книги из ГПНТБ / Тредер, Г. -Ю. Теория гравитации и принцип эквивалентности. Группа Лоренца, группа Эйнштейна и структура пространства

видим, что в линейном приближении, т. е. с точностью до члена, пропорционального о2, обе метрики совпадают. Вопреки этому, во втором приближении получим неко­ торое отличие от ОТО (см. ниже). Далее, из динамиче­ ских уравнений как для точечных масс, так и для фотонов следует геодезический закон движения в пространстве с метрикой (5.5). Отсюда получаем в качестве перво­ го гравитационного эффекта ньютоновское уравнение дви­ жения в поле тяготения массы гпа (кеплеровское движение), а также красное смещение в поле тяжести, равное

и, наконец, эйнштейновское значение для отклонения света

поле точечной массы гпа .

Для исследования смещения перигелия потребуется линейный элемент трехмерного пространства только в

Это выражение допускает некоторую корректировку. Об­ щая внешняя статическая сферически-симметричная мет­ рика сосредоточенного источника содержит не одну кон­ станту Шварцшильда, а две константы:

120

е.... = — s.

= 0 (ц, v = 1, 2, 3). (5.10)

Метрика (5.10) создается некоторым неточечным сфериче­ ским распределением масс (см. §16). Условие а Ф Ь не из­ меняет ньютоновского приближения как в выражении для смещения перигелия, так и в выражении для откло­ нения света.

В то время как в вакуумном решении отношение кон­ станты Шварцшильда а к константе b остается неопреде­ ленным, то при заданной внутренней структуре источника поля оно может быть определено с помощью условий сши­ вки внешнего и внутреннего решений. Для физических условий, реализуемых в нормальных звездах (например, в Солнце), имеет место а т Ь (см. §16). Существенные отк­ лонения от эйнштейновской и ньютоновской теорий начи­ наются в том случае, если вблизи материи гравитационное поле является сильным.

§ 16. СТАТИЧЕСКОЕ СФЕРИЧЕСКИ-СИММЕТРИЧНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАТЕРИИ

Статический тензор материи идеальной жидкости име­ ет вид

(5.11)

Линейный элемент пространства— времени возьмем в виде

ds2 = <р(г)* dl2 — giryidx^ + dxl + dxl) - (5.12)

и примем для тетрад и метрики aik плоского простран­ ства, в котором сформулированы гравитационные уравне­ ния, выражения

(5.13)

Уравнения для тетрадного поля (4.45)

121

В случае статического сферпчески-симметричного решения

Эта метрика резко отличается от статического сферическисимметричного решения (5.6) общей теории относительно­ сти. В то время как в решении Шварцшильда (5.6) характе­ ристическая поверхность г= 2т (поверхность Шварц­ шильда) полупроницаема, поверхность в решении (5.17), соответствующая поверхности Шварцшильда, полностью непроницаема для частиц. К этому вопросу мы еще раз вер­ немся в конце параграфа.

Другое отличие, как уже было указано, состоит в том, что решение (5.17) зависит не от одной константы/«Шварц­ шильда, а от двух констант. Поведение обеих этих кон­ стант устанавливается при заданной структуре островно­ го распределения материи при помощи условий сшивки. В общей теории относительности для гравитационных по­ лей, зависящих от времени и принадлежащих одному и тому же распределению материи, имеет место асимпто­

122

В эйнштейновских координатах У — g = 1 она рав­

на

В нашем случае идеальной жидкости из тензора мате­ рии следует

откуда для массы m находим

В тетрадной теории внешняя статическая метрика (5.16) содержит две константы а и Ь, что вытекает из по­ тенциалоподобного вида уравнений поля. Чтобы лучше оттенить возникающие при этом новые эффекты, перепи­ шем уравнения (5.14) и (5.15) в виде

причем конкретная форма МА определена только с точ­

Из (5.23) при условии сферической симметрии стати­ ческого внешнего поля получили на основании гауссовых

Речь идет о частном выборе связи, рассмотренном на стр. 104.

123

В нашем случае потенциалоподобной связи

Здесь R — радиус сферического распределения материи. Пренебрегая членами высшего порядка малости, из (5.25) и (5.27) получим

Чтобы устранить отсюда эффекты, связанные с давлением, используем (5.27) формально и в случае р = 0 пренебрежем уравнением (5.26).

124

Сравнение (5.28) и (5.29) показывает, что эффекты, связанные с давлением, и эффекты потенциалоподобной связи одного порядка. Однако последние, вообще говоря, преобладают, так что

(5.30)

а

Заметим, что применение итерационных методов для плотных звезд, у которых /пи R сравнимы между собой, не совсем корректно. В случае R < 2т эффекты потенциа­ лоподобной связи резко преобладают над эффектами, связанными с давлением. На поверхности распределение ср становится меньше Ѵ2, а из условия положительной оп­ ределенности тензора материи р>3р следует

(р + 3р) ®<1 и (p— p ) g > 1

т. е. имеет место неравенство (5.30).

Константа а пропорциональна активной тяжелой мас­ се тА(а = GmA/c2). Следовательно, она в тетрадной теории оказывается меньше, чем в ОТО. Это обстоятель­ ство можно интерпретировать как подавление гравити­ рующего действия источника гравитационным потенциа­ лом ср, иными словами, как своеобразная абсорбция грави­ тации. Напротив, источник q не подавляется полем g. Истинная абсорбция X = Ыа в принципе может быть изме­ рена, так как она входит в выражения для смещения пери­ гелия и для отклонения света [3 ]. Релятивистские эффекты смещения перигелия и отклонения света являются тем

Различие между интегралами (5.19) и (5.25) тем больше, чем сильнее гравитационные потенциалы внутри материи.

125

Чтобы можно было обсудить количественное соотношение этих величин, необходимо рассмотреть полную систему уравнений феноменологической тетрадной теории, со­ стоящую из гравитационных уравнений, динамического уравнения и уравнения состояния материи [5]. Прини­ мая во внимание (5.13), получаем из (5.15) уравнения

126

Из Тцк = 0 получаем, учитывая (5.11) и (5.12), динами^ ч.еское уравнение

Точную картину поведения масс а а b можно получить при высоких центральных плотностях лишь с помощью интегрирования уравнений (5.33) и (5.35). Учтем гранич­ ные условия (5.34) и положим

127

Из условий сшивки (5.34) для постоянных а и b находим следующие значения:

Задаваясь p(0) и уравнением состояния p — p(p), будем численно интегрировать систему (5.37) и (5.38), начиная

Рис. 3. Число барионов В (внут­

ри ядра с уравнением состоя­ ния р = р/3) в зависимости от

центральной плотности р (0).

ядерных плотностей существенно отличается от а. Раз­

фективной абсорбции гравитации.

Обратимся теперь к тем следствиям, к которым приво­ дит в теории гравитационного коллапса эффект абсорбции

128

(где п—плотность числа барионов, |gv.., | —детерминант мет­ рики трехмерного пространства) для внутреннего ядра г <; га звезд с критической центральной плотностью и уравнением состояния р = р/3. Рис. 3 дает зависимость числа барионов в центральной области с радиусом от 0,17 х X 10- 2 до 0,19 • 10- 2 от центральной плотности. Очевидно, что, в отличие от общей теории относительности, в тетрадной теории число барионов В неограниченно возрастает с центральной плотностью р (0 ) в рассматри­ ваемом интервале плотностей. То, что такое поведение числа барионов в тетрадной теории действительно является следствием потенциалоподобной связи, уясняет­ ся из следующего качественного рассуждения.

Пусть будут заданы число барионов п, плотность энер­ гии р и давление р газа ультрарелятивистских частиц Ферми

с массой т, импульсом q и энергией Е —У пг2с2 + q2&q: dn —

ресчитано в геометрические единицы [слг2]). Тогда из (5.40) и (5.41) получим

Теперь исследуем уравнения поля (5.31) и уравнение (5.35)