книги из ГПНТБ / Боголюбов, Н. Н. Метод исследования модельных гамильтонианов
.pdfНетрудно заметить, что уравнения (4.9) имеют то реше
ние С = С, которое дает функции (4.8) абсолютный максимум.
Пусть уравнения (4.9) имеют еще некоторое другое решение С = С. Положим
|
|
2 = С — С, |
с = |
с. |
|
|
|
Тогда при таких значениях г |
|
|
|
||||
d fv |
[Н (С + tz)} |
= 0 |
для / — 0 |
и t = 1, |
|||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
d2f v {// (С + |
tz)} |
= |
0. |
|
|
|
|
d t2 |
d t |
|
|||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
И потому В |
силу (4.14) 2 & а г аг а = |
0, |
T . |
е. 2 = 0. |
|||
|
|
|
а |
|
|
|
|
Итак, единственность решения уравнений (4.9) дока зана; это решение дает абсолютный максимум функ ции (4.8). Воспользуемся, наконец, неравенством (3.34), в котором положим
г о = Н (С), Г, = 2 И 2 £а (/а - Q ( I - Са), Г0 + Г, = н . |
|
а |
|
Получим |
|
2 2 §а <(4 - с а) (7а - |
£ а))н < f (Н) - f {Н (С)} < |
а |
|
< 2 |
| ^ а( ( / - С а)(7а- С а)>я,с)- (4-15) |
После этого предварительного обсуждения свойств формы аппроксимирующего гамильтониана возвратимся к рас смотрению самого гамильтониана (4.1).
§ 2. Особенности предельных соотношений для свободной энергии в случае систем с положительным взаимодействием
Здесь может возникнуть вопрос, верна ли теорема, аналогичная теореме 3.1, для такого гамильтониана (4.1)? Иначе говоря, можем ли мы утверждать, что если операторы Т, Ja, входящие в (4.1), удовлетворяют усло
140
виям (3.4), то |
|
fv (H)— fv {H(C)}^> 0 при V-+oo. |
(4.16) |
Покажем сейчас, что такое утверждение неверно даже
в простейшем случае |
г = 1 , |
когда |
|
|
|
|
H = T + 2VgJJ. |
|
|
(4.17) |
|||
Для этого рассмотрим оператор |
/ вида |
|
|
|||
1 |
1 \Ч |
, + |
^ |
|
|
(4.18) |
2у |
^ (/) |
fj |
|
|
||
где |
|
|
Р2 |
|
|
|
|
^o(tf), |
|
< А , |
|||
|
Ш - » |
|||||
%(f) = к (р, а) = |
|
р2 |
|
|
|
|
|
0, |
^ |
> |
Л, |
||
|
~2т |
|||||
Я,0 (о) = |
|
|
к = |
const > |
(4.19) |
|
|
|
|
О, |
|||
|
|
|
А = |
const > |
0. |
|
Вкачестве оператора Т возьмем в (4.17)
Т= Нй = TQ— 2Vg j},
(4..20)
f
Такой гамильтониан Н0 благодаря (4.18), (4.19), (4.20), очевидно, принадлежит к классу гамильтонианов, рас смотренных в предыдущей главе, и удовлетворяет усло виям теоремы 3.3.
Пусть при этом значения g, к, 8 выбраны таким
образом, что величина 5 = 5, реализующая абсолютный минимум
min/M{770(5)} = /оо{Я0(5)},
(S)
отлична от нуля. Тогда
/» № (S)} < {//о (0)> = |
(Г0), |
141
а на основании 3.3 |
|
Hm fv m = L { H 0(S)}. |
|
V->oo |
|
Имеем, следовательно, |
|
Пт {fv (Г0) — fv (Л) > 0- |
(4.21) |
1'-> 00 |
|
С другой стороны, благодаря (4.18), (4.19), (4.20) опе раторы Т, Ja в (4.17) удовлетворяют условиям (3.4). По этому, если бы утверждение (4.16) было верно для модельной системы (4.17), мы могли бы написать
f v ( T o ) - f v {H(C)}-*0 (И->оо), |
(4.22) |
поскольку в рассматриваемом случае имеем тожде
ственно |
Н = |
Т0. |
|
|
|
||
Найдем теперь С. Имеем |
|
|
|
H (C )= T + 2Vg(CJ + CJ — CC). |
|
||
Как указывалось, |
значение |
С — С определяется из |
|
уравнений |
|
|
|
d f v { / / |
( С ) } |
d fv {Н (С)} |
(4.23) |
дС |
= 0, |
О, |
|
|
дС |
|
|
|
|
|
|
СУ')н(С)’ С ^)н!СУ
Ясно,* что эти уравнения имеют тривиальное решение
С — С = 0, поскольку ввиду (4.18) справедливы тождества
<-Оя.о. = <-/ >7- = 0. ( Ь Н(0) = (Ьт = 0-
Так как уравнения (4.23) имеют единственное решение, то
С = О, Н (С) = т.
Поэтому |
из (4.22) получим |
|
|
Пт {fv (Г0) — fv (Т)} = 0 |
при V |
что противоречит (4.21). |
|
|
Итак, |
в отличие от случая |
отрицательного взаимо |
действия |
(3.1), в рассматриваемом случае положитель |
|
142
ного взаимодействия (4.1) предельное соотношение (4.16) может оказаться неверным даже и при выполнении условий (3.4).
Отсутствие аналога теоремы (3.1), которая служила основой для исследования в предыдущей главе, вообще
говоря, затрудняет |
рассмотрение |
модельного гамиль |
||
тониана (4.1) в общем случае. |
имеют специальный |
|||
Однако |
когда операторы Т, /„ |
|||
вид (3.2), |
получаем |
даже более простую ситуацию, чем |
||
в предыдущей главе. |
|
|
||
§ 3. Оценки для свободных энергий |
|
|||
и корреляционных функций |
|
|
||
Действительно, |
пусть операторы Г, |
входящие |
||
в (4.1), представляются формулами (3.2). Предположим при этом, что функции
K i f ) = K ( P , о)
удовлетворяют следующим условиям:
a) |
Т |
(р’ ff) I ^ |
Qi = |
const, |
|
р |
|
|
(4.24) |
b) |
| Ка(р, |
о) |< Q = |
const, |
c)Точки разрыва функций %а(р, а) образуют
впространстве Е множество меры нуль.
Заметим, между прочим, что из этих условий вытекает, в частности, неравенство
= const, |
(4.25) |
р
где в качестве Q2 мы могли бы взять Q2 = Q - Qi- Рассмотрим уравнения (4.9) для определения С и
запишем их в виде (4.10)
_ |
*. |
+ |
Ca = {Ja)fj(C), |
^ а ~ { ^ а) н {СУ |
|
Поскольку тождественно
а)т— (^а)г — 0
143
и Н(0)— Т, мы видим опять, что рассматриваемые уравнения имеют решение
Са — 0, Са О,
причем, на основании ранее доказанного, это решение
является |
единственным. |
|
|
|
|
|
|
||||
Итак, |
|
|
_ |
Н (0 ) = = т. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
Н ( С ) = |
|
|
|
|
||||
Воспользуемся |
теперь |
неравенствами |
|
(4.15); получим |
|||||||
|
|
0 < fv (Я) - |
|
fv (Т) < 2 2 g a (JaJa)T, |
(4.26) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
2 2 |
ga ( Ш н < |
fv (Я) - |
fv (т). |
(4.27) |
|||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Раскроем |
правую часть неравенства (4.26). Имеем |
||||||||||
|
|
+ |
1 |
|
|
* |
+ + |
l |
j |
')т-. |
|
|
(ЛДа)г |
4^/ |
f' |
|
(/) |
(f ) ( |
f |
||||
Но средняя |
f. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
+ + |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
(afa^fa^f'af)T |
|
|
|
|
||||
может |
быть отлична |
|
от |
нуля, лишь |
если |
f' = f или |
|||||
/' = - / . |
|
Далее, |
+ + |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
а |
|
|
{afa - fa - faf)T^ 1, |
|
|
|
|
||||
|
4-4- |
|
|
|
+ 4 - |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
| < 1. |
||||
Поэтому |
| (afct_fafa4 )T | = |
| (afafa_fa_f)r |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
< V a ) < ^ r > ; i A ( / ) |2< - i Q 2> |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
откуда, |
на основании |
(4.26), |
(4.27), |
найдем |
|
||||||
|
|
0 < |
fv (H)— fv (Т) < ~ Q2 £ |
|
ga, |
(4.28) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
Sa^a^a) |
^ |
^ |
ga- |
|
(4.29) |
|||
|
|
|
a |
|
H |
a |
|
|
|
|
|
Таким образом, |
члены |
взаимодействия |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
V1 |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
■*—i §a,Ja^a> |
|
|
|
|
||
144
содержащиеся |
в Я асимптотически (К —>оо), не влияют |
|||
на свободную |
энергию [31, 37]: |
|
|
|
|
fv {H)— fv (T)-> 0 при |
V >оо, |
|
|
Далее, |
нетрудно заметить, что Я |
приводится к |
форме |
|
(1.14), (1.15), в которой положено |
|
|
||
Г = Я, Га= Т , Са = О, Q — 0, Ga = - 2 g a. |
||||
Благодаря (4.29) выполняется пункт 3 условия |
1 § 1 |
|||
главы |
1. Остальные пункты условий 1, V (§ 7 главы 2) |
|||
тривиально проверяются, исходя из (4.24).
Мы можем поэтому воспользоваться предельными теоремами глав 1, 2.
Как следует из них, в данной ситуации средние (21)я от операторов 91, к которым относятся эти теоремы, асимптотически равны соответствующим средним (21)г, взятым по гамильтониану Г, так что члены взаимо действия в Я и здесь оказываются асимптотически неэффективными [35].
В рассматриваемом случае квазисредние не отли чаются от предельных значений обычных средних, поскольку они определяются через гамильтониан
r, = T + 2 V ^ lga(\ + ra) j J a,
имеющий ту же форму, что и Я, только с измененными константами связи ga -> ga (l + та); ввиду этого средние рассматриваемых операторов 21, взятых по гамильто ниану Гт, асимптотически равны соответствующим сред ним по Т, пока та > — 1.
§ 4. Рассмотрение вспомогательной задачи
Рассмотрим модельный гамильтониан несколько более общего вида, а именно
Я = Г0 + 2 V % |
{V / |
+ Яо/р} + 2V |
2 g j J a (4-30) |
1<р<г |
1 р |
1 1 |
1 < а < г |
|
|
(ёа > 0). |
|
6 Н. И. Боголюбов (мл.) |
145 |
где |
|
f |
|
/e== 2 F ^ X W 'af°-f’ |
/ p = ^ V ^ I ^ ( / ) a fa-f, (4.31) |
К {— f) = — K(f)> |
|ip( - f ) = - ^ ( / ) . |
причем предполагается, что функции Aa (/), цр(/) удовле |
|
творяют условиям (4.24).
Далее, здесь Uр — комплексные параметры, могущие
принимать любые ограниченные значения. |
приводится |
|||
Ясно, |
что |
такой гамильтониан |
(4.30) |
|
к форме |
(4.1), |
если в ней положить |
|
|
|
|
Т = Т й + 2 У ^ { и ^ + |
и ^ } . |
(4.32) |
Легко проверить выполнение условий (4.5), причем теперь
|
|
|
M i |
= Q i- |
|
|
Поэтому |
форма |
|
аппроксимирующего |
гамильтониана |
||
будет |
|
|
+ |
|
|
|
Н (С) = Т0+ 2V 2 |
|
UfJ J + |
|
|
||
{Uр/&+ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
С(ХСа}. |
(4.33) |
Величина |
Са определяется |
из уравнений |
|
|
||
|
d fv {Н (С)} |
d fv {Н (С)} |
0. |
(4.34) |
||
|
дСп |
о, |
* |
|||
|
|
дСа |
|
|
||
В соответствии с ранее доказанным эти уравнения
имеют единственное решение. Это |
решение дает абсо |
||
лютный максимум функции fv {Н (С)} |
в |
пространстве |
|
всех точек С. |
(4.32) |
содержатся |
|
Поскольку теперь в выражении |
|||
ч* |
|
гамильтониану Т |
|
члены /р, /р, средние (Ja)T, взятые по |
|||
(4.32), уже не обязательно могут быть тривиально рав ными нулю, и таким образом, решение уравнений (4.34) может быть отлично от нуля. Так как оно, вообще говоря, зависит от V, будем обозначать это решение
С = C'V)
146
В соответствии с (4.11)
I CaV>I < Qi |
( а = 1 , 2 , |
Г). |
(4.35) |
Положим для сокращения |
|
|
|
H{Cv} = Ha |
|
(4.36) |
|
и напишем, на основании (4.15), |
|
|
|
о < fv (Н) - fv (На) < 2 2 |
ga <(/a - CSTO (/ - |
f r V)))Ha. |
|
|
|
|
(4.37) |
Будем раскрывать сейчас правую часть этого нера венства.
Ввиду того, что |
из (4.34) следует, что |
|
||||
|
Ca) = |
(Ja)//a, |
С( ( = (/а)яа, |
|
||
имеем |
|
|
|
|
|
|
Фа ~ |
СГ( ) О а - С 1{ >))„0 = |
</„/0>Яв - |
(/а)яа ( Ь н а, |
|||
и потому |
|
|
|
|
|
|
Ф а - С а) 0 а - С ^ ) ) На = |
|
|
|
|
||
|
= 47F V] |
(f) |
(Г) |
|
~ |
|
|
f. Г |
|
|
4* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— <а?а-г>яа ( я - г аГ>//в}- |
(4-38) |
||
Так как |
гамильтониан |
На из (4.36) |
является |
квадра |
||
тичной формой из рассматриваемых ферми-операторов, можем воспользоваться для раскрытия выражения
+ +
(ctfa_fa_r ar )Ha
приемом К. Блоха и С. Де-Доминициса. Получим, сле довательно,
4-4* |
|
|
4" + |
|
{afa4 a4 .ar )„a— {afa_f)Ha (a_v ar )Ha = |
|
|||
= |
4* |
4- |
4* |
4* |
(afaf')Ha (a -fa - f ) Ha — (ага_г )Яа (ач аг )„а. (4.39) |
||||
Но первое слагаемое в правой части (4.39) может быть отлично от нуля, лишь если f' — f, а второе — лишь если = —
6! |
147 |
В обоих этих случаях данная правая часть по абсо лютной величине не превосходит единицы.
Таким образом, из (4.38) найдем
Ф а - |
СТ) 0 а ~ к |
}))На |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
Отсюда, |
на |
основании (4.36), (4.37), |
убеждаемся, |
что |
||||
|
О < |
fv (Я) - |
fv {Я (С^)} |
|
ga. |
(4.40) |
||
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
С другой стороны, учитывая (4.31), |
(4.33), имеем |
|
||||||
Я (С) = Т0- ± |
|
2 |
{Q (/) afL f + Q(/) a^cif) — 2V У] £аСаСа, |
|||||
|
|
|
f |
|
|
|
а |
(4.41) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q (0 = |
- |
2 2 |
ЯрЦр (/) - |
2 2 |
£ас аяа (/), |
|
||
и потому |
|
|
|
|
|
|
|
|
fv {Я (С)} = |
- |
2 2 |
£ СаСа + ^ |
2 |
/=■(/; с, Я), |
(4.42) |
||
|
|
|
|
а |
|
f |
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
^(/; С, Я) = |
! { _ £ ( / ) _ Г ( / ) - |
29 In (1 + е - Е«Щ, |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
„2 |
(4.43) |
£2(/)==7’I2( / ) + ! а д |2, |
Г(/) = - £ - - р . |
|
||||||
Повторяя |
наши |
рассуждения из § |
1 главы 3, нетрудно |
|||||
показать, что разность между суммой и соответствую
щим интегралом |
ограничена |
неравенством |
|||
т |
Ъ р и > с >^ |
1 |
/Ч /; с, u ) d f |
< Р г (34)->0, |
|
(2я)3 |
|||||
|
f |
|
|
|
(4.44) |
|
|
|
|
|
|
при |
П-»оо для |
ICo K Q l |
] Яр К 54, |
причем рк (54) |
|
стремится к нулю при V —> оо (34 — фиксировано) рав номерно по отношению к 0 в интервале О < 0 ^ 0 о.
Таким образом,
I М Я ( С ) } { Я (С)} | < Р , (54),
(4.45)
I Ce |< Q „ 1Яр |< 5 4 ,
148
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U tf(C )} = |
■2 У gaCaCa |
(2я): \ |
F(f; C,U)df. |
(4.46) |
|||||||
Из |
упомянутых |
рассуждений |
следует |
|
также, |
что |
|||||
L {H(C)} |
является |
непрерывной |
функцией ... |
Са ... |
|||||||
... |
л |
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Са ... С/р ... £/р и обладает непрерывными частными |
|||||||||||
производными всех порядков по этим переменным. |
|
||||||||||
|
Кроме того, можем убедиться, |
что существует точка |
|||||||||
С = С, реализующая абсолютный |
максимум: |
|
|
||||||||
|
|
foo{Я (С)} = |
шах /те (Я (С)}, |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
(О |
|
|
|
|
|
|
причем для нее |Ca [ ^Qi |
и удовлетворены |
уравнения |
|||||||||
|
|
з и (н (С)} _ п |
|
[Н (С)} |
А |
|
(4.47) |
||||
|
|
лп |
|
и’ |
|
* |
|
и’ |
|||
|
|
дС a |
|
|
|
дСа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
С = С. |
|
|
|
|
|
||
Заметим теперь, что в силу (4.45) |
|
|
|
|
|
||||||
|
fv {V (&V))} > |
fv {я (С)} > |
L {Н (С)} - |
р„ (Ш), |
|
|
|||||
|
L {н (С)} > |
{Я (С^))} > |
fv {Я (С<^>)} - |
р„ (ЭЯ), |
|
||||||
ввиду чего |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 М Я ( С ^ > } - и Я ( С )} [< р , (ЭЯ). |
|
|
|
||||||
Приняв е о |
внимание (4.40), отсюда получим |
|
|
||||||||
I fv (Я) - |
U {Я (С)} [ < |
- f |
Q2 S ga + Рк (Эй) |
0 |
(4.48) |
||||||
при |
V —>оо для |Я р |^9)?. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
§ 5. Решение вопроса единственности |
|
|
|
|
|||||||
Сделаем еще несколько замечаний по поводу |
урав |
||||||||||
нений (4.47). |
|
|
|
|
|
|
|
... , |
zr |
||
Возьмем произвольные комплексные числа г ь |
|||||||||||
и вещественное t. Рассмотрим вторую производную |
|
||||||||||
-fir L Ш (С + tz)} = — 4 |
a |
gJa^a + |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ w F ( f \ C |
+ tz,U)}df. |
(4.49) |
||||||
|
|
+ (2я)3 |
|||||||||
149