книги из ГПНТБ / Боголюбов, Н. Н. Метод исследования модельных гамильтонианов

f

< (/а - CJ (Ув - Са) + ~ V | Ла (/) р.

Поскольку

40

§ 3. Дополнительные неравенства

Прежде чем приступить к установлению оценок для разностей средних, взятых по гамильтонианам Г и Г„, нам надо еще получить неравенства для выражений вида

41

Чтобы рассчитать эту разность, рассмотрим отдельно два случая:

Ясно, что в сумме (1.35) остаются лишь члены, в кото­ рых f ~ f j или — / = //• Получим

а Bj получается из произведения (1.33) заменой |3f. на выражение (1.34), видим, что

4?

Применяя это неравенство к средним (1.31) с учетом

43

откуда

a 4/= I ' /=1

Таким образом,

<Р/, ••• Pf/f^fPfe ••• Pf,)r <

Mr,

< 2 P ( f ) ( - ^ f + ( v 4 + - f

41/

Теперь, после установления неравенств (1.30), (1.37), (1.38), мы можем уже перейти к доказательству асимпто­ тической близости средних для гамильтонианов Га, Г.

§ 4. Оценки для разности одновременных средних

Прежде всего займемся вопросом об «одновремен­ ных средних» и получим асимптотические оценки для разностей вида

Заметим, что эти разности следует рассматривать только при четных значениях s. При нечетных s оба члена в (1.39) тождественно равны нулю. Действительно, оба гамильтониана Га, Г инвариантны по отношению к кано­ нической замене ферми-амплитуд:

+ +

af, af -> — af,

т. е. в амплитудах a

+ +

—с о af —> — a,f.

Поэтому

'Pi‘s)/г , г

откуда и следует сделанное нами замечание. При нахождении оценок для рассматриваемых разностей

44

основное значение имеют спектральные представления [46—53J для двувременных средних:

оо

(Л (/) • В (т))г = [ JAiB{®)eia{t- v da,

(1-40)

(В(х) ■A(i))r = С /д, в (со) еа/веш' {t~v da,

где A(t), В(т) — некоторые операторы в представлении Гейзенберга, определенные как функции времени урав­ нениями движения:

Заметим, между прочим, что мы используем данные спектральные представления только при фиксированном объеме Г, а в этом случае гамильтониан Г имеет

Входящие в (1.40) интегралы оказываются, следова­ тельно, дискретными суммами.

Особое значение для нас, впрочем, имеет не деталь­ ная структура функции так называемой спектральной интенсивности JА, в (со), а лишь ряд свойств таких спектральных интенсивностей, которыми мы будем здесь

*) Это обеспечивается условиями 1 (пункт 4 главы 1, § 1).

45

постоянно пользоваться. Мы имеем ввиду следующие общие соотношения:

J+ (со)>0,

А, А

-fоо

Рассмотрим специально спектральные представления:

46

Проинтегрируем это равенство no t и т соответственно по интервалам (t, / -f- А), (т, т + А), где А — произволь­ ное число. Получаем

X {eiE(f) <Т+Д)а^ (t + A) — e‘E (f>xaf (т)})г_

Но правую часть этого равенства можем определить также из формулы (1.43). В результате получим

Iл «в-я №) д _ 1 I2

/+ (со)^Ц----- — _ L L e<to-B (/))(<-!) rf(B==

—оо I I

-f-оо

= Г / + ( и ) 1 е П « - в < 0 ) А — 1 |2 e i ( c o - f i ( f »

-00 “f af

Поскольку это равенство имеет место при произволь­ ных значениях (/ — т), мы видим, что

47

П оэтом у, на основании (1.42):

Jat, a?

-OO / '

Принимая во внимание неравенства (1.30), убеждаемся отсюда, что

-J-oo

+

расположенных в «правильном» порядке, т. е. все а} стоят слева, а все су справа:

и установим ее асимптотическую малость.

Как мы далее увидим, отсюда сразу же будет выте­ кать асимптотическая малость разностей (1.39).

Заметим предварительно, что нам надо рассматри­ вать только такое положение, когда все /у между собой

различны, так же как и все f'k между собой различны,

поскольку в противном случае В окажется тождественно равным нулю. Но в такой ситуации, учитывая нечет­ ность полного числа операторов |3/ в произведении В, всегда справедливо хотя бы одно из следующих утвер­ ждений:

48

из индексов f остальных операторов |3?, содержащихся в В. 2) В операторном произведении В имеется один

оператор af такой, что индекс fh не равен ни одному

из индексов / остальных операторов (if, содержащихся в В. Пусть справедливо, например, утверждение 1). Мы

можем написать тогда, что

B = af.W,

где W — произведение остальных (5f, имеющихся в В:

Поскольку число операторов, входящих в W, четно,

а их индексы f все отличны от /., мы видим, что af

должно коммутировать с W:

В = af.W = Waf..

Произведя сопряжение, найдем также

В = Waf. = a fW.

С другой стороны, из (1.47) сразу же следует, что

Совершенно аналогично убеждаемся в справедливости этого операторного неравенства и в случае 2). Таким образом, всегда

49