книги из ГПНТБ / Боголюбов, Н. Н. Метод исследования модельных гамильтонианов

Зам етим теперь, что

UuauUu = eiq>afi,

Uua - ftUu =

е~‘*а-f„

Uffl-u Uи = etva - f„

Uftaf%Uu =

e~t4,ah,

Uf,afUf, = af,

если

UuafUh = ah

если

f ф f0, — f0.

тониана Г.

это,

обратимся к равенству (2.2).

Обозна­

Заметив

чим через

Nf(fo)

число тех из операторов Afi

.. Af ,

которые равны

+

Л^_ (/0) — число тех

или a - f0, а через

из них, которые

+

а_/0.

равны а*0 или

Тогда правая часть (2.2) равна

e«-p+ (fo)-V-(f„))T^fi(/l) ...

Аф ) ) г ,

и мы получим

( 1 ~ е 1{W+

(f°)} Ф)

(U) ...

Afg (ts))v =

0.

Отсюда ввиду произвольности

фазы ф следует,

что

( \ ( и ) ... л ^(4))г =

0,

(2.4)

при

AfЯ

равно

+

a~f t

=

af/,

% или

при

=

+

Af

равно

или

+

Afl

af/,

a~fj.

'я

аи

Отсюда ясно, что если операторы

Af.,

Af

образуют

пару,то

U =

± h-

Afj,

Пусть

среди Л{[,

Л^ имеется

оператор

с которым ни один из операторов

этой

группы

не

образует

пары.

Будем говорить в таком случае, что Af является

неспаренным оператором.

среди

операторов

Покажем

сейчас,

что если

At ,

•••,

Лfs

имеется

хотя

бы один

неспаренный опера­

тор,

то

(Л?1(/i) . ..

л ?5(^))г = 0.

1)

Afj ■

Ufj,

2)

Afj =

afj.

В первом

случае среди операторов Af, ... ,

Лf не со-

держится

операторов,

равных

+

ввиду чего

a f/ или a - f ,

N-{!,) = 0.

С другой

стороны, N +( f j ) ^

1

и

Во втором случае

N

1,

N +(f,.) = 0

и

N +(fl) ~ N _ ( f l) ^ - l .

Таким образом, благодаря (2.4) сделанное выше

утверждение доказано.

Мы видим, следовательно, что

средние

( Л ф ) . . . A fs (ts) ) r

могут

быть

отличны

от нуля, лишь если все опера­

торы

Л ,

Af, ... , Af

можно

сгруппировать в пары.

<Л?1

Л ф ) }

(2.5)

способов объединения операторов

........ Afs в пары.

Число это,

разумеется, меньше, чем

1 -3

... (s — 3) (s — 1) (s — четное, s ^ 2 ) .

(af(t) a - f (т))Га

Q ( f )

(

g ~ l E ( f ) lt - - t )

2Е (/)

1

1 + ев w/e

! + e ~ E(f)/e

~

+

1 I

T( f )

\

eiE(f>(t~ T>

(af (t)af (т)>Гв =

- {

E (f)

!

1 + e -E<f>/e"r‘

T(f)

e - l E ( V ( t - x ) I

(2.7)

E(f)

I

(af (t) af (т))Га

T(l)

q'-E tf) {t—x

+

2

E(f)

1 + eE

g~iE

+

+

\ +e - E,i)le ’

0(f)

glE (f) (t —x\

e -£Eif)(t-r>

(af (t) ач (т))г

l + e £(f)/6

~ ! +e -EiW

2E(f)

Таким образом,

средняя

(2.5) является полиномом

из выражений

(2.7),

в которые вместо индекса / под­

ставлен fj, а вместо t, т подставлены tj, tk.

Этот полином

P{fu .. .,

fs;

g

( 2. 8)

точек ([,,

/s)), поскольку

везде в Ф^’ определены

функции

Q(f),

Т (/),

£(/).

<4fl(/i), . ... \ ( f s))

= Р ( / „

fs,

ts) (2.9)

имеет место,

разумеется, только

для

квазидискретных

индексов

2я«1

2лп2

2я«3 '

f =

(p,o),

р

М / . ,

fs)

(V-+O0),

заданных на множествах Ф^1.

fs) равно­

Будем говорить,

что функция Fv {fx,

мерно

сходится

(Е —>оо)

к

некоторой

функции

F(f 1,

fs), определенной

на

всем

Ф(5), если можно

указать

последовательность

чисел

6у —» О,

V —>оо

такую,

что везде на множествах Ф{у

выполняется нера­

венство

IFy (/1>•••> h)

F (fi>

• • •> fs)

Если выполнены условия 1 (см.

стр. 35) и, кроме

того, функция Q()) не зависит от

V,

то существует

предел

lim (^Afl (t\) . .. Afs (ts))r — P (f i. • • • >

11,

.. ., ts). (2.11)

V-^oo

(фа, (И> t\) ••• 4>os (r.s,t s))

,

В силу (2.12) можем написать

Фа ( г , 0 =

- U - ^

Ар, a{t)eulp'r\

где

р

^Р,о^=аР,о’

е = 1 ,

если

ф = -ф,

+

^

1>

ССЛИ

-+-

== &Р,а>

ф ;::= ty.

Таким образом,

• <Фа,(ГР О •••

Фа9К *

0 > Г Г

=

1

*

' 1а

= ф^/2

• • •

V

' » s ^ ) r г

К

Pi...... Ps

’

“

X ег (е1(^rri)+•••+ M / v 's)}.

(2.13)

Рассмотрим разность

(% ,(ГГ О •••

ФаJ r s’

*,))Г -<<Р0,(Г1> V • • •

Фа,

('s ’

Q \

и покажем, что для

V -» оо

она

стремится

к

нулю, но

уже в обобщенном

смысле,

принятом

в теории

обоб­

щенных функций.

Напомним

здесь, что в этой теории называется обоб­

щенной сходимостью

Fv (ru .

rs)->F(ru .... rs)

при

v -

oo,

(2.14)

F(ru .... rs) =

lim Fv {ru

rs).

V

°°

{ k i l + •••

+ \ r s \}ii)\ h{ r l,

. .. , rs) К

const

0 =

0, 1,

2, ... ,

v),

{ | r , | + ...

+ k ,l} (/)

/!+••• +4sh

const

d xT, a,

^

dx3s,a3s

(j — 0, 1, 2,

v,

+

•••

+ <7зs — 0>

•••> <7,

a j =

1,

2, 3).

(Xt.l, Xl, 2 i Xt.:i) =

rt.

Если мы можем фиксировать

положительные числа

из

класса

С (q, v) справедливо соотношение

|

h(ru

rs)Fv (ru ... ,

rs)drh

dr s—>

J h{ru

rs) F( r it

.. ., rs) d r u

drs,

\h(p\,

•••,

р Д | ^ —----—------ ,

(2.15)

П (Р/ + м н)

/=1

Кп — const > 0 ,

Mh — const >

0.

Покажем,

что для любой функции h( r u ... ,

rs) в таком

классе SB

{ I

А ( Г р .... rs)(

( Г р

/,)•■•

фos(rs, ts))r

d r , . . .

drs -

— J Л (Г 1......^КФаДИ-

*.) - %

s(rs, ts))T' d r , . . . d r s J ^ O

при E->oo. Иначе

говоря,

ввиду (2.13)

докажем, что

- W

S

Я(е!Рр

•••

^ . « sW )r -

Pl.....Ps

{ts))

(^ P rai(^i)

•••

}

0.

(2.16)

1 aJ

квазидискретного множества Еу . Тем самым мы

и до­

кажем,

что в о б о б щ е н н о м

с м ы с л е

{(Ф01(г,, U ) . . . % s(rs, t s) ) T —

при V

-(ФаД'Т- М

g > rJ - > 0

(2-17)

ОО.

(ЧД(г„ (,)ТД(г2, t2))r

=

а

— ^ ( а Р . a (^l) а р,

О ( h ) ) r a е 1

(Г1*"Гг)) —

Р

т(О

J E (f) Щ -Щ giP (г{- г г)

2V

E(!)l

\ + е Е(f)/e

■tE <f) («,-Щ

+ J _ Y ( i +

UZ>

e iP

2V

ЛЛ \

^

Е (f)

1+е - Е Ш/9

Тогда

E( f ) =\ T t f )

2

т

и мы имеем

<ЧГ0(Г„ и ) Ча {Г2, t2))T

=

<

---ц

„

| 2m

- e i P ( r , - r 2)

- - 2

1+ e1

P"—< p

2m

( l ^

) {t'~U)

сходящийся

абсолютно,

поскольку

1

yi

1

h ( p , — P) К

V

^

-(-ZL-n)±

2m

>

p 1

о \2m Щ 0

+e

>

Kh

v

_______

Kh

d p

V

- J

(р2 + МЛ)2

АЛ ( 2 n f

(p2 + Mhy + ^

Рг

2m> P

2m PH

{vVa( r u t i ) ^ o ( r 2, t 2))v

(2.19)

DAh) =

^

h(elPl, ... ,

esps)DPi ^

^ ^ (2.20)

P i ....... Ps

D P v a v ■■■• P s - as = = ( y4P, .0,(^1) • • •

Aps, as (4))r —

получим

благодаря

(2.15)

1 a

<?

S

(2.21)

p I.... Ps

Учтем здесь упоминавшиеся уже правила отбора, ис­

пользуя их для Dpv 0]. .... ps,as- Благодаря этим правилам,

суммирование в неравенстве

(2.21) надо вести только

по таким ри р2, ■■■, ps, для

которых система операто­

ров АРг о , .

. . , Aps,os может быть распределена на пары

Арг оЛьк, ч ,

причем-

pk = pj,

если

Oj = ak,

Pk = — pj,

если

Oj = — Ok-

Обозначим

? /,= ? .- Р/2 =

А,2. •••> Plslt = q*l2‘

Имеем

si2

s

J J (p'i + Mh) = Ц

t f + Mh)2 •