книги из ГПНТБ / Разумов, О. С. Пространственная геодезическая векторная сеть

ряда опорных пунктов, заданных в системе координат, отнесенной

кцентру масс и осп вращения Земли.

2.Наблюдая с течением времени эволюцию орбиты ИСЗ, в

являть особенности поля тяготения Земли и характер возможных воздействий на движение ИСЗ со стороны других возмущающих сил. Полученные, таким образом, данные позволяют, определить

динат '.

Точность вычисленных таким способом положений зависит от качества выполненных наблюдении, строгости математической тео­ рии и надежности принятых физических констант. Примечатель­ ной особенностью этого способа является то, что получаемые по (1.60) результаты не связаны с каким-либо референц-эллипсоидом и на их точность не влияют уклонения отвесных линий.

Если же положение станций необходимо получить в некоторой геодезической системе координат, элементы ориентирования кото­ рой в теле Земли известны, то основное векторное уравнение с уче­ том (1,5) примет вид

1 Естественно предположить, что если результаты наблюдении на станции содержат только угловые координаты (а' и б') спутника, то для определения положения точки потребуются, как минимум, две серии наблюдении в моменты Л и І2, а при измерении одних топонеитрнческих расстояний г' — три серии.

30

Совокупное решение всех трех перечисленных задач входит в комплекс работ так называемого динамического метода использо­ вания наблюдений спутников Земли, и это решение может быть достигнуто только способом последовательных приближений.

В настоящее время для привязки отдельных островов, экспе­ диционных пунктов и в исследовательских целях используют так называемый «полудпиамическип метод коротких дуг» [40], [73] или

фикаций.

Другую возможность геодезического (геометрического) исполь­ зования спутников доставляют синхронные наблюдения ИСЗ. Если, например, наблюдать спутник одновременно с двух точек земной поверхности (рис. 13), то взаимное положение этих пунктов, опре­

В этом случае спутник уже играет роль только вспомогатель­ ной визирной цели и его точное положение на момент наблюдений знать не обязательно. Уравнение (1-62) и его модификации поло­ жены в основу различных методов построения пространственных опорных геодезических сетей.

В 1969 г. Л. Б. Закиров, используя теорию «бликоидиого» пре­

31

Для случая, когда с одной станции наблюдалось два положе­

При математической обработке наблюдении ИСЗ для решения геодезических задач основой для составления уравнений поправок измеренных величин служат дифференциальные формулы измене­ ния топоцентрических координат ИСЗ под влиянием тех или иных возмущающих факторов.

Структура таких формул, основанных на функциональной зави­ симости топоцентрических координат от взаимного расположения наблюдательной станции и ИСЗ, показана ниже. Согласно рис. 12, имеем

32

Поэтому

(1.69)

Дифференциальные формулы (1.114), связывающие изменение геоцентрических координат Нс, Нс, Zc спутника с изменениями параметров начальной промежуточной орбиты и других возмущаю­ щих воздействий, даны на стр. 43. Если qt — матрицу частных производных геоцентрических координат ИСЗ по элементам оскулирующей орбиты, G — матрицу частных производных элементов оскулирующей орбиты по элементам начальной промежуточной ор­ биты, F — матрицы частных производных элементов оскулирующей орбиты по коэффициентам разложения гравитационного потен­ циала Земли и некоторым другим параметрам подставим в (1.69), то получим

dr'\

dö' I = US0q,G ( dt' )/

(1.70)

Это уравнение показывает в самом общем виде структуру урав­ нений поправок наблюдений в динамическом методе, когда в каче­ стве искомых неизвестных фигурируют поправки к элементам на­ чальной промежуточной орбиты, поправки к физическим парамет­ рам Земли и поправки к положениям наблюдательных станций в геоцентрической системе координат.

Если при решении этой задачи исходные координаты наблюда­ тельных станций были заданы в системе координат OrXrYrZr, отне­ сенной к центру референц-эллипсоида, и взаимное положение этих станций полагать заданным достаточно надежно, то в соответст­ вии с (1.5), в уравнения поправок (1.70) в качестве дополнитель­ ных неизвестных можно включить и элементы внутреннего ориен­ тирования референц-эллипсоида в теле Земли, полагая величины б*о, бг/о, 6z0, a.ij едиными для всей системы пунктов, принадлежа­ щих данной системе относимости.

Очевидно, что для определения всех неизвестных параметров уравнения (1.70) необходимы массовые наблюдения ИСЗ с наблю­ дательных станций, равномерно расположенных по земному шару и специальные программы наблюдений, в которых тот или иной параметр определяется наиболее надежно.

Описанию и анализу динамического метода посвящена обшир­ ная литература; особенно глубоко и детально он рассмотрен в ра­ ботах У. Каула [27] н [71].

§ 6. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ОЦЕНКИ ТОЧНОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ ПУНКТОВ

При решении геометрических задач спутниковой геодезии ос­ новное внимание уделяется определению положения точек в той или иной пространственной системе координат. До недавних пор вопросам оценки точности геодезических построении в трехмерном пространстве не уделялось большого внимания, п в современных руководствах по математической обработке результатов геодези­ ческих измерений они не рассматривались. Поэтому приведем ос­ новные сведения по методике решения подобных задач.

О ш и б к и п о л о ж е н и я п у н к т о в

Позиция наблюдаемого объекта в пространстве определяется пересечением трех поверхностей положения.

Так как полученные в процессе измерения скалярные величи­ ны и содержат ошибки, и соответствующие нм поверхности поло­ жения испытывают колебания относительно своей вероятнейшей позиции, то точность положения объекта в пространстве зависит как от этих ошибок, так и от взаимного расположения пересекаю­ щихся поверхностей положения.

По этой же причине, если число выполненных измерений пре­ вышает минимально необходимое, то поверхности положения не пересекаются в одной точке, а образуют вокруг искомого пункта

34

X — вектор поправок к приближенным значениям неизвестных, L — вектор свободных членов, е — вектор поправок измерений, Р — ве­ совая матрица результатов измерений.

В соответствии с принципом наименьших квадратов наиболее надежное значение вектора X определяется соотношением

где ц — ошибка единицы веса, Q — матрица весовых коэффициен­ тов (обратная матрица коэффициентов нормальных уравнений по­ правок неизвестных).

Уравнение (1.75) имеет тензорную форму и операции с вели­ чинами М2 подчиняются правилам тензорной алгебры. А так как

Диагональные элементы тензора (1.76) представляют собой квадраты средних квадратических ошибок положения искомого пункта по направлениям осей координат, а остальные элементы — корреляционные моменты, отражающие зависимость между не­ известными.

Тензор ошибок М2 непосредственно связан с матрицей Р коэф­ фициентов корреляции соотношением

где in — диагональная матрица, составленная из средних квадра­ тических ошибок искомых неизвестных

mл

2* 35

В свою очередь

средний квадратический тензор ошибок положения точки окажется равным

точности геодезических построений при необходимом минимуме измерений; она справедлива и для того случая, когда вместо ре­ зультатов непосредственных измерений используются их функции.

Тензор ошибок — универсальное средство для оценки точности положения точек. Он позволяет, в случае необходимости, опреде­ лять погрешность положения точки по любому заданному направ­

36

лению, находить элементы среднего квадратического эллипсоида ошибок и определять тензор ошибок положения точки в другой координатной системе.

Основные операции с тензорами ошибок следующие.

1. Чтобы определить среднюю квадратическую ошибку поло­ жения точки по заданному направлению, достаточно умножить тен­ зор ошибок на единичный вектор а этого направления, т. е.

а—■ (cos а cos ß cos y ) .

2.Переход от тензора ошибок (1.76) к среднему квадратиче­ скому эллипсоиду можно осуществить на основе правил тензорной алгебры. Известно, что для каждого тензора существуют направ­ ления йо, обладающие свойством

где X— главные значения тензора.

Уравнение (1.87) равносильно системе трех однородных урав­ нений

Поскольку тензор ошибок всегда имеет симметричный вид, то уравнению (1.90) отвечают три вещественных положительных кор-

37

ня — главные значения тензора. В этих новых составляющих тен­ зор ошибок записывается в виде

направления которых соответствуют главным направлениям тен­ зора. Эти направления определяются из решения системы одно­ родных уравнений (1.88) после подстановки в них соответствую­ щего корня л,- кубического уравнения (1.90).

Средняя квадратическая ошибка положения точки по некоторо­ му .направлению ä после этого может быть получена из равенства

где cp — углы, составленные заданным направлением с направле­ ниями полуосей эллипсоида ошибок.

3. Преобразование тензора (1.76) при переходе к другой ор гональной координатной системе осуществляют по правилу

где П — матрица направляющих косинусов координатных осей но­ вой системы относительно старых осей.

Для тензора ошибок (1.75) совокупного положения нескольких точек справедливо равенство

где блоки П составлены из матриц направляющих косинусов (1.95),

иих число равно количеству трансформируемых пунктов.

4.Важное значение в оценке точности геодезических се имеет решение вопроса об ошибках взаимного расположения то­ чек. При наличии совокупного тензора ошибок (1.75) эта задача решается методом элементарных преобразований этого тензора, причем замечательно, что такие преобразования можно сделать независимо от того, имеют ли рассматриваемые точки между со­ бой непосредственную связь, или не имеют.

38

Для решения такой задачи необходимо взять из общего тен­ зора ошибок системы элементы, выражающие совокупные ошибки положения этих пунктов

Принимая во внимание, что в рассматриваемом случае

Lv = Х, — Х ъ Ly —-Y* — Yu Lz = Z%— Zx.

компоненты преобразующего тензора Т для перехода от ошибок координат точек к ошибке вектора L& (в принятой системе коор­

39