книги из ГПНТБ / Боголюбов, Н. Н. Метод исследования модельных гамильтонианов

В них подробно изучалась обобщенная модельная система (с притяжением вблизи поверхности Ферми), характеризуемая гамильтонианом

Эта система переходит в обычную модельную систему БКШ, изучаемую в теории сверхпроводимости, если взять в качестве операторов Т, f a квадратичные формы из ферми-операторов

В упомянутых работах рассматривался случай, когда

и более общие системы [16—30], в которых «пары» взаимодействуют не только в s, но и в р и d и т. д. состояниях.

Для рассматриваемой модельной задачи (5) мы

Входящие сюда комплексные постоянные Са ( l ^ a < ! s ) определялись из условия абсолютного минимума функции

1Q

к нулю при У->оо. Полученные результаты при конеч­

можно построить и найти выражение для свободной энергии, используемое при рассмотрении фазовых пере­ ходов, причем эта методика была разработана для случая произвольных температур.

Далее, в работе [15] на примере модельной системы (5) при s = 1 мы наметили путь получения асимптотически точных оценок для простейших корреляционных функ­ ций бинарного типа.

В серии наших статей [31—41], которая послужила основой этой работы, мы развили новый метод, позво­ ливший рассматривать системы (5) с ядром типа (7) при любых температурах в случаях, когда параметры ga положительны, отрицательны или принимают разные знаки. При этом нам удалось построить не только асимптотически точные выражения для свободных энер­ гий, но и для многовременных корреляционных функций, функций Грина, которые полностью характеризуют дина­ мическое поведение системы.

Попутно выяснилась необходимость в введении но­ вого определения квазисредних, поскольку общепринятое до сих пор определение оказалось в рассматриваемых нами случаях недостаточным.

Для того чтобы объединить все изучаемые нами модельные задачи и существенно упростить изложение материала, схема изложения работы строилась сле­ дующим образом.

Все рассматриваемые модельные задачи приводятся

11

того, чтобы все задачи, рассматриваемые далее в гла­ вах 3 и 4, им удовлетворяли.

следует лишь удовлетворить этим дополнительным усло­ виям 1, а затем результаты глав 1 и 2 и доказанные там теоремы 1.1, 1.2, 2.1, 2.2 автоматически распро­ страняются на случаи модельных систем с отрицатель­ ным четырехфермионным взаимодействием (глава 3), модельных систем с положительным четырехфермионным взаимодействием, а также смешанного случая, гамиль­ тониан которого содержит как члены с «притяжением», так и члены с «отталкивательным» взаимодействием (см. главу 4).

Как мы указывали, все изучаемые в работе дина­ мические задачи приводятся к модельному гамильто­

12

Относительно квадратичной формы (10), далее в ра­ боте называемой аппроксимирующим гамильтонианом,

такой системы оказывается нетрудно вычислить в явной форме соответствующие выражения для свободной энер­ гии, корреляционных функций, и т. д.

Отметим, что четверная форма, описываюшая взаимо­ действие (1 1), благодаря условию (13) является в каком-то смысле малым добавком.

Следует подчеркнуть, что потребовалась чрезвы­ чайно сложная математическая техника, чтобы изучить «эффект» влияния этого добавка на свободную энергию, корреляционные функции, функции Грина и далее

тельство для рассматриваемых там конкретных систем: условия (13).

Впервой главе рассматриваются прежние способы [41]'

итрудности, связанные с введением квазисредних для некоторых частных модельных систем с четырехфермион­ ным отрицательным взаимодействием. В связи с этим формулируется новый принцип рассмотрения модельных

ставляют довольно широкий класс модельных систем, которые включают в себя в качестве важных частных случаев: а) системы с четырехфермионным отрицатель­ ным взаимодействием (например, модельные системы БКШ, изучаемые в теории сверхпроводимости); б) си­ стемы с положительным четырехфермионным взаимо­ действием, а также смешанный случай; в) системы, гамильтониан которых содержит как члены с «притя­ жением», так и члены с «отталкивательным» взаимо­ действием.

Далее, для этого общего класса модельных систем проводится доказательство асимптотически точного на­ хождения одновременных и многовременных корреля­ ционных средних. Попутно указывается на возмож­ ность получения равномерных по 0 мажорационных оценок.

13

Во второй главе на основе полученных результатов и мажорационных оценок первой главы проводится доказательство обобщенных предельных соотношений для многовременных корреляционных средних (соста­ вленных из произведений полевых функций), Г-произ- ведений и функций Грина.

Замечая, что разность числа частиц с противополож­

из произведений ферми-операторов рождения и уни­ чтожения.

На основе проведенного рассмотрения сформулиро­ ваны теоремы 2.1 и 2.2 — существования пределов у средних, взятых по аппроксимирующему гамиль­ тониану.

В третьей главе рассматривается конкретное прило­ жение результатов двух первых глав к модельным системам с четырехфермионным отрицательным взаимо­ действием. Здесь же указываются некоторые трудности, связанные с определением квазисредних для модель­ ных систем.

Развивается новый способ введения вспомогательной системы и определения квазисредних широкого класса модельных систем, содержащих отрицательное взаимо­ действие.

В §§ 1—3 рассматривается вопрос о предельном выражении для свободной энергии при К —>оо.

Изучается модельная система, характеризуемая га­ мильтонианом (5). Рассматриваются случаи, когда опе­ раторы Т, Ja имеют вид (6).

В § 1 главы 3 изучаются некоторые свойства сво­ бодных энергий, построенных на основе модельного (5) и аппроксимирующего гамильтонианов (8).

Кратко формулируются результаты относительно близости свободных энергий, построенных на основе гамильтонианов (5) и (8); при этом получаемые оценки оказываются равномерными по температуре 0. Далее отмечается, что из неравенств для разности свободных энергий, построенных на основе модельного (5) и аппро­ ксимирующего (8) гамильтонианов, не следует еще суще­ ствования предельного выражения для свободной энер­ гии, построенной на основе гамильтониана (5).

14

В связи с этим в третьей главе сформулированы те условия, при которых корректно доказывается суще­ ствование предела при стремлении объема к бесконеч­ ности для свободной энергии, построенной на основе модельной системы (5), т. е. lim f(H).

V -> ОО

В § 6 главы 3 рассматривается вопрос об определе­ нии квазисредних. Пусть 21 будет каким-либо оператором того вида, для которого в главах 1, 2 были сформули­ рованы предельные теоремы, например произведением из ферми-амплитуд, полевых функций, и т. д.

Высказывалось мнение, что квазисредняя та­ кого оператора для рассматриваемого гамильтониана определяется как предел

связанные с определением (14). В данном определе­ нии (14) не указывается, например, в какой области должны лежать параметры (v) и каким образом следует

дела в выражении (14) может и не существовать, поскольку это выражение равно финитной статисти­ ческой средней, умноженной на фактор v/| v |, благодаря присутствию которого при стремлении v -*0 выраже­ ние (14) не стремится ни к какому пределу. Предел существует, например, тогда, когда мы стремим v к нулю таким образом, чтобы отношение v/| v | было постоян­ ным. В общем случае факторизующегося ядра (3) (т. е. при числе членов (a)> 1) ситуация с предельным пере­ ходом v->0 оказывается еще более сложной. Кроме градиентной инвариантности (обусловленной градиентной группой) могут появиться и другие группы преобразова­ ний, например группа вращений.

15

нальными С с положительным коэффициентом пропор­ циональности. В соответствии с этим в § 7 показано, что вспомогательный гамильтониан с источниками примет вид

Н определяется выражением (5). Подчеркнем, что Са обозначает точку, в которой достигается абсолютный минимум функции (8*), взятой уже после предельного

перехода ( F —><х>), и потому Са от V не зависит. Отме­ чается, что при сделанном выборе вспомогательного

Эти результаты резюмированы теоремой.

Т е о р е м а 3.4. Пусть выполнены условия теоремы 3.3 и гамильтониан представляется выражением (16), в ко­

где Я (С) — аппроксимирующий гамильтониан, опреде­ ляемый выражением (8). Благодаря доказанному ре­ зультату— малости «добавочного члена» с четверной формой по ферми-операторам (19) будут выполнены все условия 1 главы 1 и в связи с этим все результаты глав 1 и 2 автоматически распространяются на приве­ денный выше случай.

16

абсолютный максимум функции свободной энергий, являются единственными.

В § 2 рассмотрен вопрос о справедливости теоремы, аналогичной (теореме 3.1) для случая модельной системы с положительными компонентами взаимодействия при произвольной неконкретизированной форме операторов

Т и /.

Показано, что в общем случае неконкретизированных операторных форм Т, J (для взаимодействия типа «от­ талкивания»), удовлетворяющих общим условиям (та­ ким же, что и для теоремы 3.1), свободная энергия, построенная на основе модельного гамильтониана, не стремится при V -> оо к свободной энергии, построенной на основе соответствующего аппроксимирующего га­ мильтониана.

В § 3 главы 4 исследована задача о вычислении свободной энергии и корреляционных средних для мо­ дельной системы с положительным четырехфермионным взаимодействием, соответствующим отталкиванию фер­ мионов. Существенным отличием здесь от случая систем с отрицательным четырехфермионным взаимодействием (см. главу 3) является то, чтосвободная энергия, по­ строенная на основе аппроксимирующего гамильтониана, рассматривается как функция переменных ... Са . .. и имеет абсолютный максимум при некотором фиксиро­ ванном наборе переменных... Са . . . , причем точка максимума единственна. В результате для свободной энергии и квазисредних получаем неожиданный ре­ зультат: вклад от четырехфермионного парного поло­ жительного взаимодействия в гамильтониан системы оказывается пренебрежимо малым для больших систем

V —> оо (см. § 3).

На основе проведенного рассмотрения в § 4 иссле­ дуется также модельная система более общего вида (формула (4.30) § 4). По существу, это исследование является вспомогательным для § 6, в котором форму­ лируется принцип минимакса. В результате получены оценки для свободных энергий и квазисредних.

В § 5 доказана единственность решений уравнений (формула (4.47)). Показано, что решения этих уравнений

менным ... t/p . . . . . . . £/р ... При этом мы опирались

13

здесь на теорему о неявных функциях, поскольку все условия для ее применения выполнены. Полученные результаты резюмированы теоремой 4.1.

В § 6 исследуются гамильтонианы с константами связи разных знаков и формулируется принцип минимакса. Проводится построение вспомогательной системы и составление предельных соотношений для свободных энергий и квазисредних. Найдено выражение для асимп­ тотически точного вычисления свободной энергии с по­ мощью принципа минимакса (формула (4.73)).

Подчеркнем, что при построении доказательства на­ хождения асимптотически точного решения для мо­ дельной системы (5), в котором ga принимают разные знаки, мы основывались на специально сконструиро­ ванном аппроксимирующем гамильтониане Ж (С, S)

независимые, далее связывались с помощью мини­ максной техники, а именно: из условия абсолютного

аппроксимирующего гамильтониана строилась свободная энергия и уже в окончательных мажорационных нера­ венствах брался абсолютный минимум свободной энергии по переменным

S„ . . . . Sr: minf(H0(C(S), S)).

(S)

Оказывается, что обращение последовательности операций взятия максимума, минимума приводит к не­ верному результату.

Был рассмотрен также вопрос об определении квази­ средних и о построении гамильтониана с источниками. В результате получены равномерные по температуре мажорационные оценки для соответствующих квази­ средних. Показано, что эта задача сводится к гамиль­ тониану (9)—(12), и поскольку все дополнительные усло­ вия (из § 1главы 1) выполнены, можно применять к этому

19