dr

2 ‘

дг '

 

Точную картину поведения масс а а b можно получить при высоких центральных плотностях лишь с помощью интегрирования уравнений (5.33) и (5.35). Учтем гранич­ ные условия (5.34) и положим

<Р ( О = <? ( 0 ) Ч>о( 0 .

g ( r ) = S ( 0 ) ' Ы

О .

(0) = 1

(а = 0,1).

(5.36)

Рис. 1. Массы а и Ь (в единицах

Рис. 2. R

как функция

массы Шварцшильда MQ Солнца)

в

р (0).

зависимости от центральной

плот­

 

 

ности.

 

 

 

 

 

Уравнения (5.33),

вместе

с

(5.36),

переходят

в уравнения

dr

— К

dr

= Ta r*%,

(5.37)

 

 

 

 

 

(5.38)

 

dr

г*

ф0 (г)

T0=

-^-(p+3p), T t = ---- ^-(р — p)j с

начальными значе-

ниями

ф0 (0) = 1, Ха(0) = 0,

р(0) = р(р (0)).

127

Из условий сшивки (5.34) для постоянных а и b находим следующие значения:

а ~ - г -

Фо(Я)

I 1 -

(5.39а)

 

* \

( R )

R .

 

и

~ «ИЮ

. _ L '_

 

Ь

(5.39B)

 

. •/.

(R)

R _

 

Задаваясь p(0) и уравнением состояния p — p(p), будем численно интегрировать систему (5.37) и (5.38), начиная

Рис. 3. Число барионов В (внут­

ри ядра с уравнением состоя­ ния р = р/3) в зависимости от

центральной плотности р (0).

от г =

0 и до г = R, причем р(/?).<7,89 г/см3. Пользуясь

уравнениями состояния

Гаррисона,

Вакано

и Уилера [6 ],

получаем для а, Ь и R кривые*, представленные на рис. 1 и 2.

Рис. 1

означает, что кривая для

а ведет

себя так же,

как и в общей теории

относительности:

а стремится к

критическому значению

0,6MQ . Кривая в области сверхъ­

ядерных плотностей существенно отличается от а. Раз­

ность

b—а возрастает

от

0,046Л1д при р (0) = 3 • ІО1 4

г/см2

до 1 ,9

4

АІ0 при р(0) =

ІО3

0 г/см?. В соответствии со

ска­

занным

выше, это возрастание разности означает рост эф­

фективной абсорбции гравитации.

Обратимся теперь к тем следствиям, к которым приво­ дит в теории гравитационного коллапса эффект абсорбции

гравитационного взаимодействия.

 

В работе

[5 ] подсчитано число барионов

 

 

В =

j

n ) / \ g ^ \ d * x

(5.40)

* Позже

мы вернемся

к

рис. 2.

 

128

(где п—плотность числа барионов, |gv.., | —детерминант мет­ рики трехмерного пространства) для внутреннего ядра г <; га звезд с критической центральной плотностью и уравнением состояния р = р/3. Рис. 3 дает зависимость числа барионов в центральной области с радиусом от 0,17 х X 10- 2 до 0,19 • 10- 2 от центральной плотности. Очевидно, что, в отличие от общей теории относительности, в тетрадной теории число барионов В неограниченно возрастает с центральной плотностью р (0 ) в рассматри­ ваемом интервале плотностей. То, что такое поведение числа барионов в тетрадной теории действительно является следствием потенциалоподобной связи, уясняет­ ся из следующего качественного рассуждения.

Пусть будут заданы число барионов п, плотность энер­ гии р и давление р газа ультрарелятивистских частиц Ферми

с массой т, импульсом q и энергией Е —У пг2с2 + q2&q: dn

Р -

f 8t

,1

3£ j

1

 

 

J - * r ^ T i r ‘i , = T p

 

 

(h — постоянная

Планка).

Тогда для

плотности

числа, ба­

рионов имеем выражение

 

 

 

 

 

 

п

 

•и

 

 

(5.41)

 

 

L

 

 

 

3«*/*

 

 

 

(где L — элементарная планковская длина

j

, а р пе­

ресчитано в геометрические единицы [слг2]). Тогда из (5.40) и (5.41) получим

ß ~ rf r 2Ph \g v„\3dr.

(5.42)

о

 

Теперь исследуем уравнения поля (5.31) и уравнение (5.35)

для р = р/3 вблизи г = 0

при условии,

что

р (г) —> оо при

г-> 0 . Принимаем также

во внимание,

что

 

 

Р(0 = Рог_а -Ь .

« > 0 , g(r) = g 0

rp +

... (5.43)

Переходя теперь к уравнениям (5.31) и (5.35),

получим

а = 2

у

 

 

(5.44)

2

 

 

 

 

 

 

1/а 5—344

129

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ