книги из ГПНТБ / Боголюбов, Н. Н. Метод исследования модельных гамильтонианов

ний операторов Ар

0,,

•••.

Aps. os на пары.

Очевидно,

l(s)<

1 -3 ... (s — 3) (s — 1).

Тогда

в правой части

(2.21) сумма

(...)г>азо-

бьется

на I (s) сумм

типа

р......ps

2

(•••),

(2.22)

«V

4s

— ( ар

о Сl) ар,,

ОСз) ар . О(*3) ар,. п (^ ))г

•

По правилам

отбора

Dpt 0i.

0 может

быть

здесь отлична

от

нуля, лишь если pt =

р4,

р2 = р3

или р 3

Р з ,

рг =

р4, так что I =

2.

Обозначим, как условились выше,

p\—q\. р2 =q2- Имеем

1

Dг

: Рь О

У

Р.......Ра

=

у

D Чи О; 9г, о; 9i.

О;

7 г, о

+

9i.

9;

+

У

D9i> О; 9г, а; 92, а; 9, о.

1

'П Wi + Mhy

’

9i.

9г

<9i ^

9г)

1 V

1 -

Г

d4

I

г _

fev'

'

V

(q2 + M h)

( J2

я (),732+

Л 1 л ) 2

^

ч

оо

_

4п

Г

R2 dR

(2я)3 J

(Д2 +

М/,)2 +

О

где £v —>0 ПРИ

Поэтому

можем

написать

Т !L

(?2 + Мл)

^

С

ч

J h ir v

•••>

^о,){(г <р ФМ

• • •

T

o

J

'V

М )г “

-

<Фо, (ГР t l )

• • ■

( r s> *,)>rJ d r i

• •

•

| =

= ! f l , № ) l < C ( s, Kk,

+

s—1

+

[ v ®i/ н

у

i=l

/ U/ — ^/+i i+

+

2 ^

- | / e

K+ - | f } ,

(2.24)

получения

равномерных в

температурном интервале

(О < 0 ^

90)

мажорационных

оценок, даже если условия

E ( f ) ^ y

не выполняются.

Д' = { V Ж -

В случае, если во всем пространстве Ф

E( f ) > у,

(2.25)

где у — положительная постоянная, отличная от

нуля,

К — Q/y,

где Q =

4{2M , + 2 (-|)2 M, }1/2.

Таким образом, в этом случае, если е(/—>0 (F-*oo)

равномерно в температурном

интервале ( О < 0 ^ 0 о), то

и полученная

оценка

(2.24)

будет равномерной

в этом

интервале.

Покажем,

что такая ситуация

имеет

место,

даже если условие (2.25) не выполняется.

В этом случае несколько модифицируем неравен­

ство (1.88), которое используется для раскрытия соот­

ношений

(2.21).

Фиксируем

какое-либо

у > 0.

Тогда

(1.88) верно для

K ~ Q l y

в области, в которой

| 7Чр, )| >у.

•••’ \T(ps) \ > y ,

поскольку

из

неравенства \ Т ( р ) \ ^ у следует E ( f ) ^ y .

В области,

где хотя

бы одно из | Т (р;) [ удовлетво­

| < A1t (*,) ... A,g (ts))r -

< Afl (f,) ...

(ts))Fa | < 2.

Таким образом, всегда можно написать

DPi-av

+ 2*+

l «,

+ § - Д

e , (t (Pl)} +

/“ *

s

+

2 V ( 1 - 0 v(7’ (p/))}>

M

I DPv о,;

<

<

lVS) + 2S+I £ y 4 +

+ 2 v (1 _ Qy (T (p,))}.

/=i

Повторяя

с этой модифицированной оценкой все пре­

М \ М г . „ Г, / — i s —

V W

f l ' x

<C( s , Kh, Mh)[[ - V T + M\[ Vec

+ ~ y

S —1

M

s +1

V4

~ Y

+ W

i + A’

<2'26)

X Y i i \ t l - t i+ .1 + 2 2

где

/=1

s/ 2

Sl2

0 ^ ( Г ( * , ) » П М + Я(у ,}.

s/2

Но,

очевидно,

5/2

—

1

{ 1 - М П < 7 ,) )} П /„ 2 ,

y sl2

Ч’

4sl2

k=l (4 + мну

s/2

vsi2

£

{1 —6Y(T (qi))} П

41.....qst2

kL H ^ + ^ ) 2

1 v

= ± \ { l - Q I T ( q ) ) }

- — l

M/i)2 ) V

(<72 + MhY

(<72 +

я

i

1

(q2 + MhY

Имеем далее:

±

V

—

1—

< —

___dq______.__ С__

(q2+

Mk)2

К2/3 ’

У

*U

(q2 +

M hУ

(2я)3

я1

Я

< V

2т

где С — некоторая

постоянная, и

1

Г

dq

4it

q2dq

"(2л)3"

J

{q2+ M h ) 2

"(Irf3’

{q2+ мну

I

I

__i_

{q2+ М/г)2

JL2in

(2x

-M- < V

Итак, из (2.26) получим

I А /(/0 К

< C ( s ,

К/,, Mh) {

{ ^

+

М \ У ^

+ ^

У Ж Х ) Х!2 X

X

/='

*/ — b+i 1+

2

2 -у | / " ег +

| +

)

+ «»/ (S) • f [С (M ,)F' (

^

+

.

(2.27)

7'{Фа, (Н *!)■■•

^ =

= S ЪрР {9

■0 (С -.Ч ) Ф„, (И. <!)••■ Фа,(П. д}. (2-28)

Р {0 (U —

С)

■ ■ • 0 (ts-1

— ts) Фот, (г ь ti)

. . . (pajj (rs, C)} =

= V ( </ r

,/!) - e(

V

r

<0

\ (

, <.i</,)

••• S s(rv ^ )

pp = ±

1,

смотря

по тому, будет ли перестановка Р

четной

или нечетной.

Суммирование идет по всем пере­

становкам

Р.

t2,

... , ls

в порядке убывания

слева

Расположив t\,

направо

g > g

> tis,

> . . .

имеем

Т {фа, (Н, Ь) . . . фas(rs, ts)) =

=

± ( M

r /.* *л)

4

SK > ^ ) -

(2-30)

*)

Здесь

индексы д, /2, ... , р получаются из системы индек­

сов 1,

2, . .. ,

з при помощи перестановки Р.

J

А ( г „ .

.r .s). { ( T { q a i { r u / , ) • • Ф■ < ц

> 50,

) ) ) , , -

— (Т {фа, (г и t\) ■■•

Фas(rs> **)}>гJ

dr{ ... drs <

< C (s,

Kh, Mh)[

+ Mi [ \ ' ei'

+

+

m ' f r ' ^ ’ /i

1+ 2^

у Ч ^ Г ) ,

/=i

/

Gr.ra(t, т|г,........ rk;

rk+u ... , rs) =

= 0(/-т)([21(/)23(т)]±>г

г

,

(2.33)

где

Я (0 = Фо.(ГР 0

ФаЛГЛ> О*

,

(2.34)

,

‘

*

,

33(т)=ч

+Дг'г+1’ т)

<ч ( г*’ т)-

Ясно, что в соотношения

(2.24)

мы

можем

подставить

произведения полевых функций

21(/) S3 (т),

S3 (т) 31(f)

и умножить результат на

0 (t — т).

Таким образом,

получим неравенство

j h (rh . .. , rs) {G r — G r a} dr{ ...

dr

C C i(s, Kh, Л4Л) { ( - ^

+ Mi [ V Bv +

у 1 VMi j ) 1 s \ t — т ] 0 (f — t) +

5 + 1

M2

,

(2.35)

+ 20 (f - t) 2 2 К у

ev +

4V

Gr — Gra —*0

при

V~*oo.

(2.36)

Резюмируя вышесказанное, убеждаемся в справедли­

вости

теоремы:

Если

выполнены

условия

Т е о р е м а

2.1.

1

(§

1

главы

1),

то

на

классе

ЕЕ функций

h(ru гъ . .. ,

г,)

имеем обобщенные предельные соотношения для кор­

реляционных функций и функций

Грина

( < ф

а (,

r u

t {)

• •

• Ф

о я (Qг

)* r. — <

Ф о ,( r u t {) .

. . Ф о 5

(

г

4.,

и

>

г

j — > 0

при

V —> ОО,

( ( Т { ф о , ( Г 1 .

* l )

•

•

•

Ф о , Ч >

К ) ] ) , , —

—

( Т

{ Ф

о , ( ^ t1^,) . . .

q>es ( r s ,

*

*

) }

) )

-

>

о

при

V —> °о, а также

1 а/

(6 (*~т) ([%, Ч

0 • ■• Ч

Ч- *)■• %k+t Ч+н Д ... %s(rs, t)]±)£-

-

0 р - т )

([фа1(г„ t) ...

фч (гк, t)-

Ф а

, +

1 Ч +г )1

... . y 0 s ( rs, x

) j

\> -

>

0

при

V > оо.

^

а!

Как видно, отсюда вытекает, что для доказатель­

ства

существования

обобщенных

пределов

Н т ( . . . ) г

У->оо

у рассматриваемых здесь средних достаточно доказать

существование обобщенных пределов у соответствующих

средних

lim (. . .)г

для

аппроксимирующего гамильто-

]/->оо

а

странстве Е множество меры нуль.

rs) из

рас­

Возьмем какую-либо

функцию h (г,,

сматриваемого класса 2

и напишем на основании (2.13)

h (г,,

г2,

• • • >rs) <ф01 (г„

t,) ... cp0s (rs, ts))r dr,

... drs=

1 a

=J _

V

it (б|р! ... SsPs) { A p r a, (t\) ... A p s, 0S Us))r

■

(2.37)

y-S/2

- J

„

1 a

"г

В силу

правил К.

Блоха

и С. Де-Доминициса

имеем

(A»j,a,(^l)

•••

^PS.<JS(^)) =

a/(*/)

a, (//)>

*),

2(.38)

= 2 Л11

где г| =

±

1.

Сумма

здесь

распространяется

по

всем

Далее,

Ц

— произведение

из s/2 множителей. Для

заданного

способа спаривания р( = р /,

если

сгг —

и pi — — P j , если в, — — a,.

p t

Обозначим

систему левых

индексов

в

данном

произведении

соответственно

через q[t . . . ,

qsjT Тогда

для

такого способа спаривания

л ^ ( е ,Р,. • • • • Z s P b ) = H { q 1> • • • . <7s/2>

где

H/qv

... , qs/2'j — непрерывная функция в простран-

стве t.-.s/2,

удовлетворяющая

неравенству

s/2

!« (« ......... »,Я) | <

( ( * П

O j(tl) A p v o .(tl))

,

1 а

функция

Q(<7i>•••> Ч8/2)— \ \ {^-Рj. aj{tj)

„.(ti)yvа

Имеем теперь

из (2.37)

r s) (%, (Г1>*0 •

• • \

5

(rs’ Q )r

drX-- -

d's =

i

1a

v si2

^

H

( q r

■ ■ ■,

q s/2) Q (<7P . .

• , <7s/2) 1 ,

91.....4s/2

)

(2.39)

где в первой сумме 2

число членов ограничено числом

l(s), а вторая сумма

^

(•••)

берется по квазиди-

Ч\.......9s/2

скретному множеству Е\р.

множество

точек

разрыва

Заметим, что, поскольку

функции Q(p, а)

имеет меру,

равную нулю в Е,

тем же

Таким образом,

точки

разрыва функций

qs/2) Q(q2, . ..,

qs/2)

образуют

в

пространстве

Esp множество меры нуль.

С другой

стороны, так

как

Q ( q r . .

. .

^ /2)

|

<

1 -

то имеем

оценку

si2

I Я ( < 7 Р. .

. , q sl2) Q ( q v

• ••>

^ s / г ) |

^

+

Ввиду сказанного

^

Н{4\’

• • •>

9s/2)Q(^i>•

•

•>

fls/г)- *

91. •••• 9 s /2

••>^■2)Q/ (Ур

•••>^s/2)dq\ - ■• dqs/2

—>

—т"J 7/ •••(?;, J