книги из ГПНТБ / Боголюбов, Н. Н. Метод исследования модельных гамильтонианов

форма Я (С, S) представляет обычную форму аппрокси­ мирующего гамильтониана для гамильтониана Я из

Перейдем в заключение к вопросу о построении «гамиль­ тониана с источниками» для определения квазисредних.

Возьмем, как и в главе 3

Ввиду (4.81) ясно, что Гг из (4.89) совпадает с гамиль­ тонианом (4.68), и потому для него справедливы не­ равенства (4.67). Имеем далее

160

Г л а в а 5

О МЕТОДЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ

В заключение остановимся еще на одном подходе [59] вычисления квазисредних для некоторых модельных систем, который не предполагает дополнения основной системы членами с «источниками», т. е. предложим подход, отличный от методов расчета квазисредних, рассмотренных в главах 1—4. Такая методика вычис­ ления квазисредних, как будет показано, является вполне реальной. Предлагаются примеры вычисления квазисредних.

§1. Общая постановка задачи

Вряде работ [38, 40] мы рассмотрели так называе­ мые модельные задачи статистической физики, допуска­

менных корреляционных функций. Существенно отме­ тить, что исследование проводилось на математическом уровне и для установления факта асимптотической близости была построена специальная мажорационная техника.

При исследовании функций Грина и многовременных корреляционных функций нам пришлось воспользовать­ ся понятием квазисредних и ввести в рассматриваемый гамильтониан так называемые члены с источниками, которые устремлялись к нулю после проведения пре­ дельного перехода V —>оо,

162

Поясним сказанное на одном из простейших при­ меров изученных нами модельных систем — на системе, характеризуемой гамильтонианом типа БК.Ш:

ны некоторые весьма общие условия, обеспечивающие достаточно быстрое убывание Xf при р -> оо. Если

составить для гамильтониана (5.1) уравнения движения

ностью до величин порядка 1/V. Поэтому, казалось бы, естественно предположить, что оператор L «есть почти» с-число. Но в таком случае (£)я — С, где через ( . . . ) я обозначено обычное среднее по гамильтониану Н:

, V Sp(...e"/0)

Spe^0 •

Однако ввиду того, что гамильтониан Н является ин­ вариантным по отношению к градиентным преобразо­ ваниям

ащ-*е'фа? (ср = const),

легко видеть, что все (a_faf)w = 0, так что и (L)H~ О,

и выходит, что нельзя сам оператор L даже «прибли­ женно» считать с-числом. Для того чтобы избавиться от этой трудности, мы воспользовались понятием ква­ зисредних и ввели в гамильтониан члены с источника­ ми, рассмотрев вместо Н гамильтониан:

Квазисредние по Н мы определили как обычные сред­ ние по гамильтониану Г, в которых г —>0 совершается

163

после предельного перехода 17->оо. Тогда нам удалось строго доказать, что при любом г > О

((L — С) (L — С))г —>0 при V —> сю,

где С — некоторая положительная величина. Взяв вме­ сте с точными уравнениями движения (5.2) «прибли­ женные уравнения» движения

называемому нами «аппроксимирующим» гамильтониа­ ном, нам удалось с помощью специально разработанной мажорационной техники доказать, что корреляционные функции, составленные из произведения ферми-опера- торов, построенные на основе (5.3), асимптотически близки к корреляционным функциям, построенным на основе гамильтониана (5.5) в смысле квазисредних, т. е. сначала совершается предельный переход F->oo, а затем г —>0. В результате были получены мажорационные оценки для разности корреляционных функций, построенных на основе гамильтонианов (5.1), (5.5).

Соответствующие оценки приближения для корреля­ ционных функций и функций Грина при V -> °о были неравномерны по отношению к г -> 0, и поэтому весьма существенным был порядок предельных переходов сна­

с источниками, поскольку квазисредние с физической точки зрения характеризуют рассматриваемую систему и введение источников в каком-то смысле является искусственным приемом, нарушающим инвариантные

164

чина, поскольку эта средняя оказывается совсем не малой величиной, а, напротив, даже большей, чем С2! Отметим, что оказывается возможным строго доказать, что малой будет величина

К необходимости этого доказательства мы приходим, если рассматриваем гамильтониан без источников Я (5.1) и вводим вспомогательные операторные конструкции:

где

Можно отметить, что эти операторные конструкции (5.8) лишь «приближенно удовлетворяют» при (/ Ф /') ком­ мутационным соотношениям статистики Ферми. Если бы оператор L был с-числом и L — C, то тогда эти кон­ струкции точно совпадали бы с «новыми» ферми-опе- раторами [42], связанными со «старыми» каноническим ц-и-преобразованием.

Записывая уравнения движения относительно опе­ раторных конструкций (5.8) с учетом уравнений (5.2), мы можем после ряда громоздких преобразований представить их в виде

+

165

4*

§ 2. Способ оценки средней (RfRf)H

Займемся оценками для средних' (5.6), (5.7). Для доказательства неравенств (5.6) применим теорему 3.1 о близости свободных энергий, которую переформули­

руем следующим образом.

+

Т е о р е м а 5.1. Пусть операторы Т, L, L в гамиль­ тониане Н удовлетворяют условиям

где Q и Q0— постоянные при V ->oo, и пусть свободная энергия, вычисленная на единицу объема для гамиль-

хз +

тониана Т — 2 j T fafaf, ограничена постоянной

— y In Sp е~Т1в ^ М 0 = const.

Аппроксимирующий гамильтониан для системы (5.1) имеет форму (5.5); тогда справедливы неравенства

Чтобы применить эту теорему к доказательству не­ равенств (5.6), (5.7), проведем следующие рассуждения. Рассмотрим системы, определяемые гамильтонианом, линейно зависящим от некоторого параметра т:

Я ^ Г о + Пф. Определим формально выражение

нх fv (Нх) = — у \ п S p e " ~ 0 \

которое назовем свободной энергией на единицу объема V

166

для модельной системы Ят. Тогда можно доказать неравенства, справедливые для любых операторов Г0, IV

р —-фиксированное положительное число, тогда из (11) имеем

(С)Я < Д ( H ) - f v ( H - p G)

V

и, следовательно,

Теперь к правой части (5.12) остается применить сформу­ лированную выше теорему и показать, что эти свобод­ ные энергии в пределе (V —> оо) совпадают.

Введем следующее «сокращение»: говоря, что си­ стема с гамильтонианом

Я ' = {Я — Vp (LL — С2)2}

будет аппроксимироваться системой

мы имеем в виду, что соответствующие свободные энергии, построенные на их основе, будут близки в смысле теоремы 1.

Учитывая, что

V +

Н = Т — ^ LL,

запишем (5.13)

{ r - F ( 2 5 p + |) T L + (S2 + 2SC2)B p}. (5.14)

Используя теорему 5.1, видим, что (5.14) будет аппро-

167

ксимироваться формой, квадратичной по ферми-опе- раторам:

Я (5, С') = { Т - V ( j + 2Sp) (C'L + C L - С С) +

+ Fp(52 + 25C2) } . (5.15)

Напомним, что система (5.13) будет аппроксимироваться формой (5.5). Заметим, что, в общем случае, в (5.5) С — комплексное число, но можно показать, что абсо­ лютный минимум функции f (Н (С)) реализуется при вещественном С. Поэтому в аппроксимирующем гамиль­ тониане Я (С) можно считать С вещественным. Сравни­ вая «аппроксимирующие формы» гамильтонианов (5.15) и (5.5), видим, что для того, чтобы правая часть нера­

Оказывается, нетрудно проверить, что такое решение существует на самом деле и, кроме того, можно указать такое р = Ро > 0, при значении которого существует единственно возможное 'решение проблемы абсолютного минимума свободной энергии, построенной на основе формы (5.15).

Иными словами, на основании этой теоремы на­ ходим, что

§ 3. Вычисление бинарных средних

Основываясь на уравнениях движения (5.9) и учитывая оценку (5.16), можно провести рассуждения, аналогич­ ные работе [36], и получить соответствующие оценки для разности корреляционных функций, построенных;

168

на основе гамильтониана (5.1) и соответствующего

и пусть В — ограниченный оператор

I В | <1 b2= const.

Составим разность

D = (afB)H- e - z ^ ( B a })H.

Тогда справедлива оценка

I Д | < - § - & 2 V * 7 -

Д о к а з а т е л ь с т в о . Воспользовавшись спектраль­ ными представлениями для двувременных средних [49, 50], запишем средние разности D:

-fоо

Рассматривая безвременные средние, положим / = т, выражение для D представим в виде

169