книги из ГПНТБ / Боголюбов, Н. Н. Метод исследования модельных гамильтонианов
.pdfпричем е О , V—>оо. Понятно, что бинарные средние, вычисленные по гамильтонианам Г и Га, имеют вид
(afaf)r = |
, + e [E<f)+"eW• |
|
|
(af'af}va= |
] + eE№ • |
||||
Возьмем какое-либо значение / = |
/0 |
так, чтобы |
|||||||
Тогда |
|
е <м |
= 4 |
|
- |
^ ° |
- |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
+ |
|
|
|
|
|
||||
<“/Л>г ~ |
<“Л ) г а = |
|
|
|
|||||
Положив здесь 0 — 2е > 0, |
найдем |
|
|
|
|||||
+ |
|
+ |
|
|
|
i |
t |
|
|
(afaf) |
— (о, о.) |
|
— ------ --------- . |
||||||
\ |
и У г |
\ |
т« У га |
|
1 + |
\Ге |
|
2 |
|
Таким образом, даже в рассматриваемом сейчас простейшем случае мы не имеем равномерности по от ношению к 0->-О предельного соотношения
+ |
+ |
(aiaf)r ~ |
(afaf>ra 0 при (/~*00 |
в области Е (f) = 0.
§ 8. Оценки асимптотической близости многовременных корреляционных средних
Перейдем теперь к рассмотрению «многовременных средних» и будем оценивать разности вида
<р, М |
У > г - <е , ,('■)••■ |
\ ( 4 ) > г ; |
Здесь принимаются следующие обозначения. |
||
1. Операторы |
входящие под |
знаком средней |
( . . . ) г, определяются уравнениями движения для га мильтониана Г с начальными условиями
Р/ (0) = Pf-
2. Операторы $t {t), |
входящие под знаком |
средней |
( . . . ) г , определяются |
уравнениями движения |
для га- |
1 а |
|
|
мильтониана Га и теми же начальными условиями.
60
Заметим, что операторы |
рt (t) |
для |
аппроксимирую |
||||
щего гамильтониана |
Г0 можно представить |
в |
форме |
||||
с явно заданной временной зависимостью |
|
|
|||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
«(/) = |
£(/)> |
если |
pf = .af, |
|
|
||
«(/) = |
— £(/), |
если |
Pf = |
4* |
|
|
|
a,f. |
|
|
|||||
Полагая выполненными условия 1 (§ |
1 главы |
1), |
уста |
||||
новим справедливость неравенства*) |
|
|
|
|
|||
KPf, ('■)••• Pf,e)>r -< P ,,(<.)■•• М ' А |
к |
|
|
||||
|
|
|
|||||
5-1 |
|
£ |
|
г -------— |
|
|
|
с т1 /2 1 '1 // - * / +>1 + 2 ^ +1к |
у |
еу +-%1, |
(1.75) |
||||
/=1 |
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
= V2M, { -§ - + ( К |
+ i L |
i l |
/ М , )2}'А(1.76) |
||||
( /= 1 , 2, 3, ...).
Заметим прежде всего, что поскольку оба гамильто ниана Г, Га не зависят явно от времени, обе рассма триваемые средние будут инвариантны по отношению к временным трансляциям
t-> t + т
с произвольным т. Взяв т = — ts, мы получим ситуацию в которой ts заменится на 0. Поэтому справедливость неравенства (1.75) будет доказана, если докажем нера венство (1.75) лишь для частного случая ts = 0. Учи тывая характер временной зависимости операторов pf (t) для аппроксимирующего гамильтониана Гя, видим, что
*) С переходом к «старым» ферми-операторам установление аналогичного неравенства сформулировано теоремой 1.2.
61
нам |
следует доказать неравенство |
|
|
|
|
|
|
<,+ •■■+“ (fs- i) г,-.} ^ |
... |
pfj>r |
< |
||
<Т1(^ |
{ |^J—^2 I + ••• + |
(s—2) 1^s-2 ^s-1 | + |
(s ~ |
!) 1^-1 1} + |
||
|
|
+ 2 |
eK+ - |
M 2 |
(1-77) |
|
Но так как |
4V |
|||||
|
|
|
|
|
||
|(Pfl( ^ . - . P f s ^ - ')P fs (0)>r - |
|
|
|
|
||
|
_ e- 4 “ (f .)+ -+“ (f,-.)f,- .)(p fi ... |
pfs) |
|
|
||
|
|
••• |
|
1 a |
|
|
|
= l(fif,(tO |
|
|
|
|
|
|
X e 4 “ (fi)fi+-” +“ (^ -1) ^ - 1} _ ( p fj |
... pf^ |
|
|||
|
if1№ ) ..- P f,- 1(^i)P f,(°)> r -<Pf, |
••• |
POr J ’ |
|||
где |
|
|
|
|
|
(1.78) |
|
PfW = Pf(0e,“ (f)', |
|
|
|
||
то неравенство (1.77) |
эквивалентно неравенству |
|
||||
| <Pf, (h) • • • Pfe_, |
p,s (0)>r - <p,, ... |
р,4>Гв I < |
|
|||
|
+ ••• + ( S _2)|^_2—^ - l| + |
(s— |
|} + |
|||
|
|
+ 2^ +1k Y * y + W - |
( L 7 9 > |
|||
Нетрудно убедиться, что это неравенство (1.79) будет доказано как только мы установим, что
|<Pf, (^1) • - ■Pfs_, ( ^ - 1) Pf,(°)>r — |
|
|
|
-<P f.(°) ... |
Pfs_,(0)Pfs(0))r | < |
|
|
< лР {I f, - M + • • • + (s - |
2) I |
I + (s - 1)! |
I}. |
|
|
|
(1.80) |
62
Действительно, |
если |
справедливо |
неравенство |
(1.80), |
|||||
то левая часть |
неравенства |
(1.79) будет |
меньше левой |
||||||
части неравенства (1.80) плюс выражение |
|
||||||||
№ ,(< » ••• |
Pf,(°)>r — <Pf, |
К ) т | = |
|
|
|||||
I |
|
|
|
|
|
а I |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |(Pfi ••• Pf5>r — <Pf, ••• |
Pfe)r |> |
|||
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
Аa I |
которое, |
в силу |
неравенства (1.74), будет |
|
||||||
|
|
|
|
—+i |
М 2 |
|
|
||
|
|
|
< 2 2 |
К Y |
<v+ 4V • |
|
|
||
Для установления неравенства (1.80) заметим, Что |
|||||||||
К М ') |
••• |
Pfs-,« -')P r,« 4 > r - |
|
|
|
||||
|
|
- < P f,(« ...3 f,.,(0 )p ,,(0 ))r )| = |
|
||||||
S—1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
S |
{<Pf, (ti) . • • |
Pf/ (*/) Pf/+1 (*/-h ) ... |
Pf, (0)) |
- |
|||||
7=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~(Pf, (^/+l) |
••• |
P/(^+l)P/ +l(^/ +l) |
••• |
Pfs(°))p} |
< |
||||
|
|
|
(s-1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/=1 |
|
|
|
|
|
, (1.81) |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ввиду чего |
|
Я /= |
Р,/+1 (*/+,) ••• Pfs(°)> |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Но так |
как |
|
|
51/31/ < 1 . |
|
|
(1.82) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
‘/+‘ |
rfpf, (0 ... pf/ (0 |
|
|
|
|
|
|||
dt (- |
dt |
|
я <)Г |
|
|
|
|
||
с / |
|
|
|
|
'/ +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<У J |
Л ( Р г , ( 0 — . . . |
9 1 , . / ) ; |
||||
где |
|
|
|
4=1 |
|
|
|
|
|
|
%■*/ = |
|
|
|
|
|
|||
|
|
Pf?+1 (*)... pf/( № |
|
|
|||||
63
и из (1.82) ясно, что
<21,, Д ,./> < !,
то
rfpf (О
IГ
'-Pfi (^) • ' • |
J t |
^ |
Отсюда, приняв во внимание неравенство (1.80), получим
|(Pf,( M ••• Pf,_1(fs - l)Pfs (0))r - < t i fl (0) . . . Pfs_ , ( 0 ) P f s (0))r | <
s-l |
/ |
4 +1 |
I / |
/_ |
dPf.W |
(0 |
+ |
'' |
|||||||
< 1 |
1 |
|
1 |
< p , , w . . . - 4 --------. Pf. fo/r |
Л |
||
/ = I |
<7=1 |
|
|
|
|
|
|
Обратимся теперь к уравнениям движения (1.20), (1.22) для гамильтониана Г и представим их в форме
|
dfit (t) |
|
|
(t), |
(1.83) |
|
|
_ ^ |
- + m (/)pf {t) = Zf |
||||
в которой |
Zf = — iR{, если |
pf = |
af, |
|
||
|
(1.84) |
|||||
|
|
+ |
если |
pf = |
+ |
|
|
Z f — iRf, |
af. |
|
|||
Поэтому для функций (1.78) получим |
|
|
||||
|
|
d$f (t) |
^ Z f (t)e^f>K |
|
(1.85) |
|
|
|
^ L L |
|
|||
Имеем, следовательно, |
|
|
|
|
||
(pf W ... |
dt |
dt |
m ) |
_ |
|
|
. . . P ^ Vr — |
|
|
||||
= |
(Pf l W |
Zfq( t ) h q(0 |
. . . Pf. (0)r = |
|
||
=(pf,(0) ... Z iq(0)Zfq(0) ... pf(0))r =
—<pf, • • • z fqz fq ■• • Pfj)r -
64
Учтем теперь нагни неравенства П.37), (1.38). Поскольку
ZfZf = RfRf при RfRf,
убеждаемся, что
$ f (/) dPf (/) 'Q_____О__
dt dl
Таким образом, из неравенства (1.83) найдем
№ ,№ ) ••• Pi._,WPis (0))r -
- ((>,, О) • • • Pi,., (0) Pi. (0» г | < У < ’/ 11, ~ (,+, | •
Соотношение (1.80) доказано, а тем самым завершено доказательство неравенства (1.75).
Из неравенства (1.75) видим, в частности, что схо димость
|
|
Of, |
(*) |
• • • |
Pfs (ts))T - |
(Pf, (/.) . . . |
Pf, (ts))T 0 |
|
||||||||
при |
V —>oo |
имеет место |
равномерно |
по |
отношению |
|||||||||||
к |
/2, ...» ts в области, |
в |
которой |
их |
разности |
огра |
||||||||||
ничены *) |
|
|
\ t , ~ t l+ ] |< S . |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
*) Чтобы интуитивно выяснить причину отсутствия равномерной |
||||||||||||||||
сходимости |
по |
отношению |
к t h |
t2........ ts |
во |
всем |
пространстве |
|||||||||
точек б, • • |
•, П- |
|
|
пример, когда |
|
|
|
|
|
|
||||||
Рассмотрим простой |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
причем |
|
|
|
|
г |
= |
г |
а |
+ г |
ь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
r a = |
1 i E ( f ) t fa,. |
r , = |
I j eV |
f ’ |
е > 0 ’ |
е ~>0 |
при |
|
||||||||
|
|
г |
|
I I |
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получим в этом случае |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
(af(4 )af(^))r |
|
|
|
|
1 |
|
J |
<E(f)+e} (t,-t2) |
|
|||||
|
|
|
1+ e[E(f)+e]|9 e |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
(a.f (<i) “f (^))rQ |
|
1 |
|
r iE(f) |
6 -6 ) |
|
|
|||||||
|
|
l +eE(f)/ee |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Отсюда |
видно, |
что |
обе |
эти |
средние |
могут |
быть близки |
друг |
||||||||
к другу, лишь пока |
величина е | 6 |
— t 2 1 мала. |
|
|
|
|||||||||||
3 |
Н. Н. |
Боголюбов (мл). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
бб |
||||
(Здесь S — любая фиксированная постоянная, разу меется, не зависящая от V.)
До сих пор мы рассматривали средние, составленные
+
из произведения операторов af (t'), af (t"). Перейдем
теперь к рассмотрению средних, составленных из произ
ведения «первоначальных», «старых» ферми-операто-
+
ров <2/, af.
Мы будем иметь дело со средними типа
(Aft (ti) • ■■Afg(ts))r,
(Aft (ti) • • • |
Afs (4)) , |
|
где |
1a |
|
+ |
||
Af (t) = af (t) |
||
или af (t). |
Здесь ферми-операторы Af (t), входящие под знак средних
( - - Ога.
определяются уравнениями движения соответственно для гамильтонианов Г, Га.
Заметим, что благодаря соотношениям (1.18) Of (t) = и (/) af (t) — v (/) a_f (t),
a; (t) = и (/) af (t) — v (/) a_f (t).
Запишем эти канонические и—и-преобразования в сокра щенном виде
Здесь |
Af(t) = иi (f) Pf, i (/) -ф и2(/)Pf, 2 (/). |
(1.86) |
|
U .(/)l2 + I M f ) P = l , |
|
||
и потому |
|
||
|
|
|
|
|
2 I Mv(/) к |
V2. |
(1.87) |
|
V=l,2 |
|
7 |
Используя |
соотношения (1.86), |
получим |
|
( А ф ) ... |
Л^(4))Г - < Л ?,(4) ... |
Л^(4))г = |
|
|
s |
1 а |
|
|
|
|
|
“ Д |
... Pfsvs(4))г |
||
|
“ |
Ю • ' • |
Pfs'Vs &)>rJ - |
66
Отсюда, на основании (1.75) и (1.87), убеждаемся, что
| (Л?] (*,) ... |
Afs (ts))v - < A,t (U) ... Afg Ш ) Га| < |
I.S-l)
<1 < ’ 52 i U i - t l+l i +
^Y+1 |
K y ev + |
M2 |
|
|
|
|
||
+ 2 2 |
4V |
П S K W K |
|
|||||
|
|
|
|
/=1 |
v/=l,2 |
|
|
|
s |
<s '* |
|
|
|
|
— i |
/-------- |
|
- ( |
}\tj- |
t/+ , |
|
M2 |
||||
< 2 2 |
If*'V |
|
2 |
|
||||
M |
|
|
|
|+ 2+ /Cj/e„+ - |
||||
|
/=i |
|
|
|
|
|
|
4V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, нами доказана следующая |
|
|||||||
Т е о р е м а |
1.2. При условиях 1 (см. стр. 35) имеет |
|||||||
место неравенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь для К всегда можно взять значение (1.56). Если
E ( f O > Y, |
E(fs) > у, |
то для К можно принять выражение (1.57).
3*
Г л а в а 2
ПОСТРОЕНИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ОБОБЩЕННЫХ ПРЕДЕЛЬНЫХ СООТНОШЕНИЙ ДЛЯ МНОГОВРЕМЕННЫХ КОРРЕЛЯЦИОННЫХ СРЕДНИХ
Во второй главе, существенно основываясь на резуль татах главы 1 и доказанных в ней теорем, будут по лучены обобщенные предельные соотношения для много временных корреляционных средних, Г-произведений, функций Грина. Последовательные выводы нахождения обобщенных предельных соотношений резюмируются теоремами.
§ 1. Правила отбора и вычисление средних
Займемся сейчас правилами отбора для средних, рассматривавшихся в § 8 главы 1, т. е.
(^f, (*<) • • • Afs (^))-
Как уже отмечалось, при нечетном s эти средние тож дественно равны нулю.
Сформулируем теперь более жесткие правила от
бора. Возьмем операторы |
|
|
Ч |
+ |
+ |
~ |
a-faa-f |
|
и заметим, что их |
разность |
|
|
( Ч — n-f,) |
(2-1) |
коммутирует при любом значении /0 со всеми опера
торами вида |
+ 4- |
3- |
|
afOf, |
a_faf, |
68
Поэтому операторы (2.1) будут коммутировать с модель ным Г и аппроксимирующим Га гамильтонианами и, следовательно, будут для них интегралами движения.
Введем унитарные операторы:
Uh = ijh = e- ‘<PK-"-f0)i
где ф — произвольное вещественное число. В силу только
что показанного |
u hT, |
|
r u h = |
|
|
и потому |
(7foe~r/e. |
|
e~vieUf, = |
|
|
Можем, следовательно, написать |
|
|
SpM. (/,) ... Af |
(ts)e- vl*U'Uf } |
|
Afa(t,))T = - ± ± ------- ^ |
^ |
|
sp { V fl (M ••• \ ( 1*)е- г/9иь) |
||
Sp e - r / 9 |
|
|
Sp |
|
_ |
Sp £>-r/e |
|
|
= (Uf Afi |
/lff(/.)£/f0>r . |
|
Но ввиду унитарности имеем тождественно:
(C f/f, (Л) ■• • Af,Vt) Cf,)r =
... (5 ,Д ,,Й ) Г ,,)) Г.
Таким образом, нами доказано, что при любом зна чении f0
(y4f,(/i) . .. Л?х(4))г =
^ {{Uf Afi(U)Ufo} ... {UfoAfs(ts) U fo))r . (2.2)
69