книги из ГПНТБ / Боголюбов, Н. Н. Метод исследования модельных гамильтонианов

(кроме С — С = С (U)), дающего абсолютный максимум функции /00{Я(С)}, у этих уравнений нет.

Как уже отмечалось, С {U) определена при любых комплексных t/ = (... t/p ... ) и равномерно ограничена неравенствами

Покажем сейчас, что Ca(U) являются непрерывными функциями и обладают непрерывными частными про-

*

изводными по переменным ... f/p ... f/p ...

Для этого воспользуемся известной теоремой о не­ явных функциях. Так как эта теорема в своей обычной формулировке относится к уравнениям с вещественными переменными, перейдем сейчас от наших комплексных величин Са, Яр к вещественным.

Положим

Таким образом, выражение

150

будет вещественной функцией вещественных пере­ менных

X,, • • • > Х2г-> П[, • • • > U'2i'

Эта функция будет непрерывной и обладает непре­ рывными частными производными всех порядков для всех вещественных значений рассматриваемых пере­ менных х и и.

Положив в (4.50)

Следовательно, рассматриваемые уравнения (4.47) экви­ валентны уравнениям

151

формы по //, стоящей в левой части неравенства (4.55), следует, что везде

Тем самым выполнены условия для приложения тео­ ремы о неявных функциях к уравнениям (4.54). Таким образом, убеждаемся, что ха(ии . . . , м2/) везде (т. е. для всех вещественных ыр) являются непрерывными

функциями и обладают непрерывными частными про­ изводными по ... Up ...

Возвращаясь обратно к нашим комплексным пере­ менным С, U, видим, что действительно

Ca = Ca(U) (<*=1 , . . . , г )

являются непрерывными функциями и обладают непре-

*

рывными частными производными по f/p . . . С/р . . . во всем пространстве точек (U).

В заключение резюмируем полученные сейчас резуль­ таты в форме следующей теоремы.

Т е о р е м а 4.1. Пусть имеется гамильтониан Н, определенный формулами (4.30), (4.31), в которых функ­ ции A,a (f), Цр(/) удовлетворяют условиям (4.24). Тогда

где Н (С) дается формулой (4.33). Выражение

L {Я (С)}

определено равенством (4.46) для всех С, U и является непрерывной функцией, обладающей везде непрерыв­ ными частными производными всех порядков по отно­ шению к переменным ... Са ... ... U$ ... U$ ...

152

имеют при любых комплексных Яр единственное решение

C = C = C (U ).

Это решение реализует абсолютный максимум в 2);

L {Щ = max L {Я (С)} - L {Я (С (Я))},

с

Функции Ca(U) везде непрерывны и обладают непре­ рывными частными производными по отношению к пере­ менным ... Яр ... Яр ...

§ 6. Гамильтонианы с константами связи разных знаков. Принцип минимакса

Перейдем к рассмотрению модельного гамильтониана с положительными и отрицательными членами взаимо­ действия [37]:

р

3) Функции Яа(р, а) везде непрерывны, за воз­ можным исключением множества точек р меры нуль.

*) Условия I), 2) будут, очевидно, выполнены, если, например,

153

Заметим прежде всего, что из условий 1), 2) вытекает, что также

Исходя из условий 1), 2), нетрудно проверить, что для гамильтониана (4.60) с оператором Т из (4.39) условия теоремы 3.1 удовлетворены.

Чтобы проверить также выполнение условий тео­ ремы 3.11, нам остается доказать, что для любых фик­

Чтобы показать справедливость (4.61), заметим, что выражение

Нт(S) — const = Нт(S) — 2V У, gaSaSa а~\

совпадает с гамильтонианом (4.30), в котором ga заме­ нено на 2ga и Ua на gaSa, и что условия (4.24) приме­ нимости теоремы 4.1 выполнены.

Отсюда следует, в частности, что

Г

I fv {Hr (S)} - {Нг (5)} | < - f Q2 2 > а + р, (Ш),

154

причем

Р,-(ЭИ)-уО, У->оо

при любом фиксированном значении ЙЙ. Тем самым предельное соотношение (4.61) доказано и условия при­ менимости теоремы 3.2 оказываются выполненными.

Воспользовавшись этой теоремой, убеждаемся в су­

ществовании точек 5 = S, в которых функция /00{Я7-(5)} достигает своего наименьшего значения

Далее, на основании (4.63) и пункта 2) теоремы 3.2, замечаем, что

соответствующая величина е из теоремы 3.1 для гамиль­ тониана (4.60).

Обратим теперь наше внимание на примечание к тео­ реме 3.4 (см. стр. 128). Поскольку условия теоремы 3.2 выполнены, мы можем на основании этого примечания утверждать, что

о < f v (Гг) - М Я ) < 6 , + 6,

155

После сделанных замечаний возвратимся к прило­ жению теоремы 4.1 для гамильтониана Hr (S).

Учитывая пункты 2), 3) этой теоремы, видим, что

L {Нт(S)} = шах L {Нт(С, S)} = f" {Нт(С (5), 5)}, (4.69)

С

где

Нт{С, S) — Т0+ 4V 2 ёа{Са^а + Са/ а —- Са • C J

а=!

Мы нашли здесь выражение для асимптотического вы­ числения свободной энергии с помощью «принципа минимакса», развитого в нашей работе [37].

Заметим далее, что на основании теоремы 4.1 выра­ жение

является непрерывной функцией с непрерывными част­

. •. 5р ... 5^ . .. , а Са (S) — по переменным Sp ... Sp.

Следовательно, /«*, {Нт[С(5), 5)} непрерывна и обла­ дает непрерывными частными производными по пере­

менным ... Sp ... Sp ...

156

Поэтому раз точка S = S реализует абсолютный ми­ нимум этой функции, будем иметь

является каким-то другим решением системы уравнений (4.71) , (4.77). Тогда из (4.71) сразу же следует, что

С = С (S). Поэтому

foo №т (С, S ) } ^ f m {HT(C, S)}.

Как видно, (4.76) является таким решением уравнений (4.71) , (4.77), которое дает функции (4.74) наименьшее

дает функции (4.74) наименьшее значение на этом мно­ жестве, то

157

Таким образом, принцип минимакса для определения С,

S — нахождение C = C(S) из условия абсолютного мак­ симума функции (4.74) в пространстве всех С при за­

стве всех S — эквивалентен нахождению такого решения уравнений (4.71), (4.77), которое дает функции (4.74) наименьшее значение из всех решений этих уравнений.

Раскроем теперь уравнения (4.71), (4.77).

Исходя из выражения (4.70), для НТ(С, S) обычным путем получим

и потому рассматриваемые уравнения могут быть пред­ ставлены в форме

158

+ Tok)F J ^ ^ ~ E (f) --2Q !n (! + e~£ (f)/0)} df, (4.84)

=E (f) = V T 2(/) + 1Q (/) p,

Ясно также, что рассматриваемые уравнения (4.80) эквивалентны уравнениям

на (4.82), можем теперь утверждать, что ранее сформу­

наименьшее значение на множестве всех решений этих

эквивалентна следующей минимаксной формулировке.

159