книги из ГПНТБ / Разумов, О. С. Пространственная геодезическая векторная сеть

с весом

где

Решая эти уравнения, по методу наименьших квадратов отыски­ вают поправки к приближенным координатам искомых точек и получают необходимые данные для оценки точности их положения. Если при построении сети был известен тензор ошибок совокуп­ ного положения исходных пунктов М[)СХ, то итоговый тензор оши­

бок исходных и определяемых точек определяется, в соответствии с исследованиями В. Коугия [33], как блочная матрица

(1.167)

где Г — ~ Q A TP<P.

Расчет по схеме (1.167) может быть выполнен как при одно­ временной вставке нескольких пунктов, так и при последователь­ ном определении пунктов.

Трудноразрешимая проблема космической трилатерации со­ стоит в обработке необычайно большого числа измерений. Напри­ мер, использование системы «Секор» для построения многократ­ ной пространственной засечки может привести к необходимости обработки нескольких тысяч [94] измеренных за короткий проме­ жуток времени расстояний, пока спутник находился в пределах видимости с четырех точек земной поверхности.

При решении этой проблемы нужно, по-видимому, помнить о том, что если результаты измерений отягчены систематическими ошибками или получены с некоторой неопределенностью А, то стремление получить за счет закона больших чисел более точный результат, не будет оправдано. В конкретном случае нужно делать выборку из серий наблюденных элементарных фигур по их гео­ метрическим характеристикам. Причем, для улучшения этих харак­ теристик следует брать в обработку результаты наблюдений не одного прохождения спутника, а комбинации из нескольких про­ хождений.

Кроме того, существенным недостатком космической трилате­ рации является зависимость ориентирования этой системы в про­ странстве от положения исходных пунктов. Этого недостатка лишены другие системы построения опорных геодезических сетей, которые рассматриваются ниже.

6Л

З в е з д н а я ( к о с м и ч е с к а я ) т р и а н г у л я ц и я

Замечательная идея о возможности построения такой геоде­ зической сети принадлежит финскому ученому И. Вяйсяля. Высказанная в 1946 г. [101] идея получила всеобщее признание после запуска первых ИСЗ, и в настоящее время нашла свое прак­ тическое воплощение в работах геодезистов ряда стран.

При одновременном определении направлений на ИСЗ из ряда точек земной поверхности создаются необходимые условия для построения сети космической триангуляции. Развитие такой три­ ангуляции может осуществляться также двумя путями: методом засечек или методом хорд.

М,

В первом из них (рис. 19), полагая известным положение двух пунктов М1 и М2 земной поверхности, из решения пространствен­ ных угловых засечек вычисляют на моменты наблюдений коорди­ наты положений ИСЗ и С2. Затем, опираясь на эти положения ИСЗ и используя измеренные направления с искомого пункта, определяют его координаты и т. д.

Возможные варианты построения рядов из таких элементар­ ных фигур рассмотрены Б. М. Кленицким [31]. Они предусматри­ вают следующие схемы построения: а) ряды из обратных засечек двух положений ИСЗ, расположенных по разные стороны от базы (рис. 20), б) ряды из обратных засечек двух ИСЗ, когда наблю­ денные положения и все наземные пункты ряда лежат в одной плоскости, проходящей через центр Земли (рис. 21), в) ряды из последовательных пар элементарных фигур, в которых каждая

пара новых пунктов определяется относительно двух предыдущих

(рис. 22).

Анализируя эти схемы построения, следует заметить, что стро­ гое решение вопроса о распределении погрешностей в элемен­ тарной фигуре (см. рис. 19), или в ряде, состоящем из таких фигур, может быть выполнено по схеме (1.162). Но вместе с тем возможно и другое [34] решение, основанное на прямом учете ошибок положения исходных пунктов при составлении корреля­

61

ционной матрицы непосредственных измерений, т. е. по

(1.109—1.112).

В этом случае при обработке измерений по способу наимень­ ших квадратов после решения системы нормальных уравнений и вычисления матрицы весовых коэффициентов Q' итоговый тензор

ошибок положения исходных и определяемых пунктов опреде­ ляется выражением

Решение задачи по схеме (1.167) или (1.168) приводит к до­ вольно сложным вычислениям, и применение этого метода для априорной оценки точности рядов из угловых засечек вряд ли целесообразно. Здесь более выгодно применение приближенных формул, разработанных Б. М. Кленицким, Г. А. Устиновым, Е. Г. Бойко и другими авторами [6], [31], [75]. Эти формулы преду­ сматривают оценку точности положения точки, исходя из пред­ положения, что ошибки измеренных направлений на спутник равны между собой

ms — та cos 6 = р,,

.а погрешности регистрации моментов наблюдений на станциях пренебрегаемо малы.

Формула, предложенная Е. Г. Бойко, для оценки точности по­ ложения вершины пространственной угловой засечки (без учета ошибок положения исходных пунктов) имеет вид

«2

Точность положения искомого пункта в элементарной фигуре космической триангуляции (см. рис. 19) определяется формулой

Как следует из приведенных соотношений, ошибка положения ИСЗ в значительной степени зависит от величины наблюденных топоцентрических расстояний, т. е. от высоты ИСЗ над поверх­ ностью Земли.

Анализ показал, что формулы (1.170) и (1.171) при сравнении их со строгими формулами дают преувеличенные значения ошибок, в среднем на 10—15%.

Детальное исследование рядов пространственных угловых за­ сечек, с точки зрения их оптимальности, выполнил Б. М. Кленицкий [31]. РІсходя из условия, что лучшая форма элементарной фигуры должна удовлетворять требованию

метода засечек ошибка положения искомого пункта минимальна

при — =2,36, где b — расстояние между исходными пунктами.

ь

Это отношение соответствует случаю, когда база b равна рас­ стоянию между наблюденными позициями ИСЗ, а углы засечек равны 25°.

К рядам из пространственных засечек, кроме условия (1.172) г предъявляются дополнительные требования:

а) форма каждой фигуры должна обеспечивать сохранность размера следующей за ней фигуры;

б) ошибки положения очередных пунктов ряда должны увели­

где SL —длина ряда.

Б. М. Кленицкий сделал расчет относительных ошибок положе­ ния пунктов для засечек различного типа и рядов различной про­ тяженности. Результаты этого расчета, полученные для рядов из

Как следует из рассмотрения графиков этого рисунка, наиболее выгодна схема ряда, изображенного на рис. 20,. и состоящего из последовательно построенных элементарных фигур.

63

Существенным недостатком системы развития космической триангуляции методом засечек является то, что этот метод не

I. Методика определения направлений хорд будет подробно рассмотрена в первой главе второй части книги.

64

Элементарная фигура триангуляции (треугольник) здесь обра­ зована направлениями хорд; положение искомого пункта относи­ тельно исходных определяется точкой пересечения этих направле­ ний. В сети космической триангуляции длины одной пли несколь­ ких хорд измеряются на местности, а положение начального пункта системы полагают известным. При математической обра­ ботке измерений направления хорд L , соединяющих наблюдатель­ ные станции, как правило, задают единичным вектором Е, так что

где ф и А — направляющие углы (сферические координаты) хорды, определяющие ее положение относительно экватора и гринвич­ ского меридиана.

Что касается общего порядка работ по вычислению триангуля­ ции, построенной методом хорд, то он может быть принят сле­ дующим. _

1. Предварительное уравнивание векторов Е в треугольниках сети за условие компланарности

или в развернутом виде

sin % cos % cos ф3 sin (Л3 — Л2) -f- sin фз cos фі cos ф2 sin (Лх —

ирешение треугольников.

3.Вычисление предварительных координат искомых пунктов

4. Составление и решение уравнений поправок измеренных величин

к системе (1.179) добавляются уравнения поправок измеренных линий .

При коррелированных ошибках результатов измерений весовой тензор уравнений поправок определяется как величина обратная корреляционной матрице измеренных величин, а для исключения возможного влияния систематических ошибок результатов измере­ ний в уравнения поправок могут включаться и дополнительные неизвестные.

5. Оценка точности триангуляции выполняется с помощью м рицы весовых коэффициентов.

Значительно большей сложностью отличается уравнивание космической триангуляции по способу условий [7].

Для сравнительной оценки элементарных фигур пространствен­ ных геодезических сетей и, в частности, для предварительной оценки точности положения пункта, определяемого засечкой на­ правлений хорд, можно пользоваться приближенной формулой типа [1.170]

66

При равноточном определении направлений хорд выгоднее при­ менить строгую формулу Г. А. Устинова [75].

где

p = nity = mAcos ф.

Точность определения длин хорд в свободном ряде пространст­ венной триангуляции (рис. 25) рассчитаем исходя из известного дифференциального равенства

L i

где / обозначен номер стороны, а і — номер треугольника.

Рис. 25. Ряд триангуляции, построенный по

методу хорд

Дифференцируя уравнение (1.77), получим

= --------— I [cos Ti sin ф2 — sin фг cos ф> cos (Ax — Л,) d\pr + sin ß12

+[cos ф2 sin Фі — sin Фгcos Фі cos (Aj — Л2) <2ф2 —

—cos ф2 cos ф2 sin (Ax — Ao) dA±+ cos фі cos ф2 sin (Л2 — Л2) dA2). (1.186)

Обозначив коэффициенты этого уравнения буквами f , будем иметь

rfßia = — — ^ - ( / , ф ^ і + /2/Ф 2 — fAd ^ - f AdA2). (1.187)

С учетом двух последних равенств выражения для дифферен­ циалов связующих углов At и Ві запишем в форме

3* 67

где коэффициенты Д и fa соответствуют коэффициентам уравне­ ния (1.187) и индексы у коэффициентов определяются по чертежу сети (см. рис. 25).

Подставляя (1.188) в (1.185) и группируя коэффициенты, по­ лучим

Уравнение (1.189) решает поставленную задачу после перехода к конечным приращениям и средним квадратическим ошибкам.

К сожалению, нужно заметить, что сложный вид найденной формулы ограничивает возможность ее практического использова­ ния, и потому для предварительно, приближенной оценки точности длин сторон ряда целесообразно воспользоваться уже известной формулой

поступаясь зависимостью между связующими углами в треуголь­ никах ряда. Такое допущение приведет к погрешности вычисления ошибки не более 15—20%.

Б. М. Кленицким в [31] сделай расчет относительной ошибки положения пункта в ряде из равносторонних треугольников, обра­ зованных хордами, при (.1=1". Результаты этого расчета, показан­ ные на рис. 23, свидетельствуют о значительном преимуществе рассматриваемого метода построения рядов по сравнению с ря­ дами засечек.

Вконкретных случаях при сопоставлении нескольких проектов создания опорной сети наилучшее суждение о точности достигае­ мых результатов можно получить с помощью обратной матрицы коэффициентов нормальных уравнений.

Вкачестве примера на рис. 26 показаны итоги вычислении ожидаемых ошибок координат пунктов всемирной сети космиче­ ской триангуляции, построенной по методу хорд (модификация известного проекта И. Д. Жонголовича [20]). При выполнении этого

68

69