книги из ГПНТБ / Тредер, Г. -Ю. Теория гравитации и принцип эквивалентности. Группа Лоренца, группа Эйнштейна и структура пространства

шим членом в уравнениях поля является волновой опера­ тор \Hgik- Из простейшего полевого уравнения в вакууме

следуют значения Эйнштейна для отклонения света и крас­ ного смещения, если только ввести постоянную массы для статического сферически-симметричного поля. Для смеще­ ния перигелия получается тогда

— ~~Т~ Д^РЭіінштеЯні

О

т. е. на треть больше значения Эйнштейна. Обычное стати­ ческое сферически-симметричное поле зависит от двух по­ стоянных. В соответствующих координатах имеем

Äii = £ 2 2 = £зз = — (1 + am/r), g00 = 1 — 2mir. (3.96) Метрика (3.96) является линейным приближением уравнения

Эйнштейна—Розена с условием де Дондера (]/ —g glk)k=0. Связь с тензором материи Тк линейна и имеет вид потен­ циала

Ш іь = - 2 « f & ) = • (З-97)

Потенциалоподобный характер этой связи уясняется при

Связь типа (3.97) не является все же необходимой, а в та­ ком виде она неестественна, ибо (3.97) не выводится из ва­ риационного принципа.

Индексы в биметрических полевых уравнениях должны перемещаться с помощью метрики у]іи, так как лишь такое перемещение совместимо с волновым оператором. Уравне­ ние приобретает тривиальный вид

Уравнение (3.100)— снова линеаризованная форма урав­ нений поля Эйнштейна—Розена; его можно вывести из ва­ риационного принципа (член связи y-T)lg kiqik).

90

ЧАСТЬ Б

ТЕОРИЯ ГРАВИТАЦИИ — ТЕОРИЯ СИСТЕМ ОТСЧЕТА

Глава 4

ОБОБЩЕННАЯ ЛОРЕНЦ-КОВАРИАНТНОСТЬ

§ 11. ЛОРЕНЦ-КОВАРИАНТНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ

Как было указано во введении, для понимания общего принципа относительности необходимо делать различие между системой координат {х‘} и системой отсчета £. Координатные системы — это чисто математическое сред­ ство описания математических соотношений. Независи­ мость физических величин от выбора координатной системы логически необходима, так как сами координатные системы никакой физики в себе не содержат. Системы отсчета — это физическая реальность: они соответствуют некоторому набору измерительных приборов, служащих для определе­ ния тех или иных физических величин. Простейшая систе­ ма отсчета — набор трех пространственных и одного вре­ менного эталонов. Каждому событию в пространстве — времени Ѵ4 соответствуют в этом случае три пространствен­ ных и один временной отсчеты [6 ].

Математически систему отсчета можно представить как поле 4-векторов h f, которые можно считать ортонормиро­ ванными:

тензор Минковского. (Малые латинские индексы — тензор­ ные, а большие индексы нумеруют векторы; и те и другие изменяются от 0 до 3). Векторы h f являются функциями

пространственных и временной координат.

92

Уравнение (4.1) есть условие совместимости системы отсчета h f с пространством — временем У4, в котором реа­

лизуется метрика g ik. Эйнштейновская группа простран­ ственно-временных преобразований

поля 4-векторов соответствует переходу к некоторой изо­ метрической метрике

вообще говоря, неголономна с объектом неголономности

Общий принцип относительности тогда можно понимать как эквивалентность всех систем отсчета Е, связанных с заданной метрической структурой qik пространства У4.

Геометрические объекты в У4 только тогда будут удов­ летворять этому определению, если они построены из ло- ренц-инвариантньгх комбинаций тетрад (4.1) и их произ­ водных (см. ниже). Все лоренц-инварианты являются тен­ зорами Эйнштейна или величинами, построенными из них.

Измеряемые значения ф у физических величин инва­ риантны относительно выбора системы координат, т. е. они должны быть локальными объектами — пространственновременными скалярами:

93

В соответствии с принципом относительности соотно­ шения между измеряемыми физическими величинами не должны зависеть и от выбора системы отсчета. В частности,

ф -7 всегда равно нулю, если ф -7 = 0 . Отсюда следует, что матрица ф - 7 должна быть ковариантна по отношению к ло- ренц-преобразованиям (4.6), т. е. измеряемая величина ф -7 должна быть тензором Лоренца n-ой валентности:

Из (4.8) и (4.7), совместно с (4.1), следует, что всем из­ меряемым значениям физических величин можно однознач­ но сопоставить мировые лоренц-инвариантные тензоры той же валентности:

аффинные коэффициенты интегрируемого переноса с абсо­ лютным параллелизмом Эйнштейна [1 ], удовлетворяющие тождеству

Дифференциал становится тензором только после добавле­ ния к нему величины

где коэффициенты аффинной связности преобразуются по закону

94

Из величин g ik и их производных можно образовать лишь один тип коэффициентов аффинной связности — трехиндексные коэффициенты (символы) Кристоффеля

Очевидно, что они лоренц-инвариантны. Обычный (коорди­ натно-инвариантный) дифференциал

от лоренц-вектора фА также не является лоренц-тензором

d Ö A = (ю£фв ),, dxi = ( 4 ф в, + со1 /Ф B)d xl. (4.126)

И в этом случае для получения лоренц-ковариантной про­ изводной необходимо ввести комплексирующую лоренц-аф- финную связность

Единственной связностью, которую можно образовать из тетрад и их производных, являются величины*

95

пустимыми общерелятивистскими величинами, так как они

стоффеля |L}, которые, будучи лоренц-скалярами, не яв­ ляются мировыми тензорами.

С помощью лоренцевой аффинной связности (4.13) и правила Лейбница определим лоренц-ковариантную про­ изводную, например, от смешанного лоренц-тензора ф^:

Фвцс = Фвц/ he = Фв.с— Тос Фв + Твс Фо- (4.14)

Для смешанного мирового и лоренцева тензора Фf опреде­

лим обобщенную (лоренц-ковариантную и координатно-ко- вариантную) производную с помощью коэффициентов Риччи и Кристоффеля:

96

является аффинной связностью Эйнштейна абсолютным па­ раллелизмом.

Из (4.1) и (4.17) вытекает взаимно однозначное соответ­ ствие (дуальность) лоренд-ковариантного и координатноковариантного представлений тензорных величин. Напри­ мер, имеет место тождество Эйзенхарта [2]

Таким образом, можно переходить от лоренц-ковариантных производных лоренц-тензоров к координатно-ковариант- ным производным мировых тензоров и наоборот. Оба типа производных взаимно дуальны. Например, лоренц-кова- риантный тензор кривизны тождествен риманову тензору:

Фи вс — Фи св = (Ф;Ы-- ф;/*) hA tie he —

Закон инерции СТО

u\k ик — 0

может быть записан в терминах лоренц-ковариантных ве­ личин

* Для эквивалентности представлений Лоренца и Эйнштейна необходимо, чтобы имела место лемма Вейля h f wl — 0. Отсюда

+ llA hk. I ■

и приводит, таким образом, к уравнению геодезических на некотором римановом пространстве Ѵі .

При выводе этого уравнения существенно требование ко­ вариантности относительно произвольных локальных лоренцевых вращений. Если потребовать ковариантность от­ носительно только постоянных вращений (со* [ — 0), то

уже нет надобности добавлять к обыкновенному дифферен­ циалу

d ФА = ФА dxl

лоренц-аффинную связность

Из (4.21) приходим к координатно-ковариантной произ­ водной

дуальной (4.21). Здесь координатно-аффинная связность равна интегрируемой аффинной связности Эйнштейна Alkh

иперенос тензора в Ѵ4 становится интегрируемым. В этом случае нет никакой аффинной кривизны, а следовательно,

игравитационного действия. Общий принцип относитель­ ности как лоренц-ковариантность соотношений между фи­ зическими величинами включает в себя в качестве частного случая и эйнштейновское толкование этого принципа (коор­ динатная ковариантность физических уравнений, сформу­ лированных в мировом пространстве), а потому также до­ пускает геометризацию гравитационного поля.

Если допустить, что структура Ѵ4 определяется только метрикой g ik и что все физические величины сформулиро­ ваны на языке лоренц-тензоров, то становится возможным инвариантное относительно выбора системы отсчета описа­ ние физических соотношений, т. е. запись уравнений на языке мировых тензоров.

Общий принцип относительности в этом случае можно сформулировать так [6]: основные физические законы мож­ но формулировать в Ѵ4 без привязки их к какой бы то ни было системе отсчета (эйнштейновская формулировка)*.

* См. также введение.

98

Чтобы следующие из основных физических законов со­ отношения между измеряемыми физическими величинами не зависели от координатной системы, они должны быть координатно-ковариантными (принцип ковариантности Эйн­ штейна).

Отсюда следует, что та форма, которую Эйнштейн при­ дал общему принципу относительности, по сути дела явля­ ется дуальным изложением требования лоренц-ковариант- ности [8].

§ 12. СПИНОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Для тензорных полей существуют два эквивалентных (взаимно дуальных) представления, удовлетворяющих об­ щему принципу относительности [6]: 1) лоренц-коварнант- ное представление с использованием координатно-инва­ риантных величин ; 2) координатно-ковариантное

представление с использованием лоренц-инвариантных ве­

Однако эта однозначность нарушается, если вводятся в

теорию спиноры. Введение спинорных величин означает прежде всего замену однозначного тензорного представле­ ния группы Лоренца двузначным унимодулярным пред­ ставлением. При этом тетраде системы отсчета сопоставля­ ются метрические спинтензоры посредством

(4.23)

где а !1Ѵ— постоянные матрицы Паули (греческими буква­ ми будем обозначать спинорные индексы: р,ѵ = 1,2).

Условие ортогональности (4.1) гласит, что

и

99