книги из ГПНТБ / Вопросы технологии машиностроения и радиотехники [сборник статей]
..pdfЖАНДРА. Операция внесения гармонических полиномов в формулы (1) и далее в уравнения Гука очень громоздка. Она несколько упрощается, если строить решения уравнений (2) без Помощи полиномов Лежандра следующим способом. Решения уравнений (2) будет искать в виде
т
<Рол = Ф£п= |
2 Г~2й/к(р) |
(4) |
||
где |
|
*=0 |
|
|
|
|
|
|
|
— для четных и-, |
|
|
|
|
т = . |
|
|
|
|
п—1 |
п. . |
|
|
|
------ — для нечетных |
|
|
||
2 |
|
|
|
|
Внося ряд (4) в уравнение (2), находим |
|
|||
т |
|
|
|
|
+ (п - 26) (n - |
26 - |
1 К "-2*-2 •/к |
|
|
Отсюда следует |
|
|
|
|
4" /о _| |
|
1_ dfо |
q |
(5) |
dpa |
|
р dp |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
( 6) |
Решением уравнения (5) является •
/о = л ;+ 5 ; ш р
Внося это решение в рекурентную формулу (6) нетрудно по лучить
Фол — Ф?п |
Y |
(— l)fen! |
|
JLJ |
(я — 2А)! (ft! )2 |
|
|
|
|
||
|
|
+ |
(7) |
Решения (7) отличаются от гармонических полиномов, по лученных А. И. Лурье только формой записи, т. е. тем, что не содержат символических обозначений полиномов Лежандра.
Полиномы (7) следует внести в формулы П. Ф. Папковича (1), в результате чего (после некоторых преобразований) они получают вид I ,
40
|
|
|
|
(— l)fert! |
|
fl”{“ 1 |
|
|
|
||
|
ИЛ= Ц |
{n~2k)\(k\y |
М „ ^ ( я + 2)(-^ -Г +1- |
|
|||||||
|
i |
nA + l v |
\2 ) |
|
|||||||
|
|
6=0 |
|
|
|
|
fe+i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2ft—1 |
|
||
|
— B m k\n P |
+ |
T |
- * |
S 4 |
|
+ |
||||
|
|
k+ 1/J |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
*=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^lnp + T |
“ |
|
|
- |
* |
$ |
|
|
|
_Р_у*-м |
|
||
|
|
t |
Й+ 1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
i=l |
|
|
|
|
|
|
|
ai; |
|
(— l)fcn! |
|
|
( л + 1) ( n + 2 ) |
|
+ C „(n + 1)(2 (1 — 2(1) — |
||||
(и—2А+1)! (Й)2 |
|
|
|||||||||
', = S |
|
|
|
|
|
|
|
||||
fc=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
„ + 24)U» - ^ ( - | - r + |
s |
— |
2ft— 1)! (ft!)2 |
+ |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
ft= 0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
ft+l |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ D „ - i - ( 4 ( l - p ) - r t + 2 £ ) ( l n p - S - f + |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1=1 |
|
Я+1 |
|
|
+. k-\- 1/. г - ” - 1 ( |
|
f )* |
(8) |
|||||
— для нечетных n„ |
|
|
|
|
|
||||||
v = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— |
— для четных щ. |
|
|
|
|
|
||||
Между постоянными перемещений (8) и гармонических по линомов (7) имеют место следующие соотношения
АП~ Лг+2> Вп= Вп, Сп = Cn+V Dn= Dn_ x
Внесение перемещений (8) |
в уравнения Гука (преобразо |
||||
вания вновь опущены) приводит к следующим |
формулам для |
||||
вычисления напряжений. |
|
1 |
|
||
а |
= 2G V |
.— (~ 1)&п1 |
(га + 2) (2k + |
1) Ш 2*— . |
|
рп |
Аа |
2(п—2ft)!(ft!)2 \ |
nf t + lV |
V . |
\2 ) |
|
k—o |
|
|
|
ft-hl |
|
|
|
|
|
|
— B n [ k ( 2 k — l ) l n p + ^ - ( 4 £ — l) — k ( 2 k — l) ^ - J — |
|||||
|
|
|
|
|
t=l |
|
|
|
2ft + |
1 (n — 2k) + |
|
|
|
|
ft + |
1 |
|
|
|
|
|
|
41 |
I
+ 4fA] ( i -Г _D n "г [ т - ((2й~ |
1)(n~ |
2k) + |
||||
+ 4&ц) In p + |
1 |
|
|
|
|
£2 |
— (n— 2k) (4k— 1) + |
2&|x-----— (4p + |
|||||
|
|
ft+i |
|
|
P ^2(ft |
1)| —'2k' |
+ ( 2 А - 1 ) ( л - 2 А ) ( £ у |
|
ft+1 |
||||
|
|
|
||||
|
|
i=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<те, - 2 о У . |
(- |
1)t"' |
к |
" + 1 |
|
p_\2ft |
|
|
|||||
0П |
0 In |
0 Ь\\ Г - |
\ |
nft+l |
|
2 |
k=0 |
2(n — 2А)! (ftl)a |
|
||||
в“[И п р + т - 4( ^ т - ^ |
p |
\2{ft—1) |
||||
|
+ |
|||||
—26 |
1=1 |
|
|
|
|
|
p |
\2* |
|
|
|
||
+ c, |
|
|
|
|
|
|
*<n+1>(it + I + ^ Ш " - в* т [ ( т < * - “ >+
+ 2£2p) Inp + -j- (n — 2A) + 2£p-----—(4k2p +
ft+1
+ k(n — 2k) ^ -|-
ft+ 1
\'=i
(-!)*•» |
■ {-(П + 1 )(П + 2 ) Л „ - |
^ = 2° S i ^ r |
|
(n—2ft)! (ft!) |
|
fe= 0 |
ft+i |
|
|
- Ba(n ~ 2 k - 1) (n -2 k ) ( l n p - £ ± + - J _ ) Г 2 + |
|
|
1=1 |
+ Cn(n + 1) [2 (1 — p) — n + 2k] — Dn^ = ^ (n — 2k— l)x |
|||||
|
|
Л+1 |
П |
|
|
|
|
|
n -1 k ( |
p \2fe |
|
X [ 2 ( l - | * b n + 2 * ] [ - l n p + S |
-j-------^ ) } E ' |
||||
_ G y |
2 ( - l ) * n l |
(n— 2fe) l л |
Я + 1 |
|
- |
I— |
|
v - ± i („ + 2 ) ( f r |
|||
( n — 2ft)! (ft!)* |
|
|
|
||
fc= 0 |
|
frfl |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— Bn[klnp + Y ~ |
k ( 2 y |
■ г г Ж |
Г |
|
|
|
|
1=1 |
|
||
Cn |
[:2 ( l—i*)- я+2£] ( f ) 2Й+1+. Д, j - [2 (1 - (x) - n+26] x |
fe+1
£=1
Полагая в выражениях (9) п— 1, 2, 3, ... получаем последо вательность пцлиномиальных решений. При п = 0 следуют эле ментарные решения
°ро = -^о “Ь В0— ; о0О= А0 |
5 0— ; <*£ = С0 |
(10) |
г |
г |
|
Пусть на боковой поверхности цилиндра заданы напряже ния, разлагаемые в степенные ряды
a plp=i = |
2 |
Р] Q |
T6g|p=i = |
2 |
9j t/t |
|
1 |
|
|
N |
О 1) |
а р|р=а = |
2 |
Pj ^ |
Tpdp=o= |
2 |
4j 9i £/ |
|
1 |
|
|
1 |
|
a < 1
Для осуществления этих условий, напряжения определим так:
N N ■ \
° Р= |
ао = £ |
аеп + Ао - Во ^ |
|
1 |
|
N |
N |
|
ТЕ — 2 °1п> |
Тр£ — 2 |
Тр |
1 |
1 |
|
Внося сюда значения напряжений (9) и требуя выполнения условий (11), получаем систему линейных алгебраических урав нений для определения постоянных Ап, Вп, Сп, Dn
fe= 0
+
|
£=1 |
+ < W “ + » |
+ М т Г - ^ й Т 7х |
х [2 ^ + Х ( « + 1 ) - ^ ( 4 ц+ / ( 2 * - 1 ) ) ( 2 | - ^ Щ ) ЭД- ,’}=
2G Pi
43
2 2 (- l ) ft(2k + |
j ) j |
|
|
|
|
|
|
|
k—0 |
/! (Й!)2 |
{ W |
^ |
( |
2* + ''+ 2>( т Н ‘- |
|
||
ft+1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
\2fe 1_L Q |
2А+/ “h 1 |
|
||||
|
|
k~\“1/ |
X |
|||||
|
|
2 ) |
^ |
4k+l |
(fe+1 |
|
||
|
|
1=1 |
|
|
|
|
ft+i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X ( 2 j i + / — 2 ) ( - ) |
+DJS+, |
[2(1 |
I1) |
/I у |
— ,г(И |
у — |
||
|
Ь)](тП-т^ |
• |
<13 |
|||
|
k+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2ft |
• S (~ ? Л $ п< К * W T (“ + ;+ •> <“ +/ + 2) (t |
|
|||||
ft=0* |
|
|
|
|
A+l |
|
|
|
|
|
|
|
|
- B2ft+. ^ |
(2 k -1) In a + |
-i- (4 6 + 1 ) - k(2k — 1)| j у |
- |
|||
i b ) ] ( f r ’ + < W ^ + » (/ |
(t f - |
|||||
— D2ft+y ^ |
[ - f (/ (2* - |
1) + |
« |
Ina+26p + |
(4ft - |
1) - |
|
ft+i |
_ |
i )] ( f r -i>} = iL p- |
|||
_ ^ № + A 2 , _ 1))(g |
i |
|||||
fe=0
- ^ [ № “ Н - Ч 2 т - г т т ) ] ( т Г + f=l
+c^/2^<2i‘+''-2>(iH‘+D»+/5^ |
* |
|||
|
ft+1 |
a \ 2 ft -ii |
i , |
|
X |kina |
+.-^----- |
|||
k+ 1/J V 2 |
“ ~n qi-1 |
|||
|
i=l |
|||
|
|
|
||
Если N — четное число, то вер'хний предел |
алгебраической |
|||
суммы s определяется так |
|
|
||
N - i |
— для четных ] |
|
|
|
s = |
|
|
|
|
N — / — 1 —для нечетных / |
|
|
||
44
Если N нечетно, то
s =
— для нечетных ]
Выражения (9) либо четны, либо нечетны относительно £. Поэтому система (.13) распадается на две независимые систе мы. одна из которых соответствует четным, а другая нечетным значениям £. При j= N система (13) превращается в независймую систему четырех уравнений относительно AN, BN, CN, DN. Найденные значения. этих постоянных войдут в следующую четверку уравнений, содержащих неизвестные Ллг_2, BN_2, CN- 2, DN- 2 и т. д. То же самое имеем при }= N — 1, N—3, ..., и т. д. Другими словами, система (13) содержит две последовательно сти систем четырех уравнений относительно произвольных по стоянных. Одна из последовательностей соответствует четным, другая — нечетным значениям. К четной последовательности следует добавить два уравнения, получаемых из системы (13) при / = Ос добавлением к ним постоянных Ло и В0 решения (10)
+ 4|1(2А + l ) ( y f c 2* -
Ч-------А0Ч- — Вп — — Рп\ |
( Н ) |
2G . 0 2G 0 2G 0 |
|
Лft+1I"X |
|
ъ |
- k(2k - 1) ( 2 J - - |
— j ) + k ( 2 k - |
a \2(ft-i) |
1) In a] ( f - ) 2(ft-i + |
||
£=±1 |
|
|
+ Cm 4p (2k + |
1) ( - у )2*—Да* 4Ац Ina + 2ji — |
|
l
4S
Каждая система |
четырех |
уравнений имеет следующий вид: |
|||||||||||||
А (/’ + О О + 2) + 2В{ |
+ |
С. (/ + 1) (/ -f 4р.) — 2D;. = |
р'. — /4* |
||||||||||||
|
A, U + 1) (/ + |
2) + |
|
В. + |
С,. (/ + 1) (/ + |
4р) + |
|
||||||||
|
|
|
|
+ — D. = — |
р ] - в : |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
а„ъа |
'1 |
2oGr . f |
i |
|
|
|
||||
|
Л/ • /(/+ !) (/ + 2) - |
2}Bj + Cj j (/ + 1) (/ - |
2 + 2р) + |
||||||||||||
|
|
|
+ 2D. [2 (i — р) — |
|
|
1 <7;_j — с ; , |
|
(15) |
|||||||
|
А - •/ (/ + |
1) (/ + |
2) |
|
2 /5 /-----f- С/ / (/ — 2 + 2р) (/ + 1) + |
||||||||||
|
+ |
2D( X [ 2 ( I - 2 (,) - f l |
= |
J - ( i - ?;_1-D ;) |
|
||||||||||
|
6=1 |
|
|
|
|
|
|
|
6+1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
\2(fc—1) |
|||
- |
Blt+ l [ j - (4k |
l) - |
* ( 2 k - 1, ( Б-Г - t t t ) |
||||||||||||
+ |
+ |
||||||||||||||
|
+«WP* +H-D(/a±f +^ )(i)“ - |
|
|||||||||||||
|
— D |
|
|
|
26p + + |
(4 6 .-1 ) - ^ - ( 4 p - |
|
||||||||
|
|
|
2 k+j 2A -j- / . |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
ft+i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- / ( 2 6 - 1 ) ) 2 - - |
т Ы |
К т Г |
’ Ь |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
i=i |
|
|
|
||||||
Bl |
‘ S |
|
|
|
+ |
„ |
|
(2* + / |
+ |
1) (2k + / + |
2) (-§•)” - |
||||
|
г |
|
1) In a + |
|
|
|
|
|
|
fe+1 |
|||||
|
^26+/ |6 (26 |
— (46 — 1) — 6 (26 — 1) ^ ^ |
----- |
||||||||||||
6+ 1 |
|
|
,+ |
C!i+ ((2S + |
/ + I) ( / f ± f |
+ |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
—Д, |
|
[Y (/ (26 + |
D + |
46p) Ina + |
26p+ |
|||||||||
|
|
+ + / — |
|
||||||||||||
+ i (4k - I> - ^ |
|
|
|
|
|
k+i |
|
|
|
|
|||||
+ H 2k + W ( E i - ^ T ) J ( f f ^ j , |
|||||||||||||||
46
г * c i ~
~~B2k+i
^ |
2 (-- 1)*(2к + |
1)4 |
|
|
|
|
L |
Ц(й)« |
|
|
|
|
|
fe=0 . |
|
|
|
|
||
■ 1 |
ft+i |
|
|
|
|
|
|
4 - г - |
' |
+ C w ^ ± f ± i ( 2 , + |
|||
2 |
‘ ( S t |
|||||
- k+1 )} \ 2 } |
■**-*-' |
k + 1 |
||||
|
' £=1 |
|
|
|
|
|
+ / - 2 ) ( ± p + D w i ^ [ 2 ( . - r t - f l [ i - |
||||||
|
|
ft-1 |
|
|
|
|
|
-* S£=1-r A+ 1 \ 2 / |
|
Г |
|
||
Щ |
|
|
|
|
|
N |
w |
- |
^ p * + / + 2>( f Г |
- |
|||
i=l |
|
|
|
|
|
|
|
fc-f-l |
|
|
|
|
|
— B, |
£lna + |
|
|
----- |
|
r_a_\2fe—1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
* + 1 |
;j \ 2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t = i . |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
+ C ^ ™ ± i ± L ( 2, + |
' |
/ _ 2 ) ( 4 |
Г +1 + Д |
/ н Т [2(Д |
^ |
' |
|||||||
' “ +/ |
A + |
l |
‘ |
|
|
^ 4 |
2 j |
|
1 ^ + |
||||
" |
- 4 * 1" ‘ + | - ^ £=1т - 1г т ) ] ( т Г Т |
|
■ |
||||||||||
Очевидно, |
система |
|
(15) |
содержит две независимые системы: |
|||||||||
/),.(/+ 2) + С ,( / - 2 + |
|
ад |
- |
|
|
( .+ — |
[ i - |
Ч - . ) - |
|||||
-С,‘ + ' Г ]
А, (! + 2) + С, (/ + 4р) = |
---------(I _ fl2)------------(/ !) |
Г ' 1 71 / у |
|
- л ; |
+ а * в ;], . |
|
s - + z,/ = - ^ |
r b |
r [ i - W - ' ’; ) + |
^ - ^ |
(«о |
/в , - |
Е2 о - |
я - |
[ i - |
- - г ^ -> ) ~ |
|
|
|
- с ; + т ° ; ] |
■ ■ |
|
|
Итак, |
задача построения условий (11) на боковой поверхно |
||||
сти цилиндра приведена к |
алгебраическим |
системам |
второго |
||
*47
порядка (14) и (16). Всего имеем 2A/’+ l .систем, содержащих 47V+2 постоянных. Все произвольные постоянные, содержащи еся в решениях (12) использованы для удовлетворения услови ям (11). Условиям на основаниях удовлетворить невозможно. Следовательно, полиноминальные решения (9) позволяют рас сматривать только достаточно длинные цилиндры, условия на основания которых можно выполнять в смысле принципа СенВенана.
В книге (2) рассмотрено построение полиномиальных реше ний уравнения (3). Перемещения и напряжения, вычисленные с помощью этих решений не отличаются от перемещений (8) и напряжений (9) и поэтому в этой статье'не использованы.
|
- ЛИТЕРАТУРА |
1. |
Л у р ь е А. И. Пространственные задачи теории упругости, г'остех- |
теориздат, Москва, 1955 г. |
|
2. |
Теория упругости, «Наука», Москва, 1970 г. |
РОМАНОВИЧ Г. П-л коськин в. н.
К ДИНАМИЧЕСКОМУ РАСЧЕТУ ДВУХМАССОВОЙ СИСТЕМЫ С НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОЙ МУФТОЙ
|
|
Предложен способ |
исследования двухш ссовы х си |
|
|
|
стем с упругими нелинейными муфтами с учетом дейст |
||
|
|
вительных характеристик муфт, которые должны быть |
||
|
|
получены экспериментально, Исследуются две задачи: |
||
|
|
1/определение скоростей и ускорений в двухмассо |
||
|
|
вой динамической системе с упругой нелинейной муф |
||
|
|
той, а также определение наибольшего момента, нагру |
||
|
|
жающего муфту; |
|
|
|
|
2/построение по заданным моментам сил сопротив |
||
|
|
ления w сил движущих, а также по коэффициенту Не |
||
. , |
, |
равномерности хода машины требуемой характеристики |
||
упругой муфты. Иллюстраций 5. Библиографий 3. |
||||
При исследовании предполагаются заданными графически |
||||
моменты сил |
движущих и сил сопротивления в зависимости от |
|||
угла поворота, скорости, времени, т. е. A4C= M C(<p, <p, t) |
и M g = |
|||
= M g{<\р, |
ф, ^.Характеристика муфт |
предполагается |
нелиней |
|
ной, но недемпфирующей, т. е. нагрузочная и разгрузочная вет ви характеристики должны совпадать друг с другом (рис. 1). Момент,, передаваемый муфтой, предполагается зависящим только от относйтельного угла закручивания обеих полумуфт.
•$3 |
. |
К этому типу муфт можно прежде всего отнести муфты с ме таллическими упругими элементами, такие, например, как муф ты типа '-Бибби, со стальными стержнями, с пружинами и т. д, К этому же типу можно отнести и некоторые упругие муфты с резиновыми элементами, где петля гистерезиса относительно невелика. В этом случае для расчетов следует брать среднюю кривую между нагрузочной и разгрузочной ветвями. Однако,
применять предлагаемый способ ■расчета для муфт с неметал лическими упругими элементами следует с осторожностью, т. к. момент, передаваемый такими муфтами, может существенно за висеть от скорости деформации упругих элементов.
Рассматриваемая система представляет собой двухмассовую колебательную систему (рис. 2). Моменты инерции 1\ и h счи таются известными. В общем случае они являются функциями углов поворота ведущего и ведомого валов и могут быть пред ставлены графически.
Движение машины начнем исследовать с момента ^ = 0 .'Всё движение машины можно разбить на 3 периода (рис. 3):
1) двигается только левая часть системы до тех пор, пока момент в упругой муфте не достигнет'значения, равного момен ту сопротивления; >
2)начинается разгон ведомой части машины. Разгон про должается до тех пор, пока изменения скорости ведомого вала не станут периодическими;
3)периодическое (установившееся) движение обеих частей машины.
4—1233 |
49 |