Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Боголюбов, Н. Н. Метод исследования модельных гамильтонианов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

6.02 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1810 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

ПрИ ]/_v.oo, и потому на основании (2.39) получим

I h {г ........г,)<Фо, ( г „		Фоs (rs, i s))			dr , ...	drs-+
J					CL
	j	H (<1....... -		M	X
	(2Я) 2
	X Q ( ? i ....... M ^ i			•••		(2-4°)
ПрК	у о о, где в сумме	2	имеется		не больше, чем
l(s)	членов (l(s) — число различных			способов		спарива
ния). Подчеркнем теперь,		что порядок следования по
левых операторов и средних ( ..			.)г	может быть выбран

любым образом.

Кроме того, соотношение (2.40) имеет место для

любых вещественных		параметров tu . . . , t s,		так что это
соотношение можно,		например, умножить на произве
дения функций	вида Q(tj— 4). Отсюда и следует суще
ствование на классе £		функций h обобщенных пределов
lim (фа ( г ,, / , ) . . .			фст ( r 5, /,)>	,
lim	(Т	(г,, ti) ...	q>as (rs, tj) )	,
V-х»			1 а
lim 9(/ — т)([Ф (r, t)		... Ф (rk, t);
V -> oo	1	K
				1 a

Таким образом, убеждаемся в справедливости следую

щей теоремы.			2.2.	Если	выполнены		условия 1 (§		1
Т е о р е м а			2.2.	Если	выполнены		условия 1 (§		1
главы	1) и	Г	(§ 7	главы	2), то на классе £			функций
h(rx, . .. , rs)		существуют обобщенные пределы для кор
реляционных функций и функций Грина:
lim (ф0 (r„ tx) ... Фо5(rs, 4)> =
К-»°о					1		фа	(гs, is))
				=	lim (ф„ (г„		фа	(гs, is))	;
					vr оо			1 а
lim (Т (ф„			...	ф„ (rs, 4)) >		=
V->oo	К 1			&	J	1
			= lim ( тК ,			(н> U)	• • • Фа, (гв, 4)} >г ;
				К-»оо			s	1 Га

Л П1 е(^ ~ т ) < К ( г . *0-- - %k (rk,t);

%k+x{rk+vx) ... ф^(г„ т ) Ц =

=^ 0 (/- т)(КДг'’')---ч(г-^

	Ч +1(г*+1'т) •••	<М Г*’ Т)]±)		•
Как мы видели,	выражения вида Пт ( . . . )		могут
быть вычислены с	К-»°°	К-	Га	и
	применением правил		Блоха

С. Де-Доминициса и заменой квазидискретных сумм соответствующими интегралами.

Г л а в а 3

КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ ДЛЯ СИСТЕМ С ЧЕТЫРЕХФЕРМИОННЫМ ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ

§ 1. Вычисление свободной энергии для модельной системы с взаимодействием «притяжение»

В этой главе будем изучать динамические системы, соответствующие притяжению фермионов. Начнем с вы числения свободных энергий для модельных гамильто нианов с четырехфермионным взаимодействием. Эта задача, как мы показали в работе [30], представляет большой интерес в изучении модельных проблем теории сверхпроводимости и может служить примером точного вычисления свободной энергии для модельных систем типа БКШ *) [54, 55]. Полученные здесь результаты и мажорационные оценки являются также доказатель ством теоремы 3.1, сформулированной в § 2 главы 3.

Будем исходить из гамильтониана

Н — Т — 2V 2		(3.1)
	1<a<s
Если мы выберем в	качестве операторов Т и / а сле
дующие выражения из ферми-операторов:
T = ^ Tiafafy	}а = -2y ^ K i D d f a - f ,	(3.2)
f	f

*) Можно отметить, что проведенное рассмотрение решает также ряд вопросов, связанных с асимптотически точным вычисле нием свободной энергии, поставленных Г. Вентцелем в работе (54].

Т) получим	обычный гамильтониан БКШ
Я =	V	Tfafaf — ~ y i ( f , f') afa-fa-f’Cif.	(3.3)
	f	f. f
Укажем, что		для проведения всех рассуждений нам
не потребуется		явное выражение (3.2) операторов	Т и / а.

Достаточно будет наложить следующие общие условия:

	\| / a K A f „	\| TJa: '	I ^ 442,	(3.4)
I	' J a К 7	Ai^p	I ^
				7
где Mu M2, M3— постоянные при			V^-oo.	Здесь сим

волом | ... | — обозначается норма соответствующих опе раторов. Мы предполагаем также, что свободная энер гия на единицу объема для гамильтониана Н — Т огра

ничена постоянной и что число			членов	s в сумме		(1)
фиксировано.		рассматривать гамильтониан			(3.1)	при
Итак,	будем
условиях	(3.4).	Соответствующий	аппроксимирующий
гамильтониан возьмем в обычной форме:
Н° = Т ■ -2V		2 (Са ■/ а + Caf a) ~f 2V		S	\| Са \|2.
	1< a < s		1< a < s		(3.5)

Входящие сюда постоянные Са определяются из условия абсолютного минимума функции

f „ . ( C) = — LQ lnSpe- ^/0

(3.6)

в области всех комплексных переменных С = (Си . . ., Cs). Это комплексное пространство точек С = (С1; .. ., Cs) будем обозначать {£Д. Воспользовавшись минимизи рующими значениями С, вычисляем свободную энергию на единицу объема по способу аппроксимирующего гамильтониана:

fH° — minftf°(C).	(3.7)
{яД

Возьмем также соответствующую свободную энергию для рассматриваемого гамильтониана (3.1):

fH = - ~ Q \ n S p e ~ ^ .

(3.8)

Докажем,	что разность (/я° — fH) стремится к нулю при
V —>оо. Для этого удобнее рассмотреть вначале						вспомо
гательную	задачу с гамильтонианом
	V = H - V		2	(va/ a +	va/ a),	(3.9)
		1< a< s
где v,,	vs — произвольные			комплексные параметры,
отличные	от нуля.	В	этой	задаче	соответствующий
аппроксимирующий гамильтониан имеет вид
	Г° — Н°	V	2	K /a +	V a ).	(ЗЛО)
			I < a < s
Входящие сюда комплексные величины С = (С,,						Cs)

определяются также из условия абсолютного минимума функции

			fra(C) = -		y In S p e -1”/0.				(3.11)
Будем		получать		мажорационную			оценку		разности
(fг, — fr),		показывающую			ее	асимптотическую			малость
при В	>оо,		Здесь	/г„ =	min fr„ (С),		а /г — свободная
энергия	для				{я5}	Г. Хотя	эта	оценка для
			гамильтониана
(/г„ — fr) будет проводиться в случае \| va \| >								0, окажется,

что она имеет место равномерно по отношению к \ - > 0 и мы сможем перейти далее к пределу va = 0 (1 <1 a ^ s).

Тем самым получим оценку для (/я» — ///)» устанавли вающую ее асимптотическую малость при V —>оо.

Итак, начнем рассмотрение аппроксимирующего га мильтониана Г°. Нетрудно показать, что задача абсо лютного минимума функции (3.11) имеет решение и что такой минимум реализуется для конечных значений

Ck = C\ (1 < 6 < s ) . В этом можно убедиться, восполь зовавшись неравенствами

I i {\Ca \2+ (\Ca \ + 2Min - 4 M 2]s + y + fr >

> fro (С) > ^ {\| Ca Р +	(I Са I — 2е д -	4Mh - Y + !т>
а
	C j - 4 M h - y + fT, (3.12)
С = (С....... . Cs),	Y = 2Al12 \| v a \|	( l < a < s ) .
	а

Таким образом, функция fr„(C) имеет в некоторой точке C° = (Ci, . ... Cj) абсолютный минимум,

Раз/ф„(С) непрерывно дифференцируема,						то в точке С п
	01Го(С)		О а йф s),
	дСа		О а йф s),
	дСа
т. е. уравнение	для	определения		Са	будет	иметь вид
	Са	(^а)г»	Sp Iдб	Г°/е
	Са	(^а)г»	Spe-1'"/0		•
			Spe-1'"/0		•
Учитывая условие (3.4) ограниченности операторов
получаем \| Са	М, = const.
Перейдем теперь		к построению неравенств, ограни

чивающих разность свободных энергий (/г„ — /г) на еди

ницу объема, через посредство средних величин			вида
Y = ~ 2 У,	(/« — Са) (У^Г — С„).		(3.13)
1< а < s
Для этого заметим, что	Г =	Г° + 91, и введем	проме
жуточный гамильтониан
г* =	г° +	т ,

который при t = 0 совпадает с аппроксимирующим гамильтонианом Г° из (3.10), а при/=1—с исходным Г из (3.9). Входящие в Г* постоянные С = (С,,..., Cs) пола гаются фиксированными, не зависищими от параметра t.

Рассмотрим конфигурационный интеграл *) и свобод ную энергию для «промежуточного» гамильтониана ГД

Q ,= S p e - r 4

f t (C \, • • •, C s) — —

In Q;, Qt = e ~ v it l \

(3.14)

Дифференцируя равенство (3.14) два раза по t с учетом правил операторного дифференцирования, получим

V	d2ft	j V2	I	dft \2__	1	Sp \ 9te
0	dt2	Q2	\	dt )	Q2Qt

принимая во внимание

d h	_ l	Sp9te~r</e
dt _	V	S p e_ r “/e

~o~з -Д-Ц-П	d%\
91e 0

l_W ,

*) Математические вопросы существования и свойства анали тичности конфигурационного интеграла были рассмотрены в ра боте [57]. Дальнейшее обобщение доказанных там теорем было сделано в работе [58].

находим

д*п _	1		Г*	Г 1	I —-л
д*п _	1	Sp %е	"	'Не	dx — <9l)2	=
dt2	w	Sp %е	"	'Не	dx — <9l)2	=
dt2	w	Qt
		1	1 S p i » e		0 « е 0 "	%)] d x ,
		Q V Q t
		3 3 =	3	l _ ( 3 1 ) .

Переходя к матричному представлению, в котором га мильтониан диагоналей, имеем

d2ft	1	VТ, <■3"пт^ззп	EL~En		Еп
d2ft	1		6	Z	B dx =
dt2	evQt		6	Z	B dx =
	u	rt, m
				-	(е ( - е П
		У 133„mI2		-	' m	n>
		У 133„mI2				dx^O .
		0^ Qt 0 n, m
Отсюда, в частности, следует, что					d2ft	^ 0, и потому
Отсюда, в частности, следует, что					d t 2	^ 0, и потому
dft	(Й)t		увеличением			параметра /.
	— уменьшается с		увеличением			параметра /.
Имеем, далее,		учитывая, что fT не			зависит от С,
		1			1
	fro(C) — /г =---- J Д £-* = -			J

Поскольку это соотношение верно для всех С =■■( С , , Cs), имеем также гшп/Г0( С ) ^ /г, т. е. / г„ ^ / г.

{e s}

Проинтегрируем неравенство (Щ)г ^(31) (0<^< П ).

Подставляя вместо		21 выражение (3.13), убеждаемся,
что для любых С =	(Сь . . . ,		Cs) справедливо неравенство
fTo ( C ) - f r < 2		2	<(/а _ С а)(/а - С в)>г.
		1<а <s
Положим здесь Са =		(/а)г ( l ^ a ^ s ) и заметим, что
/г° =	min /г, (С) < /г, ((У)г>).
		{£s}

Таким	образом,
f г0		Г° (4)г)	4	^
и окончательно
о < /Г5 -		/г < 2 ^ 2 ^		<(4 - ( 4 ) г )(4 -	(4>г))г *);	(3.15)
здесь,	как всегда,
			fr0= min fr„ (С)-			(3.16)
				\MS)
Напомним нашу основную задачу:					мы хотим	пока
зать,	что	разность	(/го — fr) является		асимптотически

малой при И->оо. Как видно из полученного неравен ства, эта задача была бы решена, если бы удалось установить асимптотическую малость среднего в правой части (3.15).

Используя основную				идею работы		[14],	попытаемся
выразить	эту правую		часть через		d2f		Дифферен
					dv а dvа
цируя, имеем

1	а2/		J	1.Г+			0 ) dt
				S p \D (a>e 0	D^e
0	dva dv*	е2	о		__г
					Sp e	0

где Dia) — Ja— (4 ) ( l ^ a ^ s ) . Переходя к матричному представлению, в котором Д диагоналей, найдем

п, т	о
	п, т
*) З а м е ч а н и е .	Для удобства далее не будем ябно указы

вать статистическое усреднение, соответствующее гамильтониану Г,

т. е. будем писать ( . . . )г =	( . . . ) .
4 Н. Н. Боголюбов (мл.)	97

Применяя неравенство Гёльдера, имеем следующую оценку:

£ 2 1	I V ' w e - * '£,,/в I <
п, т

Произведем несложные преобразования:

\|	£	I DK, Pi Е . -			Е т	+ е	- ^ )	-
	п, т
		*= -£ Sp е~г/0 {(Г£>(а) - £>'а,Г) (Ь(а}Г — ГЬ(а)) +
		+ (D(a)r			— ГЬ [а)) (г п (а) — £>(а)г)} =
		= V <(г/а - / аг) ( г /а — / аГ)+ +
где					+	( г Г - Уаг ) + ( г / а-		Г г ) ) <	2ИМ2,
где
		M = M2 + 4MlM3s + 2M3					2	\|v a
Отсюда получим							1<a<s
Отсюда получим
{	V				-	e - W I < (------^ У /3 {2М>У)Щ
	У \ 0 [ 1{ 121е-Е^				-	e - W I < (------^ У /3 {2М>У)Щ
	Q п,	тп				\	3va 3va/
Далее напишем
£	£	o 2 J V		«
£	£	I Ой, I8* - s»'“" '8
	п, тп
		< 4 Е	т		Ш ^ ( ^ - ,е- ^ - /е) +
		Q jU			(E n - E m )
		п, тп
						V			е \|)
						+ д - 5 ] \| ^ 1 21 ^ /е - ^			е \|)
где
	5]	I D(Z \|2 *Г£я/е = -ji Sp D(a)Dia)e^Vie=						V (D{a)D{a)> =*
	п, тп

= v <(/(a) - < / (a)>) ( > - < > )» > .

Таким образом, окончательно имеем

<(/<«>_ < /“>))(/'«> _ < / ,а’))><

			дЧ \	0	.	(2М	2 )	] р		d 2f \2/3
		0va dv*a )		у		у2/з		( -	9v„ dv„

Подставляя это	неравенство			в (3.15),				найдем
0 < f r . - f r « 2 -5 -		I	('	ava <4 ,
	I <-- aЛ,		<<- sо \
+	2	/с\	ЯТОч 1/3	S		( —			\v3	(3.17)
	у2/3	(2М2)					dva <5v*
			l< a < s\V-						)
Отсюда видно, что наша задача						была бы выполнена,
если бы удалось		установить			ограниченность					вторых
производных	d 2f		при	К —>оо.			Однако, к сожале

dva dva

нию, мы этого показать не умеем. Мы можем опи

раться	лишь на ограниченность первых производных
I <5/	<A f,	(1 < a <	s).
dva	связи	с этим	разработаем способ, в котором не
В

нужно было бы учитывать ограниченность вторых произ

водных

и с помощью

которого можно показать асимп

тотическую малость

разности

a =

fT, — fr-

Для

дальнейшего

нам удобнее будет в неравенстве

(3.17)

перейти к переменным

ra>

Ф».

Га = Га К -

Va)>

Ф« =

К -

Va)

0 < a < s ) ;

соответственно

1> ФР •••»

rs’

<PS)'>

тогда

d*t ^

l A

( rai L \ +

i l

}

(3.i8)

5va dva

^ra \

dra)

d<fa

Га j

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1810 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ