книги из ГПНТБ / Боголюбов, Н. Н. Метод исследования модельных гамильтонианов
.pdfгде |
|
|
|
|
|
|
E f ^ V f j |
+ \ Q(f) f, |
(Ef = E (f), |
Tf — T (/)), |
|
откуда |
найдем |
|
|
||
fv {H (C)} = - |
у In Sp e~H<c»e = |
|
|||
= |
2 £ |
gaCaCa - 2ТГ S ^ |
~ r f} “ Г |
S ln (1 + |
|
|
a |
f |
|
f |
|
|
|
|
|
|
(3.44) |
или, |
выделяя |
в суммировании индексы р и а: |
|||
/к {Я(С)} = 2 |
^ аСаСа - |
|
|
||
оР
-0 Е т Е 1п{1 + е - * (ЛО)/0}. (3.45)
ар
Сдругой стороны, нетрудно заметить, что если мы имеем некоторую ограниченную функцию F (р) (опреде ленную везде в пространстве (Е)), точки разрыва ко
торой образуют множество меры нуль, то тогда
у- |
I F ^ dP |
(3-46) |
P.^ s r |
sr |
|
для любой сферы Sr с произвольным фиксированным радиусом г. Действительно, такая функция F (р) будет интегрируемой в смысле Римана в области Sr, а для точек суммирования
и__ (2я«! 2яп2 2я«3\
р ~ \ 1 Г ' ~ТГ ’ ~т~)
имеем
АР,-Др»-Др« = ( ^ 3- 12“»'
(2я)3
Так что —у — 2j Е(р) будет суммой Римана для интеpesr
грала | F(p)dp. Заметим далее, что если еще
V 2)l F (р) К Л = const,
I 10
то тем более
у S I П р ) \ < А , P^ s r
откуда, переходя к пределу при У-*оо, имеем
J |P ( p ) |r f p < А
s r
Благодаря произвольности радиуса г видим, что F (р) является абсолютно интегрируемой функцией во всем пространстве (Е), причем
Пусть теперь для данной функции F (р) справедливо неравенство
у |
S |
\F(p)l<r]n |
|
|
|
p e = E -S r |
|
|
|
где (Е — Sr) обозначает |
множество |
точек Е, |
лежащих |
|
вне сферы Sr, а цг не зависят от У |
и т}г->0 |
(г-> оо). |
||
Тогда, очевидно, |
|
|
|
|
р |
|
F ^ |
dP’ |
<3-47) |
|
|
|
|
|
так как достаточно фиксировать произвольно малое
число е > 0 |
и выбрать |
г = г0 |
так, чтобы |
|
|
< е/4. |
|
Ввиду (3.46) можем |
найти |
такое число F0, что для |
|
V ^ V q имеет место неравенство |
|||
1 |
■£ f <p ) |
|
F(p) dp |
т |
(2я)3 |
||
|
|
|
П1 |
Имеем поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2 я ) |
3 |
F(p)dp |
|
|
||
|
Т |
£ |
|
^ |
|
F(p)dp + |
|
|
Sr, |
(2я)3 |
|
||||
|
Р е |
|
|
|
|
||
+ т |
£ |
|
|
( р )I z1 7 |
|
+ |
F (J p ) [ d PI ^ |
^ |
- v |
£ |
|
|
~Sr*+E |
||
|
|
|
|
|
|
< е/2 + е/4 + е/4 < е |
|
для любого |
И > И 0, |
что |
и устанавливает справедли |
||||
вость (3.47). |
После этих тривиальных |
замечаний обра |
|||||
тимся к выражению |
(3.45). |
Из |
(3.42) |
и условий (3.37), |
|||
наложенных выше на функции, |
ясно, |
что |
|||||
|
|
| Q (р, а) | ^ |
Q0 = |
const, |
|
||
-рг V | Q (Р) а) |2 < Qj = const.
р
Видим также, что точки разрыва функции Q (р, сг), а следовательно, и функции
Е (р, а) —
£ r - ^ - V ( £ - - ^ ) 2 + i Q(P’ ct) M i£ - b)
образуют множество меры нуль в пространстве |
Е. Да |
||
лее, для р2^ 4 т р имеем |
|
|
|
Р2 |
р 2 |
|
|
О < Д ( р , 0 ) - ^ - ц ) < |
| Q (р, а) | 2 _ _ 2 от |
Q(P, |
<г)Р, |
4т
откуда
~V {Е(р. «т) — 2т
Р6Е £ - S r
р2^ 4 я г ц .
Таким образом, учитывая только что сделанные заме чания, видим, что
( 2 л ) 3 { Е (Р’ ^ - { - t i ~ v ) } dP-
из
Имеем далее
In {1 + е~Е {Р' ®>'0} < е~Е (р’а)'° ^ const • е~^12тд.
Поскольку эта функция достаточно быстро убывает при р->оо, а точки ее разрыва образуют множество меры нуль, получим также
1.V in{1+ (р.0 /0}_>_1_ J In{1+ е ~ Е <Р.°>'0}й р ,
р
Тем самым мы и убеждаемся в справедливости свой ства (3.40), причем здесь
f00{H(C)} = 2 y 4gaCaCa~
а
о
|
<7 |
или более сокращенно |
|
L W (С)) = 2 % §аСаСа - |
J {Е (/) - Т(/=)} df - |
а |
|
“ W |
J In{l+e_E(f,/e}^ - (3-48) |
Здесь интегрирование | ( . . .)df подразумевает операцию
о
Итак, в рассматриваемом случае при выполнении условий (3.37а), (3.38) условия теоремы 3.2 удовлетво ряются.
Как уже отмечалось выше, при доказательстве этой теоремы, сходимость
M tf(C )} -U tf(C )} -> 0 |
(3-49) |
V —>■оо |
|
является равномерной на любом ограниченном мно жестве точек С.
И?
§ 4. О равномерной сходимости функции свободная энергия по 0 и об оценках величин
Покажем, что в данном случае сходимость (3.49) является равномерной также и по 9 в интервале ( О < 0 < 0О), где 0О— любая фиксированная температура. Как видно, такое свойство будет установлено, как только мы покажем, что
66'(fv {Н (С)} - {Я (С)}) < X = const (0 < 0 < 0О), (3.50)
чем сейчас и займемся. Имеем
66 fv {H(C)}- |
|
|
|
|
|
V M ) ,~E(f)/0 |
|
|
V ln { l |
+ e-B(f)/e}_ |
1 |
||
|
V |
f |
|
|
BV |
y i 1+ e~E (f)/9 * |
Поскольку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•у е~Е12в ^ |
■— |
(а |
также Ее~Е1в^ |
е~^,2е), |
||
можем написать |
|
|
|
|
|
|
60 f v { H ( C ) } |
< 1 |
V |
е - Е |
(f)/20 4_ A JL V |
Р - Е (f)'20<- |
|
^ V j U e |
^ е V 2 л е |
^ |
||||
|
|
|
|
(f) |
|
|
Совершенно |
аналогично, |
найдем |
|
|
||
U H ( C ) ) |« ( i
ипотому
^( f A H( C ) } - UH( C ) } )
1У
<1 + е / П Л
+ t ) i s f l ‘ - E m d>’
е -Е(П12в„ I------------! _ , р - ■Е (f)/20„ df
^ (2л)31е
Ввиду быстрого убывания е-£(б/2е» при J р | —> оо ин теграл
J e-B(f>/2М /
114
имеет конечное значение и
- я п т df.
f
Таким образом, неравенство (3.50) установлено и тем самым доказана равномерность сходимости (3.49) по 0 в интервале (0 < 0 ^ 0О). Поэтому в рассматриваемом случае в теореме 3.2 соотношение
67 ->0
У“»оо
имеет место равномерно по 0 в этом интервале. Таким образом, положив
е (-р-) + <V — V,
можем сформулировать пункт 2) данной теоремы в виде
|
I U Ш( С ) } - ПН ) |
|< б „ |
|
||
dv ->Q |
равномерно |
по 0 |
в интервале |
(3.51) |
|
V -»°о |
|
|
|
( О < 0 < 0 о). |
|
|
|
|
|
|
|
Как уже |
упоминалось, |
для |
|
е(1/К) было |
получено |
в нашей работе [30J явное выражение. Нетрудно было бы
получить также явное выражение для оценки |
раз |
ности |
|
fv { H( C ) } - f x {H(C)l |
(3.52) |
если наложить на Xa(f) надлежащие условия гладкости и убывания при |р |-» о о . В самом деле, (3.52), как мы видели, является разностью между суммой Римана и соответствующим интегралом, так что можем здесь вос пользоваться хорошо известными приемами теории при ближенного вычисления трехмерных интегралов.
Таким образом, можно показать, например, что если функции Ха точки (р) везде (за возможным исключе
нием |
некоторых достаточно гладких |
поверхностей |
раз |
||
рыва) |
непрерывны и дифференцируемы, а при р->°о |
||||
|
^ |
к нулю |
вместе с |
дХа |
т0 |
достаточно быстро стремятся |
|
||||
|
6К< c o n s t |
c o n s t |
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
115
В случае же, когда Ха везде непрерывны и обладают производными второго порядка по (р), а при р->оо достаточно быстро стремятся к нулю вместе со своими производными до 2-го порядка включительно, то молено получить и более сильную оценку
c o n s t
у2/'Л
§ 5. Свойства частных производных от функции свободная энергия и теорема 3.3
Займемся |
сейчас |
вопросом |
о частных |
производных |
|||
по переменным |
Си . . . , Cs, Си . . . , Cs функции |
||||||
U tf(C )} = 2 |
^ |
aCaCa - |
|
|
|
||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
2^ 3- J |
{£ (f) - |
T (/) + 20 In (I + e - w* |
°)} df. (3.53) |
|||
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
U = |
{E (/) - T ( f ) + 26 In (1 + |
|
e-fi (fl/в)} - |
|
|||
|
|
= |
/1 |
2 |
) |
dE (f) _ |
|
|
|
|
l |
1 + e£(f)/e |
J |
dC a |
|
Но благодаря (3.38) и неравенству |
|
0 < |
1 |
видим, что U является |
ограниченной функцией (р) в Е: |
1 ^ 1 < | S ffp lC p |Q2g„.
р
Ясно также, что U является непрерывной и дифферен цируемой функцией С во всем пространстве точек (С). С другой стороны, поскольку
I t h x K l ,
116
имеем также
2
£4?) 2 & g s lC e IU f ( /) i„ ( 0 1 <
С1
|
(3 |
|
Отсюда нетрудно заметить, что U (р) является абсо |
||
лютно интегрируемой в Е и |
J \ U \ d p ^ |
|
| и dp — | U dp = |
J U dp |
|
S r |
E - S r |
E - S r |
< 4in S £a£p! Cp | / JIЯр |
(/) prfp • J | Яй(/) f rfp |
|
для r2^ 4mp.
Следовательно,
j U dP - j+ z * J u dP
s r
равномерно по отношению к С на любом ограниченном
множестве точек |
С. |
|
|
|
|
Таким образом, выражение (3.53) можно дифферен |
|||||
цировать по Са (или С*) под знаком |
интеграла и соот |
||||
ветствующие производные |
|
|
|
||
dfcoWiC)) |
|
|
|
|
|
дСа |
|
th E(f) |
|
|
|
|
£а |
|
|
|
|
= 2gaCa ~ |
29 |
|
(f)]k(f) df, |
||
(2пу I |
E(f) |
|
|||
d U {Н ( С ) } |
|
|
Р |
|
(3.54) |
|
|
|
|
|
|
дСР |
|
|
th E(f) |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
2gaCa - |
|
20 |
S g PW / ) U « ( f ) df |
|
(2я )3 |
E(f) |
||||
|
|
|
|
p |
J |
будут непрерывными функциями С во всем простран стве точек С.
Нетрудно заметить, что аналогичное рассмотрение
справедливо для |
частных производных f (Я(С)} по пе- |
|
ременным Си |
* |
* |
Cs, Си . . . , |
Cs любого порядка. |
|
117
В самом деле, при дальнейшем дифференцировании |
||
th |
£(П |
|
выражения кроме фактора |
20 |
появляются еще |
E U ) |
|
|
выражения |
|
|
£=£ (f) |
Е дЕ |
th20 |
' Е=Е (f) |
||
являющиеся ограниченными |
функциями |
Е, поскольку |
th-g-
- Е при малых Е разлагается в ряд Тейлора по четным
степеням, а при Е~> <х> убывают как
|
1 |
const |
1 |
const |
|
~W ~ |
’ |
~W |
|
Кроме |
того, при |
дифференцировании U по перемен |
||
ным С |
появляются еще |
полиномы по Са, Са, Ха (f), |
||
также не мешающие повторению приведенных выше рассуждений.
Возвращаясь к выражениям (3.54) первых производ ных, видим, что поскольку они являются непрерывными
функциями С, то в точках С — С, реализующих абсолют
ный минимум функции /00{Я(С)}, |
имеем |
||||
2g aC a — |
|
th |
E(f) |
|
|
§ а |
29 |
( y i |
|
||
2(2л)3 |
- r |
f r |
I l i |
{f)\ K if) df = °> |
|
J |
|||||
|
|
thE( f ) |
|
(3.55) |
|
2g aC a - |
£а |
|
K ( f ) d f = o. |
||
2(2л)3 |
|
|
|
||
Итак, резюмируя полученные сейчас результаты, убе ждаемся в справедливости следующей теоремы.
Т е о р е м а 3.3. Если в гамильтониане (3.29) опера торы Т, / а имеют вид (3.29*), а функции %a{f) удовле творяют условиям (3.37), (3.38), (3.39), то
|
|
! М / / ( С ) } - и я ( С ) } К 6 и |
(3.56) |
||||
для |
|С а |^ 2 М , (а = 1 , |
... , |
а), где |
6к —>0 |
равномерно |
||
по |
0 в интервале |
(0 < |
0 ^ |
0О). |
|
|
|
|
Здесь |
fx {Я (С)} |
представляется выражением (3.53) и |
||||
обладает |
непрерывными частными |
производными по |
|||||
пз
переменным (С,, . . Cs, С,, . . ., Cs) всех порядков для всех комплексных значений этих переменных.
Эта функция имеет абсолютный минимум в про странстве всех точек (С), который реализуется в неко торых точках С = С:
minfOB{H(C)} = fao{H (С)},
|
|
(С) |
|
удовлетворяющих уравнениям (3.55). |
|
||
Имеет место неравенство |
|
||
|
|
I M tf ) - L { tf ( C ) } |< 6 „ |
(3.57) |
где Ъ\>= |
(е |
+ fy/j -> 0 равномерно по |
0 в интервале |
(О < 9 < |
0О). |
|
|
Сделаем сейчас примечание к этой теореме. |
|||
§ 6. Примечание к теореме 3.3 и построение |
|||
вспомогательного неравенства |
|
||
Точка |
С = С, в которой функция /га{Я(С)} достигает |
||
абсолютный минимум, вообще не является единствен ной; но в частном случае, когда абсолютный минимум
реализуется в точке С — 0, |
свойство единственности |
имеет место. |
|
Иначе говоря, если |
|
min fx {И (С)} — fx {Н (0)}, |
|
с |
|
то |
для С ф О |
L{H(C)}>f„{H(0)} |
|
(т. е. для С, у которых хотя бы одна компонента Саф 0). Чтобы установить это свойство свободной энергии, взятой для аппроксимирующего гамильтониана, пред положим обратное.
Тогда существует такая точка С ф 0, что
L{H(C)} = foo{H(0)}. |
(3,58) |
Положим С = ] / т С (т > 0) и рассмотрим функцию
ф (т) = foo { н{ Ух ■с)}.
Тогда, благодаря (3.58),
Ф(1) = Ф(0). |
(3.59) |