книги из ГПНТБ / Боголюбов, Н. Н. Метод исследования модельных гамильтонианов

Воспользовавшись выражением (3.53) и дифференцируя,

найдем

Это же неравенство находится в противоречии с (3.59). Следовательно,

I2Q

Итак, сделанное примечание доказано.

В заключение настоящего параграфа, содержащего предварительные результаты, относящиеся к свойствам свободных энергий fv, fv {Н (С)} и /00{Я(С)}, докажем еще неравенство, которым в дальнейшем будем часто пользоваться.

Рассмотрим системы, определяемые гамильтонианом, линейно зависящим от некоторого параметра т:

Я ^ Г о + тГ,.

Определим формально выражение

fv(HJ = ~ y ln S p e -^ /0,

которое будем называть свободной энергией на единицу объема V для модельной системы Нх. Дифференцируя Рто выражение, имеем

121

Таким образом, на основании (3.61) мы установили следующее важное для нас неравенство:

Т <Г'>г0+г1< fv (Го + Г,)— fv (Го) < - у <Г,)Го. (3.63)

Этими неравенствами мы в дальнейшем воспользуемся, когда конкретизируем модельную и аппроксимирую­ щую системы и выберем надлежащим образом члены с «источниками».

§ 7. О трудностях введения квазисредних

Займемся сейчас вопросом об определении квази­ средних. Пусть 51 будет каким-либо оператором того типа, для которого в главах 1 и 2 были сформулированы предельные теоремы 1.1, 1.2, 2.1, 2.2, например, произ­ ведение из ферми-амплитуд, полевых функций и т. д. Тогда квазисредняя такого оператора для рассматриваемого гамильтониана (3.29) определяется как предел

получающемуся из Я добавлением «членов с источни­ ками»

трудности, связанные с определением (3.64). Так, в дан­ ном определении не указывается, например, в какой области должны лежать параметры v и каким образом следует устремлять их к нулю, чтобы обеспечить сходи­ мость в определении (3.64).

тах [15, 41], основные результаты которых были кратко резюмированы в начале главы 1. Напомним, что здесь Т, J даются формулами (1.2), причем функция K(f)

122

Удовлетворяет всем наложенным там условиям. В ка­ честве Г был взят гамильтониан с вещественным поло­ жительным v:

К ак было показано, Г приводится к виду

f

G (/)= 2gM f){c(v) + - ^ } .

Здесь

C(v) + - ^ > 0 ,

a величина C = C(v) реализует абсолютный минимум функции /„{Г(С)}:

Как видно, рассматриваемый гамильтониан Г принад­ лежит к классу (1.14), а благодаря условиям, наложен­ ным на X(f), и неравенству (3.67), выполняются усло­ вия 1 § 1 главы 1 и условия Г § 7 главы 2.

В силу этого можем воспользоваться упоминавши­ мися предельными теоремами и установить существо­ вание пределов типа

Доминициса, и совершенно элементарно можно устано-

123

дится просто к замене в этом выражении С (v) на С,

т. е. к замене усреднения по Га усреднением по Н (С). Тем самым устанавливается существование квази­

Посмотрим теперь, как изменится ситуация с опре­

очевидно, существует и дается формулой (1.9), в которой

124

v —>0 оказывается еще более сложной. Кроме градиент­ ной инвариантности (обусловленной градиентной груп­ пой) могут появиться и другие группы преобразований, например, группа вращений.

Обратим еще внимание на трудность, специфичную для s > 1.

Возьмем гамильтониан

Я= Т — 2VgJ]Jl— 2VgJ2J2,

Г= Я - V {V, (У, + /,) + v2 (J2+ /+2)},

причем V], v2 берем вещественными и положительными.

Положим здесь

гамильтонианом (1.1), который только что рассматри­ вался.

Возьмем V) = v2. Тогда члены с источниками пол­ ностью выпадают и Г = Я, и поскольку оператор Я сохраняет число частиц, имеем тождественно

+ +

(а{а_{)г = 0.

Как видно, в такой ситуации мы не можем вообще правильно определять квазисредние.

§ 8. Новый метод введения квазисредних

Чтобы избежать такого рода трудностей, выдвинем

предложение взять v пропорциональными С с положи­ тельными коэффициентами пропорциональности

1 2 6

Рассмотрим в таком случае аппроксимирующий

гамильтониан

уравнения движения. Как видно, мы получили аппро­ ксимирующий гамильтониан для Я с измененными параметрами

Для того чтобы Га из (3.76) оказался аппроксими­ рующим гамильтонианом не для Нг, а для первоначаль­ ного Я, следует в выражении Г из (3.66) (в котором v

взято согласно (3.75)) заменить ga на ga — — , положив

Ясно, что здесь кроме добавления «источников» мы провели некоторую «ренормировку» параметров ga.

К этому выражению для Г можно добавить любой постоянный член, поскольку он не окажет влияния ни на средние ( . . . ) г , ни на уравнения движения. В каче-

*

стве такого постоянного члена возьмем V 2 гаСаСа.

а

Тогда гамильтониан Г представится формой

Подчеркнем, что здесь, как всегда, С обозначает точку, в которой достигается абсолютный минимум функции /о. {Я (С)} (см. (3.48)). Для удобства обозначений по­ ложим в (3.77)

ra = 2raga, где та > 0.

126

0^ f v { H( C) } - f v ( H ) ^

<IL {Н (С)} - f v {H) 1+ 1L {Я (С)} - h {Я (С)} I.

Поэтому, на основании теоремы 3.3, получим

0 < f v {H(C)} - fy (Я )< 6 К + 6К,

откуда, учитывая (3.80), находим

0 ^ f v ( V ) - f v ( H ) < K + bv>

0 < / к { Я ( С ) ) - Д ( Г ) < 6 , + б к.

127

Воспользуемся теперь неравенством (3.63), положив в нем

Г0= Я , Г1== Г — Н = 2V %аT aga(Ja - C a)(Ja - C a).

Тогда, основываясь на первом из неравенств (3.81), получим

мы 3.3 и Г представляется выражением (3.78), в котором

H = T - 2 V ^ g aj J a

а

операторы Т, Ja не связаны представлением (3.2) и удовлетворяют лишь условиям теоремы 3.2.

Тогда, заменив в приведенных выше рассуждениях теорему 3.3 на теорему 3.2, убеждаемся, что теорема 3.4 остается справедливой.

Заметим еще, что доказанная теорема 3.4 в случае конкретного вида операторов (3.2) и при выполнении условий теоремы 3.3 дает возможность непосредственно преобразовать гамильтониан Г к форме (1.14), (1.15), при этом окажутся выполненными условия 1 § 1 главы 1

иусловия Г § 7 главы 2. Имеем, действительно:

128

и потом у *)

г = Н(С) ~ 2У S ga(1 - та) (]а - Са) (Ja - Са). (3.84)

а

Как видно, этот гамильтониан имеет здесь вид гамиль­

равномерно по отношению к температуре 0 в любом

Но Я(С) не зависит от параметров т в рассматривае­