книги из ГПНТБ / Боголюбов, Н. Н. Метод исследования модельных гамильтонианов

в котором

f

ar a„ _ fc — ферми-амплитуды, m, p и g — положительные постоянные,

f = (p, <*),

где а — спиновый индекс, принимающий значения ± 1/2. Входящая в (1.2) функция

l(f) = X(p, а)

вещественна и непрерывна в сферическом слое

(где Л — некоторая положительная постоянная) и равна нулю вне его; кроме того, Я(/) обладает свойством антисимметрии

X ( - f ) = - l ( f ) , - / = ( - / > , - < у).

Отметим, наконец, что в суммировании «по (f)» компо­

Квазисредние для гамильтониана Н вводятся как пре­ делы обычных средних для гамильтониана Г при V -> оо с последующим предельным переходом:

{...}я = Пт Нт ( . . . ) г.

v-»0 У-»°о v>0

30

В наших работах [15, 41]*) было показано, что кор­ реляционные средние простейшего бинарного типа

(af(t)af (т))г, <а,(/)а_,(т))г, (a_f (t) af (т))г

асимптотически (V —>■оо) близки к соответствующим сред­ ним, взятым для «аппроксимирующего гамильтониана»**)

Га {С) = Т — 2Vg (С/ + CJ - СС) - vV {] + /) =

= T - 2 V g { ( c + - £ ) j + ( c + - £ ) j } + 2 V g 6 c .

Входящая сюда величина С определена из условия абсолютного минимума свободной энергии

f (Га (С)} = min

во всей комплексной плоскости С.

Поскольку Га(С) является квадратичной формой по отношению к ферми-амплитудам, то этот гамильтониан

**) Существует также и другой подход: сразу иметь дело с бес­ конечным объемом и исследовать соответствующие модельные си­ стемы. Математические аспекты такого подхода в связи с изуче­ нием равновесных свойств изучались в работах Д. Кастлера [60], а также в работах Хаага, Гугенгольца и Виннинка [61] с помощью методики С *-алгебры. В работах Д. Я. Петрины в пространстве

трансляционно инвариантных функций изучалась модель БК.Ш [56].

31

В новых ферми-амплитудах гамильтониан Га(С) при­ мет вид

так что свободная энергия на единицу объема, вычи­ сленная на основе этого гамильтониана, будет

f {Га (С)} = 2gCC - ± г У {Е (/) - Т (/)} -

Отсюда видно, что рассматриваемый абсолютный ми­ нимум функции /{Га(С)} комплексной переменной С реализуется при вещественном значении С и притом таком, что

c + i > ° -

Как и везде, в настоящей работе, «интеграл по /» обо­ значает интегрирование по р и суммирование по а:

J = ^ j dp

32

Значение С(0 ) > 0 выбирается как число, дающее абсо­ лютный минимум функции:

что разности бинарных средних, построенных на основе модельного Г и аппроксимирующего Га гамильтонианов,

{af (t) ач {х))г

,- е ш/е

=u (f)v (f)\eiEif)it- X)-l + e - E m — e-iE (f) (t-г). 1+e-£(f)/e j'

Таким образом, функции (/), стоящие в правых частях (1.9), в которых положено

v = О, С = С(0),

и будут представлять соответствующие квазисредние

для бинарных выражений указанного выше типа. Для их доказательства нам пришлось предварительно пока­ зать, что

{ ( J - C ( V , v ) ) ( J - C( V, v)))v -> 0 при К— оо, (1.10)

и затем установить предельные соотношения (1.9а). Следует подчеркнуть, что вопрос об исследовании си­ туации с более сложными средними не решался в цити­ рованных работах.

К тому же доказательство свойств (1.10), (1.7) было построено на специфических особенностях гамильто­ ниана (1.1) и не поддавалось распространению на мо­ дельные гамильтонианы более общего вида.

В нашей работе [36] был построен новый метод, поз­ воляющий распространять вышеупоминавшиеся резуль­ таты на случай многовременных средних, составленных из ферми-амплитуд или полевых функций и притом для модельных гамильтонианов более сложной структуры.

Если бы мы пожелали приложить этот метод к ис­

34

Однако мы не будем сейчас заниматься только таким гамильтонианом.

Как будет показано в следующих главах, при гораздо более широких условиях, модельные гамильтонианы с выбранными надлежащим образом членами с источ­ никами можно также привести к форме подобной (1.11).

Мы приступим сейчас к рассмотрению ситуации, когда

f

Здесь суммирование no (f) идет по уже упоминавше­ муся «квазидискретному» множеству, которое будем называть множеством Фу.

Эту модельную систему будем рассматривать при следующих условиях, которые будем называть усло­ виями 1.

2а Ю Л М / ) \2=P( f ) *)

сходится равномерно в Ф и представляемая им функ­ ция P(f) удовлетворяет неравенствам

P ( f)< Afj = const, у- ^ P ( f ) ^ M 2 = const.

*) a — принимает целые значения (неограниченное суммирова­ ние по а).

причем

ev —.>0 при F->oo.

4. Функция Q(f) и постоянные Са удовлетворяют

При наличии этих условий докажем ряд теорем об асимп­ тотической близости средних, взятых соответственно по гамильтонианам Г и Га.

В следующих главах мы будем приводить исследуе­ мые модельные гамильтонианы к виду (1,14), (1.15) и, как только мы установим справедливость условий (1), мы тем самым сможем воспользоваться теоремами,

кдоказательству которых сейчас и приступим.

§2. Уравнения движения и вспомогательные операторные неравенства

Прежде всего обратимся к уравнениям движения для модельного гамильтониана Г. Имеем

da

а}Г — Га

dt

Т (f)af — Q (/) a_f - Y i GaK ( f ) a - {(Ja - C a). (1.16)

*) Это последнее условие не является, по существу, ограни чительным. Всякая сумма вида

антисимметричной по отношению к отражению / -> — /.

36

Производя сопряжение и заменив f-> — найдем также

+

i % f = - Т (/) a . f- Q (f) af—V Gai a(/) (/„ - Ca) af. (1.17)

a

Как видно, два первых члена в правых частях этих уравнений происходят от так называемого аппроксими­ рующего гамильтониана Га. Но этот гамильтониан можно диагонализовать посредством канонического и — ^-преобразования

E ( f ) = V T 2(f) + \Q(f) I2.

В результате этот гамильтониан приводится к виду

2 Е (/) afaf + const.

Отсюда, учитывая уравнения (1.16), (1.17), будем иметь

37

'a

№ = I i G aK( f ) af (Ja- C a).

a

Поскольку нашей целью является сравнение различных величин для гамильтонианов Г и Га, нам естественно

надо будет как-то оценить асимптотическую малость

+

«поправочных членов» Rf, Rf, для чего придется прежде

всего установить ряд операторных неравенств. Покажем, в частности, что

38

39