книги из ГПНТБ / Боголюбов, Н. Н. Метод исследования модельных гамильтонианов

В пятой главе рассмотрен способ вычисления квази­ средних для модельной системы с четырехфермионным отрицательным взаимодействием. Особенность этого подхода, который не предполагает дополнения основной системы членами с «источниками», состоит в специаль­ ном исследовании модельной системы с помощью вве­ дения «приближенно коммутирующих» ферми-опера- торов. Такой подход вычисления квазисредних, как показано в работе, является вполне реальным. Попутно предложены примеры вычисления квазисредних.

Итак, в заключение отметим, что в этой работе была решена сложная проблема построения мажорационных оценок для многовременных средних в случае модельных систем с четырехфермионным взаимодей­ ствием достаточно широкого класса. Предложенные в работе методы решения этой проблемы несомненно найдут применение не только для рассмотренных здесь модельных систем, связанных с теорией сверхпроводи­ мости. Теоретические методы, развитые в главах 1 и 2, применимы к гораздо более широкому классу модельных систем статистической физики и теории элементарных частиц.

§ 2. Замечания о квазисредних

Поскольку мы в дальнейшем будем употреблять выра­ жение «квазисредние», предложим вводный раздел без надлежащей «математической обоснованности», пояс­ няющий физический смысл понятия «квазисредние» [42] и его связи с вопросом вырождения состояния ста­ тистического равновесия. Отметим, что предлагаемый раздел носит ознакомительный характер и прямого отно­ шения к основному тексту глав (1 — 4) не имеет.

Здесь мы поясним физический смысл «квазисредних», введенных в работах Н. Н. Боголюбова [10, 11], на ряде несложных модельных примеров, заимствованных из статистической физики.

Рассмотрим сначала понятие вырождения состояния статистического равновесия. Отметим, что понятие вы­ рождения хорошо известно в квантовой механике [43].

При рассмотрении задач о нахождении собственных волновых функций в квантовой механике поясняется, что теорию возмущений в обычной форме, разрабо­ танной для задач без вырождения, нельзя применять

20

к задачам, имеющим вырождения. Для этого ее следует видоизменить.

В задачах статистической физики в связи с нали­ чием аддитивных законов сохранения всегда имеют место случаи вырождения.

Однако на первый взгляд может показаться, что в этих задачах вырождение неэффективно и его практи­ чески можно не учитывать. В самом деле, в отмеченных задачах квантовой механики одному собственному зна­ чению энергии может соответствовать линейное много­ образие из рассматриваемых собственных функций; собственные функции в таком случае содержат неопре­ деленные постоянные.

В статистической же физике среднее значение любой динамической величины 21 всегда определено однозначно:

Sp 9Те~я,е

функции Грина Г-произведения должны определяться однозначно.

Отсюда и может показаться, что при изучении со­ стояния статистического равновесия, скажем, с помощью диаграммной техники, можно не принимать во внимание наличие вырождения. Однако в действительности си­ туация выглядит сложнее.

Чтобы составить интуитивное представление о ха­

где f — пространственные точки, соответствующие узлам решетки (лежащие в объеме V), S f — операторы спина электрона в узле /, /(/, —/2) — обменный интеграл. Для определенности положим: /(/) —/2) ^ 0 для всех flt /2.

Заметим, что для системы (23) каждая из компонент суммарного спина

21

Учитывая перестановочные соотношения (25), за­ пишем

i sp (s(sV ",e)= Sp {(S*S" — SySx) e~Hie).

Но поскольку Sx коммутирует с H, получим

Sp(SyS V H/e) = Sp (sye~HI°Sx) = Sp (SxSye~H/e),

и потому

S p ( s V " /e) = 0.

Повторяя это рассуждение для компонент Sy, Sx, найдем

Введем вектор намагничения, отнесенный к единице объема V:

Tla = n ^ ^ S f = n - ^ S a. f

ческой системы по отношению к группе вращения спина. Подчеркнем, что выражение (27) справедливо для всех температур 0, в частности и для температур ниже точки Кюри. Однако известно, что при температурах ниже точки Кюри магнитный момент системы отличен от нуля, хотя направление его может быть взято про­ извольно. В этом смысле состояние статистического

22

Принимая во внимание характерное свойство изо­ тропных ферромагнетиков при температурах ниже точки Кюри, видим, что

где Mv будет стремиться к конечному пределу (отлич­ ному от нуля), когда интенсивность v внешнего маг­ нитного поля стремится к нулю.

Таким образом, мы имеем в этом случае «неста­ бильность» обычных средних — при добавлении к га­ мильтониану (23) члена v • (e9)t) V с бесконечно малым

значением v *) среднее (3№“) претерпевает конечное, отличное от нуля приращение:

ет (т = lim Mv).

v-*0

Введем для системы с гамильтонианом (23) понятие «квазисредней».

Возьмем динамическую величину А, являющуюся линейной комбинацией из произведений

Определим квазисреднее <Л )> от этой величины, по­ ложив

<Л > = Нт (4)w,

v-»0

Понятно, что для описания рассматриваемого случая вырождения состояния статистического равновесия ква­ зисредние более удобны, более «физичны», чем обычные средние. Эти последние представляют собой те же квази­ средние, только усредненные по всем направлениям е.

*) Когда мы говорим о бесконечно малом v, мы подразумеваем, что сначала проводится предельный переход статистической меха­ ники V -><х>, а затем v устремляется к нулю.

23

Обычные средние

(32)

должны быть инвариантны по отношению к группе вращения спина.

Соответствующие квазисредние

(33)

будут обладать лишь свойством ковариантности — при вращении спинов надо подвергнуть такому же вращению

отбора, которые для обычных средних обуславливались их инвариантностью по отношению к группе вращения спина. Как видно, орт е — направление вектора намаг­ ничения — характеризует вырождение рассматриваемого состояния статистического равновесия. Чтобы снять вырождение, надо зафиксировать направление е. При­ мем за это направление ось z. В этом случае все квази­ средние станут определенными числами. Именно с та­ кими средними имеет дело теория ферромагнетизма. Другими словами, для того чтобы снять вырождение состояния статистического равновесия по отношению к группе вращения спина, следует включить в гамиль­ тониан Н неинвариантный дополнительный член v2JtzV с бесконечно малым v. В рассмотренном примере изо­ тропного ферромагнетика возмущающим членом была энергия взаимодействия системы с внешним магнитным полем.

Перейдем к рассмотрению второго примера, содер­ жащего вырождение. Обратимся к теории кристалли­ ческого состояния. Возьмем динамическую систему бесспиновых частир с бинарным взаимодействием, характе­ ризуемую гамильтонианом в представлении вторичного квантования:

Р

рГ р2' pVp2

24

в котором б (р) — дискретная 6-функция, v(p) — фурьеобраз потенциальной энергии взаимодействия Ф(г) пары частиц. Предположим еще, что это взаимодействие такого типа, что наша динамическая система нахо­ дится в кристаллическом состоянии при достаточно низких температурах 0 < 0кр.

Рассмотрим плотность числа чистиц р(г), которая, очевидно, должна быть периодической функцией г с пе­

Учитывая трансляционную инвариантность средних вида

Таким образом, обычное среднее значение оператор­ ной плотности не может быть равно периодической функции р(г). Понятно, что такое положение вызвано вырождением рассматриваемого состояния статисти­ ческого равновесия.

Кристаллическая решетка, как целое, может быть произвольно расположена в пространстве. В частности, наш гамильтониан обладает трансляционной инвариант-

25

ностыо, и потому решетке всегда можно дать произ' вольную трансляцию. Какое-либо специальное положе­ ние кристаллической решетки в пространстве ничем не выделено, и когда мы берем обычную среднюю, мы тем самым усредняем по всем возможным расположениям этой решетки. Для снятия вырождения включим в га­ мильтониан (34) член вида

соответствующий бесконечно малому внешнему полю v • U (г). В качестве U (г) возьмем периодическую функ­ цию г с соответствующей периодичностью решетки так, чтобы внешнее поле vU снимало вырождение, фикси­ руя положение кристалла в пространстве.

Поскольку мы естественно рассматриваем только физически стабильные случаи, понятно, что включение бесконечно малого внешнего поля может лишь беско­ нечно мало изменить физические свойства изучаемой системы.

Взяв обычную среднюю от операторной плотности

+

ЧД^ЧДг) для гамильтониана Hv с бесконечно малым v, мы фактически получим среднюю для системы с перво­ начальным гамильтонианом Н, но без дополнительного усреднения по расположениям (как целого) кристалли­ ческой решетки в пространстве, поскольку ее положе­ ние теперь закреплено.

Таким путем получим наблюдаемую пространствен­ ную плотность распределения частиц р(г). Определим формально квазисредние, положив

+

< . . . V (*/'/) ••• Чг & г,)> =

Тогда, как уже отмечалось,

+

<ЧД г)ЧД г)>=:р(г).

Приняв во внимание, что

26

ном сохранения суммарного импульса, не выполняются для введенных квазисредних.

Заметим, что квазисредние зависят, вообще говоря, от ряда произвольных параметров, например от произ­

Квазисредние становятся однозначно определенными, когда фиксирована функция U (г).

Мы рассмотрели случаи вырождения состояния ста­ тистического равновесия, связанные с законом сохра­ нения суммарного вектора спина или суммарного век­ тора импульса. В обоих примерах вырождение могло быть снято и введены квазисредние путем включения подходящего бесконечно малого внешнего поля.

Можно привести еще пример, когда вырождение связано с законом сохранения полного числа частиц. Для этого можно взять известный пример конденсации бозе-эйнштейновского идеального газа. Гамильтониан

Вырождение будет снято, если к такому гамильто­

ниану добавить бесконечно малый член — v (а0+ п0) V V • Итак, в предложенных примерах вырождение было связано с наличием аддитивных законов сохранения или, иначе, с наличием инвариантности по отношению к соответствующим группам преобразований. Отметим, что не все имеющиеся в данной системе законы сохра­ нения вызывают вырождение. В последнем примере (бозе-газ) вырождение было связано только с законом сохранения числа частиц. В соответствующих квази­ средних нарушались только те правила отбора, которые

27

Г л а в а 1

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПРЕДЕЛЬНЫХ СООТНОШЕНИЙ ДЛЯ МНОГОВРЕМЕННЫХ КОРРЕЛЯЦИОННЫХ СРЕДНИХ

В этой главе предлагается методика, позволяющая вычислять многовременные корреляционные средние, построенные из произведений ферми-операторов для достаточно широкого класса модельных систем (1.14), (1.15) при специально выбранных дополнительных усло­ виях 1 (§ 1 главы 1).

Приводится последовательное изложение выводов и построений мажорационных неравенств, существенным пунктом которых является использование спектральных представлений для двувременных средних. Полученные результаты резюмируются теоремами. Попутно обра­ щается внимание на возможность получения равномер­ ных по 0 мажорационных оценок.

§ 1. Общее рассмотрение проблемы, предварительные результаты и постановка задачи

Приступим здесь к вопросу об асимптотическом вы­ числении квазисредних, для чего докажем ряд предва­ рительных теорем.

Чтобы естественно прийти к надлежащим их фор­

29