книги из ГПНТБ / Боголюбов, Н. Н. Метод исследования модельных гамильтонианов
.pdfПоэтому и выражение lim (91)г не зависит от т, лежа-
\7-> оо
щих в области (3.87). Следовательно, когда все т,, . . ., ts стремятся к нулю, оставаясь положительными, имеем тривиально
Пт Пт (91)г — Пт(?1)„
Квазисредние в данной ситуации можем определить соотношениями
< ? l> „ = |
Нт (91>г = |
Пт (91>я (5 |
(3.88) |
|
V со |
V -> оо |
|
в которых т могут |
принимать |
любые значения |
из об |
ласти (3.87). |
раз, что главным пунктом |
наших |
|
Подчеркнем еще |
|||
рассуждений было установление неравенства (3.82), основанного на неравенстве (3.81).
Из неравенства (3.81) следует предельное соотношение
lim fv (Г) = |
Пт fv (Н). |
(3.89) |
\/ оо |
у -> оо |
|
§ 9. Вопрос о выборе знака членов с источниками
Заметим, между прочим, что данное предельное соотношение, вообще говоря, перестает быть справед ливым для отрицательных значений т . В самом деле,
возьмем, например,
га = — соа, |
соа > |
0 (а — 1, 2, |
. . ., |
s). |
(3.90) |
||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
Г = Ги= |
Н - |
2V 2 |
<*аёаVa - Са) (7а - |
Са). |
|
||
|
|
а |
|
|
|
|
|
Воспользуемся неравенством (3.63), положив в нем |
|||||||
Г0 = Г, |
Г = 2V 2 соа£а (7а - Са) (7а - |
Са). |
|
||||
|
|
а |
|
|
|
|
|
Тогда в (3.63) |
гамильтониан будет |
|
|
|
|||
и |
|
Г0 + |
Г, = |
Я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fv Ш) - fv (T J > 2 2 |
соaga <(/а - |
Са) (7а - |
Са))я- |
(3.91) |
|||
Но, очевидно, |
а |
|
|
|
|
|
|
+ + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( a - f a f ) H = О, |
|
|
|
||
|
( a f a - f ) n ~ |
|
|
|
|||
130
и потом у
|
|
<4)я = |
0, |
(1а)ц — 0. |
|
|
|
Имеем, |
следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
((•^а |
Са) U а |
^а) = |
(^а ' ^а)Я + I б’а Р» |
|
||
откуда |
благодаря (3.91) |
найдем |
|
|
|
||
|
f v ( H ) - f v ( \ \ ) > |
2 2 |
cauga|C a |2 |
|
|||
и, переходя к пределу, |
|
a |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
|
lim fv ( H ) ~ lim fv ( r j > |
2 2 ©aga|C a p. |
(3.92) |
||||
|
V7-> oo |
l/->oo |
|
|
a |
|
|
Таким образом, |
если С Ф 0, то равенство (3.89) |
неверно |
|||||
для отрицательных т (3.90). |
|
|
мы и потре |
||||
Учитывая именно это обстоятельство, |
|||||||
бовали |
положительности коэффициентов |
пропорцио |
|||||
нальности га в |
нашем |
выборе |
(3.75) параметров vft, |
||||
характеризующих включающиеся в гамильтониан ис точники.
§ 10. Построение мажорационных неравенств в случае, когда С = 0
Рассмотрим специально частный случай, когда в (3.32)
|
С, = С2= |
... |
= C S= |
0. |
(3.93) |
В этом случае Н (С )= Т , |
и |
потому |
f v (H) — f v (T)—>0 |
||
при |
У ^-оо. Таким образом, члены |
взаимодействия |
|||
—2У |
2j ga/ a/ a гамильтониана Н |
|
асимптотически |
||
|
1< a < s |
|
|
|
|
(V оо) неэффективны при вычислении свободной энергии.
Имеем далее
Г = Г, = Я + 2У 2 garaJaJa=
a
= T - 2 V 2 gad - T a ) /„ /a (3.94)
a
и, ввиду ранее доказанного, для корреляционной средней, построенной на основе этого гамильтониана,
й* |
U1. |
запишем ма.жорашюнную оценку
( S ^ a V a ) r < ^ T “ - >0 ПРИ |
(3-95) |
a
Покажем, что в данном случае (3.93) имеем также
( 2 £оЛЛ >я < £ ц-^ ° при 1/->оо. |
(3.96) |
a
Для этого возьмем гамильтониан
Яв = 7 ’- 2 У (1 + < В) Z g j J a, |
(3.97) |
a
где 0 < со < 1, и составим форму аппроксимирующего гамильтониана
На (С) = Т - 2V (1 + со) 2 ga (cJa + Caj a) +
a
+ 2 V ( l+ © ) S g aCaCa. (3.98)
a
Обозначим через Си точку С, дающую абсолютный минимум функции
U H J C ) } .
Если для какого-либо сколь угодно малого положи тельного со
С“ = 0, |
(3.99) |
то доказательство соотношения (3.96) тривиально. Стоит только в неравенстве (3.95) заменить Я на Яш и взять в гамильтониане Гт для Ям
(О
Та — 1 + со ’
и гамильтониан Г в (3.95) будет совпадать с Я. Нам остается, следовательно, рассмотреть случай, когда (3.99) неверно при сколь угодно малом положительном зна чении со.
Заметим, что значение С = С(ш) должно удовлетво рять уравнениям
д}х {Ни (С)}
т. |
с., |
на основании (3.54), |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
. th- ^ Л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
” |
= |
T |
& ~F |
ъ JП Г |
{ |
X |
( 1 |
+ |
» > |
« » с “ |
1 |
(!)в ( <4,/ ) ) I . |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
El (/) = |
f£ |
- ,u)2 + |
4 (1 + |
со)* |
J ] |
gpCg% |
(/) |
|
|||
откуда |
следует, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Tfci)) [ |
8а |
Г | |
о |
/£\ [ г!£ |
Qi |
|
(3.100) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q, == const |
от К |
не |
зависит. |
|
|
||||
Положим теперь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
(1 + |
®) Са — Ха |
|
|
|
(3.101) |
|||
и заметим, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
L |
{яш(С)} = |
fm {Н (х)} - |
2 |
|
У ^8а\ х а р. |
(3.102) |
|||||
Таким |
образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
4 М) = |
(1 + |
со)<Ди) |
|
|
|
|||
выражение в правой части (3.73) достигает абсолютного минимума.
Поэтому |
|
L i n (*'"’) ] - 2Т Г ¥ 2 |
« « ! Т < L {Н № (3.103) |
С другой стороны, |
|
L {Я (0» = |
min L {#(*)}, |
|
( X ) |
ввиду чего |
|
/00( Я ( Г ) } > /СО{Я(0)}.
Отсюда
0 < L {н ( * “)} - L {н (0)} < 2 |
v ga | х<?> I2. |
(3.104) |
Покажем, что |
a |
|
|
|
|
Хш -> 0 |
со —> 0. |
(3.105) |
133
Действительно, допустим обратное. Тогда, поскольку благодаря (3.100) Х{(Л} ограничено
U r l< ( l +©)-^<Qi,
мы всегда можем выбрать такую последовательность положительных со'—>0, что
причем |
Хы'}-+ X, |
|
|
Х ф О . |
|
(3.106) |
|
|
|
||
Положив в (3.104) со = о/ и переходя к пределу, |
найдем |
||
L{H(X)} = U H ( 0)}- |
(3.107) |
||
Но как мы видели, |
если точка |
С — 0 дает абсолютный |
|
минимум функции |
{Я (С)}, |
то другой точки, |
также |
реализующей абсолютный минимум этой функции, не существует, ввиду чего (3.107) несовместно с (3.106), и мы пришли к противоречию.
Таким образом, соотношение (3.105) доказано. Заме чая, что
L{H(0)} = L(T),
из (3.102), (3.104) получим
- 2 |
V £а I хТ |2< L {яю(см)} - и {(Г)} < о, |
||
т. е. |
а |
|
|
|
|
|
|
где |
0 < L (Г) - L { я ю(с'“>)} < |
©I (со), |
(3.108) |
|
|
|
|
Ш = T T ^ S ^ U a ra,|2 ->0 при со —>0 |
(3.109) |
||
|
О |
|
|
Примем теперь во внимание теорему 3.3. Поскольку |
|||
в рассматриваемом случае Н(С) = |
Н(0) = Т, |
можем |
|
написать |
|
|
|
|
1 М / / ) - и П | < 6 и-*0 |
(17-> 00). |
|
Имеем также для гамильтониана Я(й))
1 ^(Я в) - / оо(Ят (С(ш))|< б „(© )-> 0
при V —> оо.
134
Здесь б(, (со) обозначает 6V для Нь). С другой стороны,
о < fv (Я) - /V (Яй) = fy (Я) - L (Г) + /„ (Г) -
- |
L К (c to))} + |
L { н ж (с ы )} - |
f v (h j , |
и потому |
|
|
|
О< fy (Я) - |
f y (Яи) < 6К + |
Ьу (со) + ©I (со). |
(3.110) |
Воспользуемся здесь неравенством (3.63), положив в нем
Го = Яю, |
Г, = 2V<£> |
gaJaf a, Г0 + Г1==Я. |
|
|
Тогда из (3.110) |
получим |
|
|
|
|
|
\ (со) |
+ -?Г £(«>). |
(3.111) |
|
' ' ' |
2со |
||
|
|
|
||
Но это неравенство справедливо для любого значения со в интервале (0 < со < 1), а его левая часть от со вообще не зависит. Следовательно, левая часть (3.111) не будет превосходить нижней грани правой части в данном интервале
= |
6(/ + |
(®) |
|
inf |
2(0 |
+ т К®)}* |
|
|
О<to < 1 |
||
Нам остается |
показать, |
что |
стремится к нулю |
при V —>оо.
Фиксируем сколь угодно малое число р. На основа нии (3.109) можем фиксировать в рассматриваемом интервале (0 < со < 1) такое число со0, что
I К Х р -
Видим тогда, что
Ь у + 6^ (со0)
2со0
Но, поскольку со0 фиксировано, имеем
V + бг (®о) |
-> 0 при V- О О . |
2соп |
|
Мы можем найти такое значение К0, что
+ |
(®о) |
< 4 |
для |
V > V0 |
2со0 |
|
|||
|
|
|
135
Таким |
образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tv < Р |
Для |
V > Vn, |
|
|
|
|
|
т. е. |
>0 |
при |
F->oo, и соотношение (3.96) доказано. |
|||||||
Ясно теперь, что И принадлежит к типу (1.14), (1.15), |
||||||||||
причем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г „ = 7 \ |
т ) = 0, |
Са = 0, |
|
Ga = |
2ga. |
|
|||
Благодаря |
(3.96) |
пункт |
3 условия |
1 |
(§ |
1 |
главы |
1) |
||
выполнен, |
остальные пункты 1 (§ |
1 |
главы |
1) и |
Г |
|||||
(§ 7 главы 2) в данном случае тривиальны. Воспользуемся поэтому предельными теоремами, дока
занными в главах |
1, |
2. Видим, |
что для операторов 91, |
к которым относятся эти теоремы, можем записать |
|||
lim |
(51)я = lim |
(2l)r . |
|
V |
оо |
У->оо |
|
Применив (3.88), |
убеждаемся, |
что |
в исследуемом слу |
чае, когда С = 0, |
имеем |
|
|
{21}я = lim (91)я = |
П т |
(91)г . |
|
|
V -» оо |
V оо |
|
Таким образом, квазисредние и обычные средние рас сматриваемых операторов асимптотически равны соот ветствующим средним, взятым по гамильтониану Т. Члены взаимодействия в Я и здесь оказываются не эффективными.
Г л а в а 4
МОДЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ
КОМПОНЕНТАМИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
В четвертой главе рассматриваются как модельные системы с положительными компонентами взаимодей ствия, так и системы, содержащие сразу положитель ные и отрицательные компоненты четырехфермионного взаимодействия. При условиях 1 § 1 главы 1 построено асимптотически точное решение для таких модельных систем.
Развиваемая здесь методика приводит к принципу минимакса для модельных задач с четырехфермионным взаимодействием и позволяет находить асимптотически точные выражения для свободных энергий и многовре менных корреляционных средних.
Предлагается также вторая эквивалентная формули ровка принципа минимакса.
§ 1. Гамильтонианы с отрицательными константами связи (отталкивательное взаимодействие)
Рассмотрим гамильтониан, получающийся из гамиль тониана Я, изучавшегося в предыдущей главе, заме
ной |
£а на — ga |
|
+ |
|
|
|
|
|
Н = Т + 2V |
£ gaJaJa, |
(4.1) |
где |
ga > 0, |
а = |
(1<а<г) |
|
|
1, .. •, г. |
аналогии, попробуем |
по |
|||
Исходя |
из |
соображений |
|||
строить для такого Я |
обычную |
форму |
для соответ |
|
ствующего аппроксимирующего гамильтониана |
|
|||
Я (С) = Т + 2V 2 |
ga {Ca/ a + |
CaJa - |
СаСа). |
(4.2) |
137
Имеем |
|
// = // (С) + 2И Vаga(/„ - С„) (4 - |
Са) > Н (С). |
Поэтому теперь, в огличие от предыдущей главы, |
|
fv ( H ) ^ f v {H(C)}, |
(4.3) |
причем это неравенство выполняется для любых ком плексных С. Следовательно, если мы желаем подобрать постоянные С в форме (4.2) таким образом, чтобы fv {Н (С)} оказалось возможно ближе к выражению fv (Я), мы должны определить С из условия абсолютного максимума [33]:
С = С, /у {Я (С)} = max fv {Н (С)}. |
(4.4) |
(С) |
|
Предположим теперь, что в рассматриваемом гамиль
тониане (4.1) операторы Т, |
/ а удовлетворяют |
|
условиям |
|||
I fv(T)\<Mo, |
Н а К М1. м 0, |
Лф = |
const. |
(4.5) |
||
Введем выражение |
|
|
|
|
|
|
Fv {C) = fv {H(C)} + 2 2 g aCaCa |
|
|
|
|
||
|
4 | r + |
2 V |g a (Ca4 |
+ Ca4 )} |
(4.6) |
||
и заметим, что |
|
|
|
|
|
|
d Fv (С) |
|
+ d Fv ( С ) |
|
|
|
|
17------=2ga(Ja)H(C), |
■2g(Ja) |
Я (С)- |
|
|||
д С а |
|
д С а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поэтому в силу условий (4.5) |
|
|
|
|
||
d Fv (С) |
2gaMl, |
d F v ( С ) |
2ёаМо |
(4.7) |
||
дСа |
дСа |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
С другой стороны, проблема абсолютного максимума функции
fv{H(C)} |
(4.8) |
эквивалентна проблеме абсолютного |
минимума функции |
- fy {Н (С)} = - Fy (С) + 2 |
2 gaCaCa. |
|
a |
Поэтому, принимая во внимание неравенства (4.7) и повторяя рассуждения из начала предыдущей главы,
138
мы и убеждаемся в существовании величин С — С, реализующих абсолютный максимум функции (4.8) в про
странстве всех точек С = (С,, |
Cs) с комплексными |
величинами Ca ( l ^ a ^ s ) . |
|
Поскольку функция (4.8) обладает непрерывными
частными |
производными |
всех порядков по переменным |
||||
|
* |
|
|
|
|
|
... Са . . . Са, видим, что значения |
|
|
||||
|
Са = Са, |
Са = Ь а |
(а = |
1........ S) |
|
|
являются |
решениями уравнений |
|
|
|||
|
д f v ( Я |
( С ) ) |
|
d f v ( Н ( С ) ) |
(4.9) |
|
|
д С а |
|
|
дС& |
|
|
|
|
|
|
|
||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c a = |
(Ja) тсу |
С„ ( h Н(С)- |
(4.10) |
||
Следовательно, на |
основании |
(4.5), |
|
|
||
|
| Са | < М , |
( а = 1 , |
г). |
(4.11) |
||
Заметим, что в рассматриваемом случае модельной си
стемы (4.1) |
точка С = С является единственной. |
Более |
|||||
того, покажем сейчас, |
что решение уравнений (4.9) един |
||||||
ственно. Для этого построим выражение |
|
||||||
fv {Н {C-\-tz)}—Fv (C+/z)—2 2 |
ga(Qx+ ^a) (Ca+ ^za)> (4-12) |
||||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
z = (zlt ... , |
zr), |
|
|
||
za— произвольные комплексные |
числа. Но |
|
|||||
где |
Fv {C + tz) = fv (Г0 +Дф), |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r0= r + 2 H 2 £ a(Ca/a+ |
ca4), |
|
||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
Г , |
= 2 V 2 |
g a ( z J a + |
2 a / a ) . |
|
||
и потому |
|
a |
|
|
|
|
|
|
-^rMC + feX о. |
|
|||||
|
|
(4.13) |
|||||
Отсюда, на |
основании |
(4.12), |
следует, что |
|
|||
|
d 2fv |
{ н (С + |
/г)) |
- 4 |
У |
gaZaZa- |
(4.14) |
|
|
d t 2 |
< |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
139