книги из ГПНТБ / Боголюбов, Н. Н. Метод исследования модельных гамильтонианов

+ оо

Г /+ (<о)(1 + e ffl/0)rfco< 1.

(1-48)

•'

в, в

+"

1

— e

0

/ fifco

(1.49)

/+

N i l

—00 а/,, В

+°°

a-E(f)

f 1/+

N 1

1 — e

0

da.

(1.50)

J

Of, в

—00

/

Заметим здесь,

что если

то

« > £ ( /) ,

( о - Е (f)

<о—В (f)

1 — е

9

0

-1 <

®-Е (f)

,

г- .... И

<

ta-£(f) е

6

(ю ~

1/)) с я

е

поскольку всегда, по определению,

Далее,

если

£ (/)> 0 .

(1.51)

со < £ ( /) ,

то

a>-E(f)

{Я (f)—од}

£ (D - а>

1 — е

0

— 1 — е

0

Таким

образом,

всегда

<д-Е(п

1 — е 0

< -|с° ~ £(Ж (1 + е ^ ,

ввиду чего из (1.50) вытекает

+00

D

\ ^ j I

| / +

(со) | • | со — £ (/) | • (1 + е“ /е) с?со.

— 0 9

а*, В

4

лучим

_______________________________

I ^ K - g - l /

f

и

(со)(со — Е (f))2(1 +

еш/е) da> X

Y

-о.

af’af

+°°

/

(*

/+

(Сй)(1 + e^)d<0.

~io

в’в

лучим поэтому

____________

M i( e ,+ 4 * f ) .

(1.52)

§ 5. Замечание

I

менатель, то такой

оценкой нельзя пользоваться для

рассмотрения перехода к нулевой температуре

0 —> О,

даже если ек ->0

(F-»oo) (равномерно

по отношению

к 0->О).

Пусть теперь для рассматриваемых /

£ ( / ) > Y,

(1.53)

м - Е (f)

^ \ф - Е( П\ ст ст ( | у- д <f>)

1 — е 6

Кроме того,

(о-£ (f)

1— е 6

для значений

c o < £ ( / ) - f у.

Таким образом, из (1.50) находим

оо

| £ > | < f

J+ И | c o - £ ( f ) | e “ /0 rfco|e-v/3e +

J

а ,.В

D

■2

аГВ

E ~ j V

4 v

+

da,

«р В

2V

*

J+

(ш) da ^

2Мх [ev -f-

ас*,, ас*

( 2 Y / 3 ) 2

~оо

I I

Поэтому получим

/

<BS>r +

^

г J X

X

) / 2Mj (еи + - § - ) ,

откуда учитывая,

что

(£В +

В5)Г< 1 ,

I

D I

7

1

+Ж

Но, как

видно,

х2е~х

(2/е)2, и потому

- L

е - 2V/30 _

/ j?X Y е -2у/3в

3 \2

/ 2 \2 / з

\2

02е

\30/

57)

< Ы

(тг V

Таким

образом,

окончательно

2у /

2 +

2 ( | ) г/ м

, ( е , +

_Мз.

(1.54)

47

Неравенства (1.52), (1.54)

объединим

в

форме

I

D I ^

ет +

Мо

(1.55)

к

у

■4у .

где постоянную

/(

всегда

можно

взять

в

виде

(1.56)

K = A {2M , +

2 ( f ) ! M,}1'! .

(1.57)

Это последнее значение К,

как видно, уже вообще не

зависит

от температуры 0. Итак, можем написать

(а,В)г -

е~Е<№(Ва)г | < К л / е у +

М2

47

Отсюда

следует

неравенство

| (1 + е~Е(W0) (afB)r - е~Е

fB + Baf)r | <

К

Еу +

м 2

27

Рассмотрим

прежде

всего

операторное произведе­

ние вида

+

+

U = а,

... а. й.г .. . а,/,

в котором

М

'к

Ч

'<7

k > q ^ t 0,

k + q — четное

число.

Предполагается,

разумеется,

что

все

f{ между

соб й

различны

также,

как

и

поскольку,

иначе,

U будет

•тождественно равно нулю.

4-

Теперь, раз число операторов рождения а в данном

произведении больше

числа

уничтожения а, то обяза-

о

среди

них

такой

оператор

+

,

что

тельно найдется

индекс

не равен

ни одному

из

индексов /' . . .

f'.

Но

тогда мы можем написать

4

U — а.чВ,

где В — операторное произведение

остальных

операто­

+

+

а.чВ +

Ва,ч =

0.

"Воспользовавшись неравенством

(1.58), получим нера­

венство

+

' ‘

м 2

Ч “Л

(1.59)

\ ) Г| < /С V 8Г + 47

(£><7 ^ 0,

k -j- q — четно).

Возьмем обратный случай. Пусть

+

U ■a .

• af‘ka f

{q > k ^ O , k + q — четно).

Имеем

+

+

а >а

. . . а ,

U.

а

f\

ffe

ft

и для U можем опять воспользоваться неравенством

(1.59). Но так

как

то

1<£л>г|<|<с/>гНоЬг|.

+

д —

+

М.

о

а

а

(1.60)

■\

\

<

« v

\ +

i r

(q >

k ^

0, k +

Ц четно).

Рассмотрим

теперь случай, когда

U

+

а

а >

. а •

; сс.

'& ч

Если в этом

произведении

среди индексов / 1г. . fk

есть хотя бы один индекс ft, который

не равен ни од­

ному из /(, . . . ,

f',

то тогда

аналогично

имеем

и = а,В,

а , В - \ - В а , — 0.

ч

ч

и

И из неравенства (1.58) опять следует

+

(1.61)

afkUh

(если один из

индексов

Д........ fk

не равен

ни одному

аппроксимирующего гамильтониана

Г„.

Следовательно, неравенства (1.59), (1.60), (1.61) можно

переписать в виде

______ _

| ( . . . > r - ( . . . > r j < ^ | /

(1-62)

Pf •• • Pf

(s — четно),

все

операторы рождения стоят

слева, а все опера­

торы

уничтожения справа), нам

останется рассмо­

в которых каждый из индексов

. .. , fk равен одному

из индексов

/(, ... , f'k. Но такие

произведения, оче­

видно, можно

привести к виду

+

+

+

\ Bk + Bk \ = a,'fta.'fta,'ft—i ...

aeоa,*i ... V , +

+ +

+

+ V f . V ,

affiaf,

( \ Ь Х

1 + е£(Д)/е

(1.65)

Но, очевидно,

Кроме того,

+ е‘Mf,)/0 ~ ( ahaf)T

<Я*>г ~

= 0 .

( 1.66)

r«

1 + / W / 6

^ ~2 |

( ^ f t - i ) r e | + К ~\/~ev +

• (1 -67)

Из неравенства (1.65) следует, что

|<3li>r-C*.>rJ <

t f - | / ^ v + W -

(1-68)

Из неравенств (1.67) и (1.68) вытекает

I<я*>г - (Ht)r> | :< к

/ г г +

«X {1 + 1 +

... + ( ! ) ' ' ' } <

Итак, резюмируя вышесказанное, мы

убедились, что

для произведений

...

р. ,

(1.69)

Т1

>S

равнялся бы одному из индексов /[,

f'k.

Представим рассматриваемое операторное произве­

дение в виде

В,

(1-71)

В.

раторов

нетрудно заметить,

что

Bf всегда

можно при­

вести к одной из следующих форм:

Вс, = ±

Вг — ±

af„

B y = ± Cly-Cly,

(1.72)

в г

± а , а , =

± (1

V V )’

(1.73)

оставляя

в стороне

тривиальный

случай,

когда Вг то­

поскольку все индексы

различны между собой,

и только в случаях (1.73) Bf

состоит из суммы двух

членов.

исследуемое произведение, будет равно 2?, где

q —

число Bf, имеющих форму (1.73).

воспользовавшись

Но, очевидно, q^.s/2. Поэтому,

неравенством (1.70) для каждого из

«правильных

про­

Т е о р е м а

1.1. Пусть выполнены условия 1 (см.

§ 1 главы 1);

тогда для разности одновременных сред­

к- = ^ { м ‘ +

^ м < Т ■

если все значения fu

f2, . .. ,

fs лежат здесь в области,

в которой

E( f ) > у.

З а м е ч а н и е II.

Заметим, между прочим, что

самом деле всегда стремится к

нулю при V —>оо

равномерно по отношению

к 0 (0 >

0) даже в области,

где E(f) = 0, а отсутствие

такой

равномерности обу­

Чтобы интуитивно

понять причину отсутствия равно­

мерности по отношению к 0

в области, где £(/) = О,

возьмем тривиальный

пример:

где

Г =

Г7+

Г1,

r a = V £ ( f ) a f«f, E (f) =

f

■v

+

Гх =

e > О,

ecifa,f,