книги из ГПНТБ / Сытник, В. С. Основы расчета и анализа точности геодезических измерений в строительстве

шаются результаты после уравновешивания. В данном слу­ чае точность возросла в 1,3 раза (на 33%). В том и другом случае средние квадратические ошибки вычислялись по истинным ошибкам.

В процессе статистических испытаний анализировались невязки f'x и fy, полученные из 10 опытов для всех квадратов.

Цель этого анализа — проверка наличия систематических погрешностей, которые могут исказить корреляционные связи между зависимыми элементами сети. Проверку про­ водили методом сравнения дисперсий. Очевидно, при нали­ чии систематических погрешностей невязки в квадратах, связанных общими измеренными элементами (связующими сторонами), будут иметь тенденцию возрастать или убывать. При измерениях систематические ошибки, увеличивающие или уменьшающие невязки в квадратах, могут быть прояв­ лением различных изменяющихся факторов (условий, ин­ струментов, времени наблюдений и др.). При проведении опыта они могут быть следствием самого опыта.

Анализ невязок отдельно по абсциссам и ординатам дает дополнительные сведения относительно источников система­ тических ошибок — угловые или линейные измерения. Для данного случая можно предположить отсутствие системати­ ческих ошибок в невязках, так как угловые ошибки хорошо распределены по нормальному закону и распределение не­ вязок в квадратах также должно подчиняться нормальному закону. Действительно, приращения координат могут рас­ сматриваться как композиция законов распределения. По­ этому достаточно проанализировать эмпирическое распреде­ ление ошибок углов и сторон квадратов, чтобы убедиться в том, что-и их функции (приращения ) также подчиняются закону нормального распределения.

Впрактике мы имеем дело не с истинными ошибками,

ас их результатами — невязками.

Дисперсионный анализ подтверждает существенность различия нескольких дисперсий, принадлежащих одной и той же генеральной совокупности.

В табл. 25 и 26 произведен дисперсионный анализ невя­ зок по однофакторной схеме (фактор — число квадратов).

Там же приняты следующие обозначения: k — число групп (вариантов) вдоль горизонтальной строки; п — число опытов в группах (вдоль вертикальной колонки); N = kn — число всех невязок в совокупности; /Д — невязка в i-й колонке /-й строки; Д — частная средняя; f — общая сред­

няя..

170

Т а б л и ц а 25

Дисперсионный анализ невязок в абсциссах квадратов сети

Вычисления к табл. 25:

F < <Fz < / V

В данном случае дисперсионный анализ проводится для того, чтобы найти систематические ошибки по невязкам в квадратах.

Полученная в табл. 25 и 26 компонента характеризует рассеивание невязок по квадратам (т. е. их систематические разности). Компонента Qz характеризует остаточную слу­ чайную погрешность. Сравнивая дисперсию между квад­ ратами с остаточной случайной дисперсией, видим, насколь­ ко рельефно проявляется влияние систематических ошибок в невязках.

Различие оценок дисперсий как по абсциссам, так и по ординатам несущественно. Следовательно, с вероятностью, не превышающей 0,95, можно утверждать отсутствие систе­ матических погрешностей, увеличивающих невязки в квад­ ратах.

Дисперсионный анализ подтверждает существенность различия дисперсий и на основании этого дает возможность судить о влиянии факторов на результаты. Однако он не позволяет определить степень этого влияния; эту задачу решает корреляционный анализ.

173

Как указывалось, функциональные связи между слу­ чайными величинами в чистом виде не проявляются, но мо­ гут выражаться в стохастической связи. Важной особен­ ностью этой связи является выражение тех изменений, ко­ торые испытывает среднее значение одной величины при из­ менении другой [ух = / (д-)].

Обработка статистических данных для установления корреляционной связи в зависимости от объема может быть более или менее сложной. При больших объемах составляют корреляционную таблицу, в клетки которой вписывают час­ тоту п, указывающую, сколько раз при данных значениях х

сии. На основании этого графика можно определить вероят­ нейшую форму корреляционной связи, найти для нее функ­ циональное выражение в виде формулы.

Задачей корреляционного анализа является также оп­ ределение доверительных границ для вероятнейшего значе­ ния исследуемой величины.

Форма связи может выражаться прямолинейной или криволинейной зависимостью. Кривые чаще всего представ­ ляют параболы второго или третьего порядка. Коэффициен­ ты уравнений

у — ах-\- Ь\

(368)

у = а-\-Ьх-\- схг

обычно находят по способу наименьших квадратов. Принцип нахождения корреляционных зависимостей

для цепи квадратов применен в такой последовательности. По каждому опыту после уравновешивания определены ис­ тинные ошибки ог по формуле

где F (х) — уравновешенные значения функций измеренных

величин;

F(х)— истинные значения функции величин х (вычис­ ленные по неискаженным ошибками значениям х) .

174

Измеренными величинами являются стороны и углы. Исследованию подвергаются абсциссы, ординаты и дирекционные углы (табл. 27—30).

По вычисленным в табл. 27—30 истинным ошибкам оп­ ределены средние квадратические ошибки по каждому квад­ рату с использованием следующих формул:

[ста

j.i2 = v a— v [;

п

(370)

trip = р 2

где vx и v2 — первый и второй начальные моменты;

тр — средняя квадратическая ошибка функции; п — число опытов (/г = 10);

Рг — второй центральный момент.

Указанные формулы обосновываются в теории вероят­ ностей и математической статистике.

По вычисленным значениям тр установили функциональ­ ную зависимость mf = / (п).

Доверительный интервал вычислили по формуле

по закону Стьюдента и выбирается из таблиц [14], [28] по принятой доверительной вероятности и числу степеней свободы k.

Значение t принималось равным 2,26 при k = 9 и дове­ рительной вероятности Р = 0,95.

Средняя квадратическая ошибка самой ошибки вычисле­ на по формуле

где п — число опытов.

Предельные границы ± 2 ms при Р = 0,95.

Расчет доверительных интервалов и предельных границ ошибок проведен в табл. 31.

175

№ опыта N.