книги из ГПНТБ / Тредер, Г. -Ю. Теория гравитации и принцип эквивалентности. Группа Лоренца, группа Эйнштейна и структура пространства

Здесь величины то? = — 7^ = Т „э = — 7 рі вместе с ус­ ловием

определяют метрический спинор спинорного пространства, который с учетом (4.24) имеет постоянные компоненты

Представление (4.24 а, б) инвариантно относительно унимодулярных преобразований в спинпространстве S2 и Sj, т. е. относительно преобразований спинтензоров

(4.26)

когда матрицы преобразований ajj- = at) (х1) удовлетворяют условию

Если измеряемые величины относятся к спинорным пространствам S2 и 5‘, то общий принцип относительности

требует, чтобы в соответствии с унимодулярной инвари­ антностью (4.24) эти величины преобразовывались как спи­ норы

В соответствии с (4.23) это условие для эрмитовых спиноров валентности 2я ф . , ф . . и т. д. эквивалентно

требованию, чтобы измеряемые величины были лоренц-тен- зорами:

Ф . = о . ф А = a . . h‘ ф 4 = а . ф і .

р.ѵ Д /р.ѵ л Z|j.v

Если — спинор, то обычная производная от него

уже не является спинором, так как имеет место

Введение спинорной аффинной связности (см., напри­ мер [4] Ар/ с законом преобразования

100

дает возможность образовать лоренц-ковариантную произ­

водную от спинора:

Спинорная аффинная связность должна быть одновремен­ но в мировом пространстве тензором, поскольку производ­ ная (4.30) координатно инвариантна. Единственная связ­ ность такого рода, которую можно сконструировать из спинтензоров и их производных, есть связность Инфельда и Ван-дер-Вардена [3]:

Теперь уже можно определить общековариантную производ­ ную для смешанных тензорно-спинорных величин, например

Из (4.32) для метрических спинтензоров получим основное условие

В самом деле

где Агі— аффинная связность Эйнштейна (4.17а)

Имеет место дуальность координатно-ковариантных уравнений для тензорных полей и лоренц-ковариантных уравнений для соответствующих им спинорных полей чет­ ной валентности

101

Учитывая

Ф • = ф * 0. • = Ф л а. ■ ,

JJ .V Ä J J .M Л р . ѵ ’

из (4.23) и (4.15) получим

Но из (4.33) и (4.16) имеем [13].

а? + ='"; hfutl = о, (4.з8)

а из (4.37) и (4.31) следует

Таким образом, для спинорных полей четной валентно­ сти спинорная и лоренц-ковариантная производные экви­ валентны. Лоренц-ковариантные уравнения для спинорных полей нечетной валентности невозможно преобразовать в координатно-ковариантные уравнения, т. е. без спинорных индексов.

С общетеоретической точки зрения произвольные спи­ норные поля должны быть координатно-инвариантными и, в соответствии с общим принципом относительности, ло- ренц-ковариантными. Однако, как уже было сказано, для спинорных полей нечетной валентности не существует ло- ренц-инварпантного и координатно-ковариантного пред­ ставлений. Для тензорных величин тоже имеет место дуаль­ ное утверждение, что все физические величины должны быть лоренц-инвариантными и координатно-ковариантными.

§ 13. НАРУШЕНИЕ ЛОРЕНЦ-КОВАРИАНТНОСТИ ГРАВИТАЦИОННЫМ ПОЛЕМ

Общий принцип относительности будет в теории выпол­ ненным, если физические уравнения для тензорных и спи­ норных полей записаны в координатно-инвариантной и ло- ренц-ковариантной форме. Нарушение общего принципа относительности, а именно общей лоренц-ковариантности соотношений между физическими величинами, возникает тогда, когда геометрия мирового пространства Ѵ,і опреде­ ляется не только лоренц-инвариантной метрикой glk, но

и лоренц-неинвариантными комбинациями тетрад /г*. Это значит, что законы, определяющие структуру простран­

102

ства — времени, должны быть также координатно-кова- риантными. Если эти уравнения определяют лишь glk, то структура пространства лоренд-инвариантна. Но если из этих уравнений определяются и другие, не лоренц-инва- риантные величины, то лоренц-ковариантность метрической структуры Ѵ4 нарушается. В частности, общая лоренц-ко­ вариантность структуры Ѵ4 полностью исчезает, если из структурных уравнений в Ѵ4 можно определить 16 компо­

нент тетрадного поля /г*.

Поскольку понятие глобального вращения простран­ ства — времени Ѵі не имеет физического смысла, то нужно потребовать ковариантность относительно локальных ло-

ренцевых вращений (таких вращений, для которых со в,і = = 0). Это накладывает ограничения на структуру уравне­ ний в Ѵі : они должны быть инвариантны относительно локальных лоренцевых вращений. Последнее выполняется, в частности, если уравнения, определяющие структуру Ѵ4, являются координатно-коварнантными дифференциальны­

ми уравнениями для 16 компонент h£- Из слабого принципа эквивалентности следует, что геометрическая структура пространства — времени тождественно описывает гравита­ ционное поле. Поэтому о наличии или отсутствии в теории общего принципа относительности можно судить по струк­ туре уравнений для гравитационного поля. Если они ло- ренц-инвариантны, то общий принцип относительности имеет место, в противном случае — нет.

Переход от gik к полному ансамблю тетрад h'} означает одновременно и нарушение сильного принципа эквивалент­ ности, так что сильный принцип эквивалентности и общий принцип относительности взаимозависимы. Это будет про­ демонстрировано ниже*.

Итак, полная теория гравитационного поля, исходящая из понятия системы отсчета, требует введения уравнений для тех нелоренцевых преобразований тетрады отсчета, ко­ торые преобразуют первоначальные тетрады Минковского в соответствующие римановы объекты**. В пространстве Минковского мы должны иметь полевые уравнения для

тетрад h i или сітинтензоров а£ \ Эти уравнения должны быть первоначально сформулированы в ковариантном пред­

* См. дополнение «Принцип эквивалентности и экранирование силы тяжести».

** Обоснование см. в § 14.

103

ставлении (с нижними пространственно-временными индек­ сами), так как преобразование г\АВ в gik (см. ниже)

gtk = h fh .tn AB = aètâbfb% -nAB

определяет метрический тензор с нижними индексами (см. § 4 настоящей главы).

Если принять, что эти тетрадные поля 4-векторные (т. е. соответствуют бозонам с нулевой массой покоя), то

вместо произведения трех спинорных полей — произведение трех векторных полей. Тогда часть уравнения Гейзенбер­ га, отвечающая за взаимодействие, будет не что иное, как

тензор энергии—импульса Ѳ*, то в уравнения для hf в ка­ честве взаимодействующего члена войдет выражение, описывающее потенциалоподобную связь с тензором энер­ гии—импульса Гейзенберга:

у. h?®\ = хѲ?.

Из соображений размерности константа связи х должна быть равна эйнштейновской гравитационной константе с точностью до численного множителя.

Потенциалоподобная связь гравитации и материи неиз­

бежна, так как из тензора материи Ѳ£ и из h t можно обра­ зовать только 4 вектора. Последовательная тетрадная тео­ рия приводит, таким образом, к однородным уравнениям относительно материи и гравитации. (Потенциалоподобная связь могла бы быть устранена, если бы в член взаимодей­ ствия были введены 4 дополнительных векторных поля. В этом случае простейший тип связи в декартовых коорди­

натах имел бы вид хѲ*; B/fü>ß.)

104.

В псевдодекартовых координатах уравнения для тетрад имеют вид [7]

рии поля с учетом гравитации действует значительно бо­ лее слабая группа симметрии, чем группа симметрии урав­ нения Гейзенберга.

Так как в тензор материи Гейзенберга входят, кроме спинтензоров, тетрады и их производные, то из (4.40) сле­ дует существенно нелинейная теория взаимодействия гра­ витации и материи, в которой уравнения для материаль­ ных полей и (4.40) самосогласованны. Можно получить приближенную теорию слабого гравитационного поля, если

взять Ѳ* из релятивистского уравнения Гейзенберга и под­ ставить его в (4.40). Это — линеаризация точных гравита­ ционных уравнений.

Тетрадное поле можно проквантовать (что соответству­ ет квантованию гравитационного поля), причем «гравито­ ны» оказываются безмассовыми частицами спина 1, а не 2.

Процесс квантования вакуумного поля тривиален:

[hf(x), ftf(je')] = *')■ (4.41)

* Можно получить теорию, в некотором смысле дуальную к (4.40), если вместо ковариантных тетрад h f в качестве первичных

величин теории взять контравариантные тетрады іі'а[7]. Вследст­

вие неэквивалентности плоского оператора □ и римановой мет­ рики gib эти теории и физически оказываются различными

Эти уравнения во втором приближении дают неизометрические метрики с (4.40), в результате смещение перигелия Д<р = 5/6 эйн­ штейновского (ср. § 15). Но так как первичными являются ковариантные метрика и тетрады, то уравнение (*) не является ли­ нейным уравнением для системы отсчета, определяющей метрику.

Это скорее уравнение для преобразованной искомой тетрады h f.

105

где D(x, x') — причинная функция Иордана—Паули для уравнения Даламбера. В общем случае вместо (4.41) будем писать

где F(x, x') — некоторая двухточечная функция, соответ­ ствующая двухточечной бозонной функции уравнения Гей­ зенберга. Точному определению F(x, x') не поддается. Фе­ номенологическое гравитационное поле и макроскопиче­ ская мировая метрика могут быть определены как опера­ торное среднее билинейного произведения полевых опера­

торов lif

Видим, что квантование гравитационного поля не при­ водит к квантованию метрики макроскопического простран­ ства — времени.

Гравитационное поле — дальнодействующее, а потому для него должна быть сформулирована макроскопическая теория. В такой теории динамику материн и гравитации не будем описывать точным уравнением Гейзенберга, а лишь потребуем, чтобы динамические свойства феномено­ логической квантовой материи были совместны с квантовой теорией поля. В частности, постулируем справедливость эйнштейновского динамического уравнения для тензора ма­

терии т)

{ Ѵ ^ т Ч ) : k - (V = - g T t) . k - 4 - v = g T ^ gma <= o, (4.43)

что означает справедливость эйнштейновского принципа эквивалентности инертной и (пассивной) тяжелой масс.

Следуя Гейзенбергу, заметим, что фундаментальное поле фа описывает безмассовые частицы, а масса покоя появляется лишь при взаимодействии с вакуумом. Тензор материи Гейзенберга, в противоположность феноменологи­ ческим теориям, имеет равный нулю шпур

Ѳ = Ѳ/ = 0.

По аналогии с теорией Эйнштейна потребуем, чтобы в приближении слабого поля теория переходила в ньютонов­ скую, причем распределение материи — островное. В том

106

же приближении ньютоновская теория должна быть спра­ ведлива и внутри материальных распределений, т. е. их массы определяются по формуле

Это требование дает возможность написать окончательный

по типу уравнения с источником, как в теории Эйнштей­ на). Так как в Т\, кроме метрического тензора g ik и его производных, входят еще hf со своими производными, то

(4.45) — система нелинейных уравнений относительно hf . Она решается совместно с (4.43) и уравнением состояния материи. Для метрического тензора из (4.45) и (4.1) сле­ дуют 10 уравнений*:

Уравнения (4.45) с заданными начальными и граничными условиями фиксируют тетрадное поле с точностью до гло­ бальных преобразований Лоренца, а следовательно, опре­ деляют риманово пространство с абсолютным параллелиз­ мом в смысле Эйнштейна.

отличающаяся от использованной в (4.45) тем, что в ней подняты индексы с помощью плоской метрики rlik.

* Ср. с биметрическими тензорными уравнениями (3.97).

107

которое можно вывести также из вариационного принципа для hf с функцией Лагранжа

Оно во всех физически важных случаях практически не отличается от (4.45) (см. § 15).

По нашему мнению, связь между материей и гравита­ цией должна быть не типа уравнения с источником (как в теории Ньютона или Эйнштейна), а потенциалоподобной (связи типа Ферми совместно с моделью Юкава). Уравне­ ния гравитационного поля в этом случае становятся одно­ родными дифференциальными уравнениями и в произволь­ ных координатах имеют вид

производные с метрикой апш (х 1е) . Оператор □ является ковариантным оператором Даламбера для векторного поля.

Величина Qi из (4.47) означает теперь

Q i ^ f y + a ^ T m a ^ .

В соответствии с этими уравнениями плотность источника гравитационного поля, которая по Эйнштейну и Ньютону определяется как

108

соответственно, теперь будет задаваться уравнением

Иначе говоря, эффективная активная гравитационная мас­ са зависит от гравитационного потенциала, причем таким образом, что при увеличении гравитационного квазиньютоновского потенциала эффективная гравитационная масса уменьшается (см. § 15 и 16).

С учетом квазиньютоновского потенциала lit эффективная гравитационная масса пгА плотного тела К, состоящего

N

из N частиц, становится меньше суммы ^ тл„ отдельных

п—\

V

частиц тела: т л < V тАп. (Здесь под эффективной ак-

Л = |

тивной гравитационной массой тА всегда подразумевается гравиметрически измеренный вес сферически-симметричного распределения материи, обладающего сферическим ньюто­ новским потенциалом.) Напротив, инертная масса тТп и пассивная масса шРп просто складываются, т. е. имеем

мы «материя плюс гравитация» в тетрадной теории можно сказать следующее: уравнения для материальных полей в Ѵ& лоренц-ковариантны и эйнштейн-ковариантны. Так

как между of в лоренц-ковариантной записи спинорных уравнений Дирака или Гейзенберга и тензором gik в эйн- штейн-ковариантной записи тензорных полевых уравнений имеет место связь (4.23), то влияние гравитационного поля сказывается как на спинорных, так и на тензорных полях. При этом спинорные уравнения оказываются лоренц-ин- вариантными и эйнштейн-ковариантными. Уравнения гра­ витационного поля определяют метрические спинтензоры (4.23) и, следовательно, метрический тензор gik. Они эйн­ штейн-ковариантны, однако не ковариантны относительно локальных лоренцевых преобразований. Напротив, при та­ ком преобразовании из (4.45) вытекает

□ h f + X hi T*il = 2т}"т соА, т hf<n-\-h?n®A- (4.52)

Уравнение (4.45) или (4.49) ковариантно только относи­ тельно постоянных лоренцевых вращений [11].

109