книги из ГПНТБ / Тредер, Г. -Ю. Теория гравитации и принцип эквивалентности. Группа Лоренца, группа Эйнштейна и структура пространства

Итак, самосогласованная система уравнений материаль­ ных и гравитационного полей с заданными начальными и граничными условиями дает решения эйнштейн-ковари- антные, но не лоренц-общековариантные.

Абсолютный параллелизм в Ѵ,і не определяется дина­

микой материальных полей. Но h? определяются именно обратным воздействием полей материи на IV Если же рассматривается замкнутая система «материя плюс грави­ тация», то из ее динамики следует определение gik и за­

тем тетрад hf с точностью до локальных лоренц-преобра- зований. Истинными (истинная система отсчета) будут тог­ да те тетрады, для которых метрика gjk при заданном тен­

зоре материи 7f есть решение уравнений (4.50). Независимо от проблемы физического смысла спинор­

ных величин при некоторой модификации уравнений тет­ радной теории появляется следующий побочный результат:

замена метрического поля g ik тетрадным полем hf означа­ ет извлечение корня квадратного из гравитационного по­ тенциала Эйнштейна. Тем самым уравнения поля не опре­ деляют метрику g ik, она появляется только в результате

внутреннего умножения тетрад h f (ср. § 9).

Следующее существенное отличие тетрадной теории от эйнштейновской заключается в особенностях уравнений поля, сформулированных для случая плоского простран­ ства (4.40а). Из них следует, что возмущение гравитации распространяется всегда со скоростью с, а не со скоростью света в È4, зависящей от g ifl (х 1). Так как эта последняя во всех случаях меньше с, то скорость гравитационных возмущений будет всегда больше скорости света в Ѵ4. Это значит, что «гравитоны» в мировом пространстве обладают мнимой массой.

Самодействие гравитации в тетрадной теории возможно только через связь с материей. В вакууме гравитационное поле действует на распространение гравитационной вол­ ны столь же слабо, как и в теории Максвелла электромаг­ нитное поле слабо влияет на распространение световых лучей.

Итак, несмотря на далеко идущее соответствие феноме­ нологических следствий тетрадной теории и теории Эйн­ штейна, между ними имеются и существенные различия. В частности, отличие гравитационного поля от материаль­ ных полей приобретает в тетрадной теории иной характер, чем в ОТО Эйнштейна (см. § 14). Квантование гравитации

110

в тетрадной теории осуществляется в пространстве Мин­ ковского. Характеристические поверхности тетрадной тео­ рии являются изотропными поверхностями также в про­ странстве Минковского. А все остальные поля в тетрадной теории квантуются уже в римановом пространстве Ѵ4, и ха­ рактеристические поверхности для негравитационных безмассовых полей являются изотропными поверхностями пространства ѴА.

5 14. НЕЛОРЕНЦЕВЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИСТЕМ ОТСЧЕТА

Уравнение поля

следует понимать так: в мировом пространстве Ѵ4 сущест­ вует некоторая плоская фоновая метрика

aik = <Р.

такая, что по отношению к ней пространство систем от­ счета V* и мировое пространство Ѵ4 эквивалентны. Из

уравнений поля определяются системы отсчета

Вследствие этого (см. § 11) в случае тензорных полей ло- ренц-ковариантные соотношения между измеряемыми фи­ зическими величинами эквивалентны тензорным уравне­ ниям, определенным в римановом пространстве с метрикой (4.55). Равным образом для спинорных полей лоренц-кова- риантные производные (и спинорные аффинные связности) определяются относительно метрических спинтензоров

о'і» = ■Это значит, что поля материи изменяются

под действием внешних сил не в плоском Ѵ4, а в Ѵ4 с мет­ рикой (4.55) [11]. Определяемые уравнением (4.53) (с со­ ответствующими граничными и начальными условиями

тетрады) hi дают обобщение инерциальных систем отсчета

111

в специальной теории относительности. Инерциальная си­ стема в декартовых координатах имеет вид

В вакууме уравнения поля (4.53) переходят в волновое уравнение

Если надлежащим выбором граничных и начальных условий существование свободных гравитационных волн исключено, то (в декартовых координатах) инерциальная система (4.56) будет решением уравнения (4.58), свободным от сингулярно­ стей, с граничными условиями

Эта инерциальная система накрывает ѴА в случае, если установлена гравитационная постоянная х = 0 (включение гравитационного поля). Если же при существовании мате­ рии опять включено гравитационное поле, т. е. принято хф О , то это означает деформацию инерциальной системы (4.56), что соответствует некоторой неголономной нелоренцевой трансформации, как это было показано выше.

112

Неголономные преобразования переводят инерциальные тетрады 8f в общие тетрады hf:

113

Преобразования, обратные (4.65), переводят риманову метрику g ik в плоскую метрику і\ік. Имеет место

и вместе с (4.62в)

Плоская метрика TJ£4 может, таким образом, быть выраже­ на через £2В и gik (или соответственно для обратных матриц Q Jlß и g ik) .

Впроизвольной криволинейной системе координат [х 1*}

сусловием

Для метрик находим соответственно

Если окончательно инерциальная система отсчета совер­ шает постоянное лоренц-вращение в плоском пространстве, то тогда переходят к системе отсчета в плоском простран­ стве, движущейся равномерно относительно первоначаль­

114

ной, и для старых ht просто будет иметь место представ­ ление

повернуты* относительно первоначальных тетрад 8f, при­ чем матрица вращения постоянна

кую матрицу преобразования ß s , которая преобразует инерциальную систему плоского пространства — времени

Ѵі в «инерциальную систему отсчета» физического Ѵ4 с гравитационным полем и вообще значение некоторой вели­ чины Ф‘ в СТО

115

Вследствие ковариантного характера уравнения (4.73) дей­ ствительны в любой координатной системе. Эти соотноше­ ния показывают, что в теорию поля входят в качестве прин­ ципиально независимых величин, с одной стороны, плоская или риманова метрика, а с другой стороны, матрицы пре­ образования.

зора материи связана обратная матрица £іав- Таким образом, тетрадная теория гравитации является

теорией неголономных преобразований, которые переводят плоское Ѵ4 с псевдоевклидовым (инерциальным) тетрадным полем в риманово Ѵ4 с однозначно определенным (инер­ циальным) тетрадным полем. Введение плоской метрики, наряду с римановой метрикой g ik, не ведет к дальнейшей детализации структуры многообразия а задает лишь дуальность Ѵ4 посредством некоторого (определенного с точностью до глобальных преобразований Лоренца) тетрад­ ного поля.

Как указывалось во введении, первоначальная, интуи­ тивная идея Эйнштейна заключалась в том, что гравита­ ционное поле должно приводить к нарушению инерциальности систем отсчета. Это нарушение можно описать с по­ мощью неголономных преобразований систем отсчета и плоской метрики в риманову метрику g ik. Эта идея была впервые сформулирована Эйнштейном в 1912 г. в дискус­ сии с М. Абрагамом о гравитации и о принципе относи­ тельности. Задачей теории гравитации является, по Эйн­ штейну, нахождение соответствующих неголономных нело-

ренцевых преобразований Q.B (х1) из (4.61) для получения гравитационных полей конкретного вида. Теория гравита­ ции как теория систем отсчета рассматривает именно такие неголономные «изгибания» псевдоевклидовых инерциаль­ ных тетрад отсчета, так что уравнения поля гравитации в теории Тредера непосредственно определяют матрицу де­

116

формации тетрад. В этом смысле теория Тредера есть пря­ мая реализация первоначальных идей Эйнштейна.

5.Schouten J. A. Ricci-Calculus. Berlin, Götingen, Heidelberg, 1953.

6.Treder H.-J. Lorentz-Gruppe, Einstein-Gruppe und Raumstructur in: Entstehung, Entwicklung und Perspektiven der Ein-

steinschen Gravitationstheorie. Berlin, 1966, p. 5.

7.Treder H.-J. Ann. Physik, 20 (1967), 194.

8.Treder H.-J. Math. Nachr. (1969).

9.Treder. H.-J. Intern. J. Theor. Phys., 3 (1970).

10.Элементарные частицы и компенсирующие поля. Пер. с англ. Под ред. Д. Д. Иваненко. М., Изд-во, «Мир», 1964.

11.Иваницкая О. С. Обобщенные преобразования Лоренца и их приложения. Минск, Изд-во «Наука и техника», 1969.

12.Weyl Н. Z. Physik, 56 (1929), 330.

13.Einstein А., Mayer W. Semi-Vektoren und Spinoren, Berliner Berichte (1932), 522.

14.Heisenberg W. Einführung in die einheitliche Feldtheorie der Elementarteilchen. Stuttgart, 1967.

Глава 5

АБСОРБЦИЯ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ

В гл. 4 было показано, что введение тетрад не имеет прямых физических следствий, если рассматривается действие только внешнего гравитационного поля, а изме­ римы лишь тензорные величины. Новая физика с вве­ дением тетрад появляется лишь тогда, когда рассматри­ вается самосогласованная система материи и гравитаци­ онного поля, например, при рассмотрении эффективного гравитационного вклада некоторого тела в гравитацион­ ное поле, создаваемое остальной материей.

Изложенная в гл. 4 тетрадная теория существенно от­ личается от общей теории относительности в двух пунктах.

1. Функции, определяющие геометрию пространства— времени, в тетрадной теории гравитации образуются с по­ мощью внутреннего произведения гравитационных потен­ циалов hf. Вытекающие отсюда следствия являются

непосредственным результатом нарушения в теории силь­

117

ного принципа эквивалентности, а потому являются критерием справедливости последнего. Тем самым созда­ ется возможность проверки изложенного в четвертой главе общего принципа относительности.

2. Материя в уравнениях (4.45) связана с гравитаци­ онным полем потенциалоподобным образом. Такой тип связи обязателен для любой последовательной тетрадной теории, хотя, разумеется, возможны и другие типы связи. Вытекающие из такой формы уравнений следствия также поддаются экспериментальной проверке. Косвенно они могут служить также для проверки нарушения сильного принципа эквивалентности в тетрадной теории.

В дальнейшем будут изложены некоторые конкретные результаты тетрадной теории, а также произведено сравнение их с выводами ОТО и с экспериментальными данными. В § 15 сопоставлены значения трех классиче­ ских эффектов в тетрадной теории и в ОТО, а в § 16 и 17 рас­ смотрены эффекты, которые можно объединить одним на­ званием — абсорбция силы тяжести. В частности, рассмот­ рены более подробно оба пункта отличий тетрадной те­ ории от ОТО.

§ 15. ЭЙНШТЕЙНОВСКИЕ ЭФФЕКТЫ

Необходимым критерием феноменологической грави­ тационной теории, как уже неоднократно указывалось, является правильный переход к предельному случаю сла­ бого статического гравитационного поля в почти инер­ циальной системе отсчета в случае непрерывного или островного распределения материи. Поэтому перейдем к ли­ нейному приближению тетрадной теории и покажем, что оно, совместно с динамическим уравнением (4.43), совпа­ дает с линейным приближением ОТО Эйнштейна [1]. Представим тетрады в виде

причем предполагается применение их для слабого грави­ тационного поля и квазиинерциальных систем отсче­ та, т. е. добавка в (5.1) должна быть малой:

118

Если тетрады (5.1) получены в результате бесконечно ма­ лых лоренцевых вращений, то

Уравнения поля (4.45) с учетом (5.1а) в линейном приближении будут иметь вид

тогда как для метрики в том же приближении ([1], [8]) имеем уравнение

Из (5.3а) следует, что тетрадное поле, которое можно по­

лучить из тетрады bf при помощи лишь лоренц-вращения, не может быть приближенным решением уравнений поля с материей.

Рассмотрим теперь некогерентную материю Т* в по­ коящейся системе отсчета. Это приводит к

Решение уравнения (5.3) с тензором материи (5.4а) дает

В выражении (5.46) содержится также строгое стати­ ческое сферически-симметричное вакуумное решение для массового монополя (т. е. для точечной частицы без внутренней структуры):

Сравнивая (5.5) с решением Шварцшильда гравита­ ционных уравнений Эйнштейна в гармонических коорди-. натах

119