книги из ГПНТБ / Боголюбов, Н. Н. Метод исследования модельных гамильтонианов

Теперь

воспользуемся

неравенством

| а ( г и . . .

,r s\ q p 1(. . . .

Ф , ) а| ( г< и ! . . . r,s ; . .. . . . . . . . . Ф , ) —

—a(£i,

•••,

L; л.........

+

•••>

Л1........

п ,Ж

да

I ~Ь

^

да

Фа — %

I +

д г а

йфа

1^

а < s

1< а < s

+ 1а(£„

• ••> £s!

Ли •••>

Л^) 1>

(3.19)

и возьмем

в нем

Га + К 1 а < Г а + 21,

фа < Ла < Фа + ?>а,

так,

чтобы

(I ^ а ^

s)

(£i

• •. L:

Ль • • •> Л*) =

+

г^+2/

гs+2/

Cpj+6j

С ...

f

d r

f . . .

[

</ф я (г,

ф)

Т Т

(Та)

__ r , + Z

r s + l

Ф,

ф*

1 < а <

---- ,

(3.20)

^

Д

{ [(/-а +

21Y -

( Ла +

О2] ба}

1< а ^

5

где

обозначено:

d r

d r {

•

• d r s ,

d(f =

с?ф1

.. й?ф5,

r =

( n,

r s),

Отметим, что

Ф = ( Ф 1 ,

• •. ф*).

df

< 2Ми

df

<

2М,ГV ,а

дга

дфа

(3.21)

да

< 4 М„

да

AM На-

д г а

<?Фа

оценить следующим

образом:

V

да

1+ 2

да

Фа — Л а К

д г а

<3фа

1< а < s

1< а < s

< 4M ,s- 2/ +

4М,

s — \2Mxsl.

(3.22)

Выражение а (|,,

. .. ,

gs;

т),,

. .. ,

т]^) ограничим, ис­

ходя из

формул (3.17),

(3.20).

Подставим (3.18)

в пра-

всем

значениям переменных г,, . .. , rs, ф1( ...,<р4 в сле­

дующих пределах:

Га +

^

га <

га + 21,

6а =

Цга

( l < a < s ) ,

Фа ^4 Фа ^

Фа +

Йа.

Тогда

получим

° <

J

•••

/ а (П> •••> rs\ ф,........ ф,)Х

X Г{ ■г2 . ■. rs drx ... drs d(fx ... dys<

^

2

V J ' ' ' J

(r2 ' r3 • ■•

rs) +

F2 {rx• r3 ...

rs) + ...

• • •

+

Fs(rx -r2

... rs-x)}drx ... drsdq>x ...

dys +

+

J • • • J I ' r

r. ) + Fr

. . .

+

F2J3(r, • r2 ... /-y3)) dr{ ...

drs dq>x ...

(3.23)

здесь

д

.

д ( - П

(1 < a < s ) .

дга

a

дга

Рассматривая отдельные члены суммы (3.23), перед ко­

торыми стоит множитель 0/(2 V), видим,

что их можно оце­

первые производные

дf

df

0 Фа

-X- ограничить с помощью

иг а

0

^

2Mi (6р + 2)

П {(ra + 2/)2- ( r u + /)2}6a. (3.24)

2V

2 j

i . 2s-1 6r

i <p<s

Р

^ a < 5

рассуждения

для всех членов суммы,

перед которыми

М 2/3

стоит множитель ■~2/3 , получим

М 2'3

((бр + 2) 2Мх)2/3

п «Л, +

20г - ( г „ + (Л6„.

£

2s-h2l4 f

K K s

(3.25)

получим оценку

для

/го — /г =

a(rv

rs\ qp,, . . . . qps)

2ем,

\T

(5|3 +

2) .

0 < / го- / г < 1 2 л у 5 + - 1 г -

2 i

/бд

Н

Щ

+

м2/3

у

(бр +

2)3/3

(3.26)

^ г ( 4Atf.)2/3

6 2/¥

/3

jnd

1<P<s

Заметим, с другой стороны,

что

6р =

//гр,

и выбе­

рем .ft:

V, |, . . . .

| VJ

таким образом, чтобы Я ^

гр ((3 =

1, . . . ,

s), 6р !> 6 = ///?.

Тогда с помощью очевидного неравенства

( /+

2/?)2/3 ^

< ( / 2/3 + (2 R f3) из (3.26)

найдем

0 < f ro- f r < 1 2 Л у 5 +

20Mi

s (/ +

2/?) -f-

V I 2

.

М2'3

(4Mi)2/3 ,

Щ2'3

(4 M i )

2/3

(3.27)

+

j/2/3 s

/2/з

+

у2/3

S

'

/4/3

22/3. /?2/3,

Выберем

теперь

произвольное

I >

0

так,

чтобы

12МЛ =

М 213

( 4 М , ) 213 .

тогда

у2 /3 г2/3

/ =

Р

Л42/5

22/5 =

const.

у 2 /5

>

З3/5 *

Л-/1/5 •

Подставляя

это

выражение для

I

в неравенство (3.27),

найдем

0 < f — f <7 24M s

Р

I

29/VflS

I

V ^/r»

^2/5

-f

^3/5^

+

при

|v a |< 7?

( l < a < s ) .

лости разности

(fH>— fHу.

D

ОО Л/f.o

0 <

/я » ~f a < 2 4 M iуs2/5

y3fip+ ' 2 8 M lS (3.28)

Р — несложная

комбинация

начальных

констант Ми

Л42, М3. Ясно

также, что

полученная

оценка имеет

и многовременных корреляционных функций,

Г-произ-

ведений и функций Грина.

Имея в виду приложение

этих общих результатов

к конкретным модельным

системам,

возьмем

систему

с «отрицательным

взаимодействием»,

характеризуемую

гамильтонианом

Н =

Т 2V

2

g j J a .

(3.29)

1< а < s

7“ = 2

(3.29*)

f

=

( < * = ! , . . . , S).

Но прежде чем перейти

к исследованию именно этих

Т е о р е м а 3.1. Пусть операторы Т, Ja

в (3.1)

удовле­

творяют следующим условиям:

Т = т,

\Ja \ < M lt

\TJa - J aT \ < M 2,

l / a / p - Z p / a K - ^ - ’

{3-30)

=

COnst),

и пусть, кроме того, свободная энергия,

вычисленная

на единицу объема, для гамильтониана

Т ограничена

постоянной

|/(7 ')K M „ = const.

(3.31)

0 < m in f(tf (С))- / ( / / ) <

(3.33)

к

в

в

интервале

(О < 0 ^

0О),

где

0О— произвольная

фиксированная температура**).

Приведя формулировку этой теоремы, займемся

сейчас

вопросом о существовании предела

Пт /(Я).

V-> эо

*)

Условимся всегда

обозначать

через

min f (С)

абсолютный

минимум

с

функции f (С) в пространстве всех точек С.

**) Свободную энергию на единицу объема для

какого-либо

гамильтониана А:

— (Г In SP е~А/д,

будем

обозначать через

} (А)

или,

если мы желаем

подчеркнуть

ее

зависимость от объема

V,

f v (Л).

Учитывая методику

работы [30],

найдем,

что

A

f ,

I 1 \

2

4 Л

0

9

Vg

U 1

V I

-

1

’

где

y 2ls

у У г р

(

м 2

+ 4 А41 М• 3 • s

1 у/.

Д Ve

- т г

h

ё

е ' ч

з5/'- м ‘/5

где

M i — постоянная, несложно выражаемая через постоянные Ми

М 2,

М 3 и g > 0 — наименьшая из величин g h

g 2,

. . . , g s', s — число

членов

в сумме (3,32).

и заметим,

что

а

3F.. (С)

2ga (Jа)н (С)>

d+F v (C)

—

2ga (7a)//

(О

~

ес;

дС

Поэтому, на основании (3.30),

имеем

d F v

(С)

d F v (C)

< 2 g aM„

д С п

< 2 g aM,.

д С п

откуда

1 М С ') - М С " )1 < 4 М ,

2

ga | q - c " | .

(3.34)

l < a < s

Таким образом, система функций

{Fv (C)l

V->oo,

является р а в н о м е р н о н е п р е р ы в н о й .

Поскольку в каждой

точке С имеет место сходимость

Fv (С )

Р ,. (С ) =

{ Н (С)} -

2 Sa gaCaCa-

I С ,|< Я ,

|C s |< t f

при любом ф и к с и р о в а н н о м

значении

R.

Поэтому

\ f v { H(C)}~f oo{H(C)}\ =

^ ) F v ( C ) - F oo( C ) \ ^ r ]v(R)~>0

(V -> оо) (3.35)

/{Я(С„

С2, . ... С ,)} -/{ Я (О,

С2, . .. ,

С,)} =

=

С2, . .. , Cs) - F v (0,

С2, . . . .

С8) + 2 ^ |С , |2>

> - 4 g 1M1]CI | +

2g1|C I |2. (3.36)

/{Я (О,

С2, . .. , C J >

inf /{Я (С)},

с

и потому из (3.36)

следует,

что

/ {Я (С)} - inf / {Я (С)} >

2g, ] С, |(] С, 1-

2М,).

с

Заменив в

только

что

проведенном

рассуждении

С,

на Са ( се =

1, 2, ... , s),

найдем

также

/ {Я (С)} - i n f /{Я (С)} >

с

> 2 g a\Ca \(\Ca \ - 2 M l)

( а = \ ,

2, . . . .

s).

*) Вообще говоря, точка

абсолютного минимума не един­

ственна.

где

e (-f)-> 0 ,

6и-+0,

в„ =

max |/{ Я ( С )} - /0о{Я(С)}|.

Се® (2/И.)

§ 3. Построение предельного соотношения

для свободной

энергии

Перейдем теперь к специальному рассмотрению тех

случаев, когда

операторы Т,

/ а в гамильтониане (3.1)

случаях будут выполнены, если

y '^1\ T( p) K ( P , o) \ < Q 0,

(а)

р

у

% \ К ( р ,

(b)

(3.37)

р

y Y * \ K ( p , tT)P<Q 2

(с)

p

( a = l , .... s;

a = ± 1 /2 ; Q0, Qh Q2=

const).

Тогда, например, в неравенствах

(3.30)

можно положить

Mi = Qi> M3 = Q2>

M2 = 2Q0.

Пусть теперь, кроме неравенств

(3.37), функции

образом, все наложенные здесь

на Ла неравенства вы­

полняются, если справедливы

неравенства

(3.37а) и

(3.38).

еще, что (3.37а) и (3.38)

Пользуясь случаем, заметим

имеют место, если Ха удовлетворяют неравенствам

I К (Р. °) I <

{К, а = const).

(3.39)

ремы 3.2.

Поскольку

в исследуемой ситуации

условия

теоремы

3.1 выполнены, нам надо только показать,

что для

любых фиксированных комплексных величин

С,........ Cs существует

предел

L { H ( C ) } = l i m f v {H(C)}.

(3.40)

V ->оо

рующего гамильтониана

в виде

Н (С) = ^

Tfdfdf —~ ^

{Q {f) afa-f + Q (/) a_faf} +

f

f

+ 2K ^ gaCaCa,

(3.41)

где

a

Q(f) = 2 2 g aCaXa(t).

(3.42)

a

4-

Н (С) = V; Efafaf +

К ( 2 V gaCaCa -

V {Е, - Tf}

f

l a

f

(3.43)