Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

книги из ГПНТБ / Вопросы технологии машиностроения и радиотехники [сборник статей]

..pdf
Скачиваний:
8
Добавлен:
19.10.2023
Размер:
6.37 Mб
Скачать

ЖАНДРА. Операция внесения гармонических полиномов в формулы (1) и далее в уравнения Гука очень громоздка. Она несколько упрощается, если строить решения уравнений (2) без Помощи полиномов Лежандра следующим способом. Решения уравнений (2) будет искать в виде

т

<Рол = Ф£п=

2 Г~2й/к(р)

(4)

где

 

*=0

 

 

 

 

 

 

— для четных и-,

 

 

 

 

т = .

 

 

 

 

п—1

п. .

 

 

------ — для нечетных

 

 

2

 

 

 

 

Внося ряд (4) в уравнение (2), находим

 

т

 

 

 

 

+ (п - 26) (n -

26 -

1 К "-2*-2 •/к

 

Отсюда следует

 

 

 

 

4" /о _|

 

1_ dfо

q

(5)

dpa

 

р dp

 

 

 

 

 

 

 

 

( 6)

Решением уравнения (5) является •

/о = л ;+ 5 ; ш р

Внося это решение в рекурентную формулу (6) нетрудно по­ лучить

Фол — Ф?п

Y

(— l)fen!

 

JLJ

(я — 2А)! (ft! )2

 

 

 

 

 

+

(7)

Решения (7) отличаются от гармонических полиномов, по­ лученных А. И. Лурье только формой записи, т. е. тем, что не содержат символических обозначений полиномов Лежандра.

Полиномы (7) следует внести в формулы П. Ф. Папковича (1), в результате чего (после некоторых преобразований) они получают вид I ,

40

 

 

 

 

(— l)fert!

 

fl”{“ 1

 

 

 

 

ИЛ= Ц

{n~2k)\(k\y

М „ ^ ( я + 2)(-^ -Г +1-

 

 

i

nA + l v

\2 )

 

 

 

6=0

 

 

 

 

fe+i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2ft—1

 

 

— B m k\n P

+

T

- *

S 4

 

+

 

 

k+ 1/J

 

 

 

 

 

 

 

*=i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^lnp + T

 

 

-

*

$

 

 

 

_Р_у*-м

 

 

 

t

Й+ 1

 

 

 

 

 

 

 

i=l

 

 

 

 

 

 

 

ai;

 

(— l)fcn!

 

 

( л + 1) ( n + 2 )

 

+ C „(n + 1)(2 (1 — 2(1) —

(и—2А+1)! (Й)2

 

 

', = S

 

 

 

 

 

 

 

fc=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

„ + 24)U» - ^ ( - | - r +

s

2ft— 1)! (ft!)2

+

 

 

 

 

 

 

 

ft= 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ft+l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ D „ - i - ( 4 ( l - p ) - r t + 2 £ ) ( l n p - S - f +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1=1

 

Я+1

 

 

+. k-\- 1/. г - ” - 1 (

 

f )*

(8)

— для нечетных n„

 

 

 

 

 

v =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— для четных щ.

 

 

 

 

 

Между постоянными перемещений (8) и гармонических по­ линомов (7) имеют место следующие соотношения

АП~ Лг+2> Вп= Вп, Сп = Cn+V Dn= Dn_ x

Внесение перемещений (8)

в уравнения Гука (преобразо­

вания вновь опущены) приводит к следующим

формулам для

вычисления напряжений.

 

1

 

а

= 2G V

.— (~ 1)&п1

(га + 2) (2k +

1) Ш 2*— .

рп

Аа

2(п—2ft)!(ft!)2 \

nf t + lV

V .

\2 )

 

k—o

 

 

 

ft-hl

 

 

 

 

 

B n [ k ( 2 k — l ) l n p + ^ - ( 4 £ — l) — k ( 2 k — l) ^ - J —

 

 

 

 

 

t=l

 

 

 

2ft +

1 (n — 2k) +

 

 

 

ft +

1

 

 

 

 

 

 

41

I

+ 4fA] ( i -Г _D n "г [ т - ((2й~

1)(n~

2k) +

+ 4&ц) In p +

1

 

 

 

 

£2

(n2k) (4k— 1) +

2&|x-----— (4p +

 

 

ft+i

 

 

P ^2(ft

1)| —'2k'

+ ( 2 А - 1 ) ( л - 2 А ) ( £ у

 

ft+1

 

 

 

 

 

i=i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<те, - 2 о У .

(-

1)t"'

к

" + 1

 

p_\2ft

 

 

0П

0 In

0 Ь\\ Г -

\

nft+l

 

2

k=0

2(n — 2А)! (ftl)a

 

в“[И п р + т - 4( ^ т - ^

p

\2{ft—1)

 

+

—26

1=1

 

 

 

 

p

\2*

 

 

 

+ c,

 

 

 

 

 

 

*<n+1>(it + I + ^ Ш " - в* т [ ( т < * - “ >+

+ 2£2p) Inp + -j- (n — 2A) + 2£p-----—(4k2p +

ft+1

+ k(n 2k) ^ -|-

ft+ 1

\'=i

(-!)*•»

■ {-(П + 1 )(П + 2 ) Л „ -

^ = 2° S i ^ r

(n—2ft)! (ft!)

 

fe= 0

ft+i

 

- Ba(n ~ 2 k - 1) (n -2 k ) ( l n p - £ ± + - J _ ) Г 2 +

 

1=1

+ Cn(n + 1) [2 (1 — p) — n + 2k] — Dn^ = ^ (n 2k— l)x

 

 

Л+1

П

 

 

 

 

 

n -1 k (

p \2fe

X [ 2 ( l - | * b n + 2 * ] [ - l n p + S

-j-------^ ) } E '

_ G y

2 ( - l ) * n l

(n— 2fe) l л

Я + 1

 

-

I—

 

v - ± i („ + 2 ) ( f r

( n — 2ft)! (ft!)*

 

 

 

fc= 0

 

frfl

 

 

 

 

 

 

 

 

Bn[klnp + Y ~

k ( 2 y

■ г г Ж

Г

 

 

 

1=1

 

Cn

[:2 ( l—i*)- я+2£] ( f ) 2Й+1+. Д, j - [2 (1 - (x) - n+26] x

fe+1

£=1

Полагая в выражениях (9) п— 1, 2, 3, ... получаем последо­ вательность пцлиномиальных решений. При п = 0 следуют эле­ ментарные решения

°ро = -^о “Ь В0— ; о0О= А0

5 0— ; <*£ = С0

(10)

г

г

 

Пусть на боковой поверхности цилиндра заданы напряже­ ния, разлагаемые в степенные ряды

a plp=i =

2

Р] Q

T6g|p=i =

2

9j t/t

 

1

 

 

N

О 1)

а р|р=а =

2

Pj ^

Tpdp=o=

2

4j 9i £/

 

1

 

 

1

 

a < 1

Для осуществления этих условий, напряжения определим так:

N N ■ \

° Р=

ао = £

аеп + Ао - Во ^

 

1

 

N

N

 

ТЕ — 2 °1п>

Тр£ — 2

Тр

1

1

 

Внося сюда значения напряжений (9) и требуя выполнения условий (11), получаем систему линейных алгебраических урав­ нений для определения постоянных Ап, Вп, Сп, Dn

fe= 0

+

 

£=1

+ < W “ + »

+ М т Г - ^ й Т 7х

х [2 ^ + Х ( « + 1 ) - ^ ( 4 ц+ / ( 2 * - 1 ) ) ( 2 | - ^ Щ ) ЭД- ,’}=

2G Pi

43

2 2 (- l ) ft(2k +

j ) j

 

 

 

 

 

 

k—0

/! (Й!)2

{ W

^

(

2* + ''+ 2>( т Н ‘-

 

ft+1

 

 

 

 

 

 

 

1

\2fe 1_L Q

2А+/ “h 1

 

 

 

k~\“1/

X

 

 

2 )

^

4k+l

(fe+1

 

 

 

1=1

 

 

 

 

ft+i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X ( 2 j i + / — 2 ) ( - )

+DJS+,

[2(1

I1)

/I у

— ,г(И

у —

 

Ь)](тП-т^

<13

 

k+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2ft

• S (~ ? Л $ п< К * W T (“ + ;+ •> <“ +/ + 2) (t

 

ft=0*

 

 

 

 

A+l

 

 

 

 

 

 

 

- B2ft+. ^

(2 k -1) In a +

-i- (4 6 + 1 ) - k(2k — 1)| j у

-

i b ) ] ( f r ’ + < W ^ + » (/

(t f -

— D2ft+y ^

[ - f (/ (2* -

1) +

«

Ina+26p +

(4ft -

1) -

 

ft+i

_

i )] ( f r -i>} = iL p-

_ ^ № + A 2 , _ 1))(g

i

fe=0

- ^ [ № “ Н - Ч 2 т - г т т ) ] ( т Г + f=l

+c^/2^<2i‘+''-2>(iH‘+D»+/5^

*

 

ft+1

a \ 2 ft -ii

i ,

X |kina

+.-^-----

k+ 1/J V 2

~n qi-1

 

i=l

 

 

 

Если N — четное число, то вер'хний предел

алгебраической

суммы s определяется так

 

 

N - i

— для четных ]

 

 

s =

 

 

 

N — / — 1 —для нечетных /

 

 

44

Если N нечетно, то

s =

— для нечетных ]

Выражения (9) либо четны, либо нечетны относительно £. Поэтому система (.13) распадается на две независимые систе­ мы. одна из которых соответствует четным, а другая нечетным значениям £. При j= N система (13) превращается в независймую систему четырех уравнений относительно AN, BN, CN, DN. Найденные значения. этих постоянных войдут в следующую четверку уравнений, содержащих неизвестные Ллг_2, BN_2, CN- 2, DN- 2 и т. д. То же самое имеем при }= N — 1, N—3, ..., и т. д. Другими словами, система (13) содержит две последовательно­ сти систем четырех уравнений относительно произвольных по­ стоянных. Одна из последовательностей соответствует четным, другая — нечетным значениям. К четной последовательности следует добавить два уравнения, получаемых из системы (13) при / = Ос добавлением к ним постоянных Ло и В0 решения (10)

+ 4|1(2А + l ) ( y f c 2* -

Ч-------А0Ч- — Вп — Рп\

( Н )

2G . 0 2G 0 2G 0

 

Лft+1I"X

 

ъ

- k(2k - 1) ( 2 J - -

— j ) + k ( 2 k -

a \2(ft-i)

1) In a] ( f - ) 2(ft-i +

£=±1

 

 

+ Cm 4p (2k +

1) ( - у )2*—Да* 4Ац Ina + 2ji —

l

4S

Каждая система

четырех

уравнений имеет следующий вид:

А (/’ + О О + 2) + 2В{

+

С. (/ + 1) (/ -f 4р.) — 2D;. =

р'. — /4*

 

A, U + 1) (/ +

2) +

 

В. +

С,. (/ + 1) (/ +

4р) +

 

 

 

 

 

+ — D. = —

р ] - в :

 

 

 

 

 

 

 

 

а„ъа

'1

2oGr . f

i

 

 

 

 

Л/ • /(/+ !) (/ + 2) -

2}Bj + Cj j (/ + 1) (/ -

2 + 2р) +

 

 

 

+ 2D. [2 (i — р) —

 

 

1 <7;_j — с ; ,

 

(15)

 

А - •/ (/ +

1) (/ +

2)

 

2 /5 /-----f- С/ / (/ — 2 + 2р) (/ + 1) +

 

+

2D( X [ 2 ( I - 2 (,) - f l

=

J - ( i - ?;_1-D ;)

 

 

6=1

 

 

 

 

 

 

 

6+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

\2(fc—1)

-

Blt+ l [ j - (4k

l) -

* ( 2 k - 1, ( Б-Г - t t t )

+

+

 

+«WP* +H-D(/a±f +^ )(i)“ -

 

 

D

 

 

 

26p + +

(4 6 .-1 ) - ^ - ( 4 p -

 

 

 

 

2 k+j 2A -j- / .

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ft+i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- / ( 2 6 - 1 ) ) 2 - -

т Ы

К т Г

’ Ь

 

 

 

 

 

 

 

i=i

 

 

 

Bl

‘ S

 

 

 

+

 

(2* + /

+

1) (2k + / +

2) (-§•)” -

 

г

 

1) In a +

 

 

 

 

 

 

fe+1

 

^26+/ |6 (26

— (46 — 1) — 6 (26 — 1) ^ ^

-----

6+ 1

 

 

,+

C!i+ ((2S +

/ + I) ( / f ± f

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

—Д,

 

[Y (/ (26 +

D +

46p) Ina +

26p+

 

 

+ + / —

 

+ i (4k - I> - ^

 

 

 

 

 

k+i

 

 

 

 

+ H 2k + W ( E i - ^ T ) J ( f f ^ j ,

46

г * c i ~

~~B2k+i

^

2 (-- 1)*(2к +

1)4

 

 

 

L

Ц(й)«

 

 

 

 

fe=0 .

 

 

 

 

■ 1

ft+i

 

 

 

 

 

4 - г -

'

+ C w ^ ± f ± i ( 2 , +

2

‘ ( S t

- k+1 )} \ 2 }

■**-*-'

k + 1

 

' £=1

 

 

 

 

+ / - 2 ) ( ± p + D w i ^ [ 2 ( . - r t - f l [ i -

 

 

ft-1

 

 

 

 

-* S£=1-r A+ 1 \ 2 /

 

Г

 

Щ

 

 

 

 

 

N

w

-

^ p * + / + 2>( f Г

-

i=l

 

 

 

 

 

 

 

fc-f-l

 

 

 

 

B,

£lna +

 

 

-----

 

r_a_\2fe—1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

* + 1

;j \ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t = i .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ C ^ ™ ± i ± L ( 2, +

'

/ _ 2 ) ( 4

Г +1 + Д

/ н Т [2(Д

^

'

' “ +/

A +

l

 

 

^ 4

2 j

 

1 ^ +

"

- 4 * 1" ‘ + | - ^ £=1т - 1г т ) ] ( т Г Т

 

Очевидно,

система

 

(15)

содержит две независимые системы:

/),.(/+ 2) + С ,( / - 2 +

 

ад

-

 

 

( .+ —

[ i -

Ч - . ) -

-С,‘ + ' Г ]

А, (! + 2) + С, (/ + 4р) =

---------(I _ fl2)------------(/ !)

Г ' 1 71 / у

- л ;

+ а * в ;], .

 

s - + z,/ = - ^

r b

r [ i - W - ' ’; ) +

^ - ^

(«о

/в , -

Е2 о -

я -

[ i -

- - г ^ -> ) ~

 

 

- с ; + т ° ; ]

■ ■

 

Итак,

задача построения условий (11) на боковой поверхно­

сти цилиндра приведена к

алгебраическим

системам

второго

*47

порядка (14) и (16). Всего имеем 2A/’+ l .систем, содержащих 47V+2 постоянных. Все произвольные постоянные, содержащи­ еся в решениях (12) использованы для удовлетворения услови­ ям (11). Условиям на основаниях удовлетворить невозможно. Следовательно, полиноминальные решения (9) позволяют рас­ сматривать только достаточно длинные цилиндры, условия на основания которых можно выполнять в смысле принципа СенВенана.

В книге (2) рассмотрено построение полиномиальных реше­ ний уравнения (3). Перемещения и напряжения, вычисленные с помощью этих решений не отличаются от перемещений (8) и напряжений (9) и поэтому в этой статье'не использованы.

 

- ЛИТЕРАТУРА

1.

Л у р ь е А. И. Пространственные задачи теории упругости, г'остех-

теориздат, Москва, 1955 г.

2.

Теория упругости, «Наука», Москва, 1970 г.

РОМАНОВИЧ Г. П-л коськин в. н.

К ДИНАМИЧЕСКОМУ РАСЧЕТУ ДВУХМАССОВОЙ СИСТЕМЫ С НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОЙ МУФТОЙ

 

 

Предложен способ

исследования двухш ссовы х си­

 

 

стем с упругими нелинейными муфтами с учетом дейст­

 

 

вительных характеристик муфт, которые должны быть

 

 

получены экспериментально, Исследуются две задачи:

 

 

1/определение скоростей и ускорений в двухмассо­

 

 

вой динамической системе с упругой нелинейной муф­

 

 

той, а также определение наибольшего момента, нагру­

 

 

жающего муфту;

 

 

 

 

2/построение по заданным моментам сил сопротив­

 

 

ления w сил движущих, а также по коэффициенту Не­

. ,

,

равномерности хода машины требуемой характеристики

упругой муфты. Иллюстраций 5. Библиографий 3.

При исследовании предполагаются заданными графически

моменты сил

движущих и сил сопротивления в зависимости от

угла поворота, скорости, времени, т. е. A4C= M C(<p, <p, t)

и M g =

= M g{<\р,

ф, ^.Характеристика муфт

предполагается

нелиней­

ной, но недемпфирующей, т. е. нагрузочная и разгрузочная вет­ ви характеристики должны совпадать друг с другом (рис. 1). Момент,, передаваемый муфтой, предполагается зависящим только от относйтельного угла закручивания обеих полумуфт.

•$3

.

К этому типу муфт можно прежде всего отнести муфты с ме­ таллическими упругими элементами, такие, например, как муф­ ты типа '-Бибби, со стальными стержнями, с пружинами и т. д, К этому же типу можно отнести и некоторые упругие муфты с резиновыми элементами, где петля гистерезиса относительно невелика. В этом случае для расчетов следует брать среднюю кривую между нагрузочной и разгрузочной ветвями. Однако,

применять предлагаемый способ ■расчета для муфт с неметал­ лическими упругими элементами следует с осторожностью, т. к. момент, передаваемый такими муфтами, может существенно за­ висеть от скорости деформации упругих элементов.

Рассматриваемая система представляет собой двухмассовую колебательную систему (рис. 2). Моменты инерции 1\ и h счи­ таются известными. В общем случае они являются функциями углов поворота ведущего и ведомого валов и могут быть пред­ ставлены графически.

Движение машины начнем исследовать с момента ^ = 0 .'Всё движение машины можно разбить на 3 периода (рис. 3):

1) двигается только левая часть системы до тех пор, пока момент в упругой муфте не достигнет'значения, равного момен­ ту сопротивления; >

2)начинается разгон ведомой части машины. Разгон про­ должается до тех пор, пока изменения скорости ведомого вала не станут периодическими;

3)периодическое (установившееся) движение обеих частей машины.

4—1233

49

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ