книги из ГПНТБ / Салахитдинов, М. С. Уравнения смешанно-составного типа

Г (2 - 2 ? )

4 - +

J „ = ( 1 + J L \

1

2( I r i J L )

2j

s 2

\ l - s ) T

?( l -

Tf - s Y 1ds =

2

( 2

3

- M

4

-

1 4- x

2 1

\

2

I

Г (3 — 2fi/

2

P’ 3 “ 2P- Г Т ^ )*

Таким образом,

имеем

f- 4

г ( 4 - р ) г ( 4 - -

Т(2-

ж

— P. "o' +

1 — ЛЛ

/1 + X

P--4-

1 — X

X

Р»

Г2(— - P

/=•(1,-1 -----P . 3 - 2 P ,

2*

X

г (3 -

2,3)

\+ x '

Отсюда следует, что при л: -> 1 интеграл J t

может обращаться в

бесконечность порядка не выше

-----(3,

т.

е.

I Л I < —

S

— .

( I -

*

) 2

13

Чтобы выяснить поведение

интеграла J t

при х

— 1, использо­

вав (111.94),

а также формулы

Л = «tgpTC +

( - Г - р)‘ г’ ( т —

Г (2р — 1) Г (2 — 2р)

- ( - x f ~ 2 Г ( 4 - р) г ( р - -J-) +

+ (4 * )

( 4 ^ )

Г (2 -

2fi)

( 1. 2Р

- 1,

1 Н- лг

4 - + р. - Ч ^ ) - ( ч - 4 т ) ' :' ( 1. 4 - р. 4 + р. - 4 дг

Принимая во внимание очевидное тождество

/41, Ь, c,x ) =

\ +

± - x F { \ , b

+

\,c +

1, х),

(III.96)

заключаем,

что при х -> — 1 интеграл J t

стремится

к

конечному

пределу, т. е. У! = 0 (1).

Оценим интеграл J 2.

Перепишем J 2

в виде

1

J 2 =

(1 + х) (1 -

Ц

L i

(tji t)

L i (x, t)

-г

1 — tyX

t. _ V

1

Так как функция L t (x,

t) имеет ограниченную

производную,

то

L i (^ , f)

L i (x , t) I ^ ^

Тогда

t

— x

P—

— +13

f*

—- —p

| Л | < С 2( 1 - х )

4-+P

1

-P

( l - / i )

X

2 ( l + x ) 2

j ( 1 + M 2

- l

X (1 - tiX)-1 dti

= 23~2?C2

г ( - 5 - - Р ) г ( - Г - P)

(1 -

X)

X

Г (4 — 2fi)

X (1 + x ) ~ 2 f ( - | - - P . 1 , 4 - 2 P , - j ^ ) .

Отсюда следует,

что

при х —>-1

интеграл J 2 может

обращаться в

■бесконечность порядка

— р. Принимая во внимание

формулу

F (a, b, с, х) =

(1 — х)

а

F\^a, с — Ь, с

,

у

заключаем,

что

при х -» -— 1

интеграл

/2 имеет

нуль

порядка

€ - 1 1

81

Л =

(1 + -*)2p«tg Рк —

_ 22Р

1 -

дг

Г 1 ^ - + 0 Г ( 4 - - П ^ ( 4

1

1

1 - * V - r A + - > f V - Г X

2 ’

2

X

г (

4 + 0 г

( 4

р)

r | v )

Г(3)

f ( i + ^ , i , 3 ,

Следовательно, при л:---- 1

интеграл J 3 может

обращаться в- бес­

конечность

порядка-^

р.

р (т-+ р. р— г . 4-+ (>.■4

s-) = (ч 4 "5"'х

X F [ - \ , \ , ± - + $ , L - ±

-

1 ± * г т X

X 1

1 — X

1 + х )2 ^

+

2

“o’ + Р

I

-г-"

+

2

1 — ■* /1 -f- .г

1

2

Р +

^ ( - T + P .1, 3 , r | L .) = ( i ± i

> | -+ Р Г (3 )г ( - 4 - -

X

г ( - т - Р

Г(3)г(4- + Р

X F I - I - + P,

Р т й ) + Г ± Т

(4+0

-Ь

Г ( 3 ) Г

■+?

1 + -у

■+ р

1 — х

■'? i i - 4 - - P ’ i + P’ T ± r

r l - f

+ l

_ 2^ r f 3

--- р

V i ^ V - i - f 1 + iL ^ - V

Ч- 22P Г ( - | ----- р

) Г

} +

3

1

Y - Г ( 1± £ . ) г ■ X

X, [ 1 + Jf

— 2 )

- 22?г ( - | - + Р

) Г

1 —х

X

Р

х | ' 4 ^ ) ^ ( 4 + р. 2 . 4 - р. ^

п2Э3 — 2j3 р

X

3 + 2р

1

X Ц £ -)“ + Ч 1 * 4 - Р - - г + Р - т й

Отсюда следует, что при х

— 1 интеграл /3 имеет нуль поряд­

ка 2р.

Следовательно,

О + xj®

|Л |< С 4

1

(1 — ^)2

Суммируя полученные оценки для интегралов

У2 и Л.

убеж­

даемся

в справедливости неравенства (III.91).

Функция Я , (х, t)

как функция t имеет

ограниченную

производную.

Таким

обра­

зом, к уравнению (III.90) применима

теория Фредгольма, и его

безусловная

разрешимость

следует из

единственности решения

задачи

Трикоми.

Обозначив

через

R ( x ,t )

резольвенту

ядра

(х, t), решение интегрального уравнения (НГ.90)

можно

пред­

ставить по

формуле

1

V(х) =

F (x ) +

(X, t) F {t) dt.

J R

-1

Из оценки (III.91) заключаем,

что

R (х, t)

=

О ( - — Ц -— \ .

(III.97)

\(1 -

х)2

J

Функцию хг(^) можно записать

в виде

i

(s) A ( jc, s ) d s +

(111.98)

Х г С * ) =

f x '

Ф 2 (-*).

О

где

X

S

h (*, s) =

- J- ■£

[* (х —

£)2p_I d t | |i* ( S i , t, 0) dst

- i

о

ф2(x) = —

T j * O i W (■x

- t f - ' d t .

В силу сделанных предположений

относительно ф,

функция

Ф2(х) имеет ограниченную производную.

На основании (III.98)

v(x) принимает вид

i

* (*) =

j х' (■*)А* (■*,s ) d s +

ф з (■*);

(111.99)

0

здесь

A* (jc, s) =

1

h (х, s)

1 +

V

— YZT& W

* . s) df +

j

/? <x, 5) h ( t , s ) ~

-i

Ф3 (X)

1_| Х2Я2

ФгО ) - х | ( Ь г ^ ) ! ( г ^ Т

1

т 4 и ) ф 2 (*)< « +

j

< M « )-

-1

, Г - Р

' п Ь г ) ф><<) ‘<< d\ .

- 1

J ( t ± f )

( т п

- -

-1

В дальнейшем нас

будет

интересовать поведение функции

Л* ( jc, s) в окрестности точки А.

С этой целью исследуем функ­

цию h ( x , s ) . Из формулы (III.64)

следует, что вне сколь угодно

малых окрестностей

точек

А п

В р* (s, х, 0) — бесконечно диф­

чить поведение h (x , s)

в окрестности точки А,

т. е.

при малых

значениях 1 +

х и l — s.

s = I. Так

Рассмотрим

сначала

один частный

случай,

когда

как кривая а оканчивается малыми дугами

нормального контура

о0, то для изучения поведения

h (s,x )

в

окрестности точки А

достаточно выяснить поведение функции

J {x ) =

- { L

(* _

t f - ldt

j

р* (s, t, 0) ds

-1

a.

при малых значениях 1 + х.

В рассматриваемом

случае имеем

Р* (s,

х, 0) = А , jG j (5 (s),

т) (s); х, О) ]

В соответствии с этим,

на основании уравнения нормального кон­

тура а0) функция J (х)

представляется

в виде

J ( x ) = -

( x - l f - ' J i W d l ,

- i

где

,-p -i

Л (*) =

(1 -

х 2)

j (1 -

t2Y

2 ( l

+

л2 -

2xt)

dt.

- i

Функцию J x (x)

в результате замены переменного интегрирования

t = 2z — 1 можно

переписать

так:

J i (x) = 22?( l - x 2) j1zJ - I2-(1 - z )

2 [(1 + x f

-

4xz]

d'z =

-I-P -1

(1 — z)р- Г dz.

(III. 100)

Вычислим производную функцию Jt(x ):

J[ (x) = -

22?+l ■

2

2 (1 - z y

2

X

O + x ) 2P+2

X

1 -

4х

- Р - 1

d z — 220+1

I — X

х

(1 + ху

(1 +

Х )2?+2 К '

х (1- 4

2

Г1

(1 + ху

— Р - 2

d z

+ 22|3+2X

4х

1 — X

1

4х

-Р - 2

X (1 + х)Ф+г ■J_Р+ о- 0

- г ) Р- о-

1 -

(1 + хУ

dz. (IllЛ01)

Интегралы правой

части (ШЛОО)

и

(ШЛ01)

выражаются

через

гипергеометрические функции по формуле (III.92).

В силу тождества

(111.95)

следует,

что

функция

(х )

при

х — — 1 стремится

к конечному

пределу.

В выражении J (х), выполнив

дифференцирование,

предвари­

тельно проинтегрировав по частям,

после преобразования

интег­

рала с помощью замены £ =

— 1 + (1

+ л :)г

получим

J ( x ) = -

2(3*

|(1 +

x f ~ %

( -

1) +

+

( 1 +

^

( 1

- z

f

-

1А [(1 +

х ) г

о

Отсюда на основании

(III.101)

и (III.95)

заключаем, что функция

J {х) при х -*■ — 1 обращается

в

бесконечность

порядка

1 — 2р.

Таким образом, функция h (x ,

I)

в точке А может иметь особен­

ность порядка не выше

1 — 2(3,

т.

е.

|A(jc, /)|<

С

(111.102)

(1 + x ) l~w

Этот результат получен для случая,

когда s = Z.

В общем

слу­

чае оценка (Ш .102)

должна

зависеть и

от второго

аргумента s

функции к. Выясним эту зависимость. С этой

целью

на основа­

нии формул (III.65) и (III.86) функцию р* (s, х 0, 0) представим

так:

Iх* (s, *о- ° ) =

А ,

[Go ( $ (5)>

Ч (s):

-*о> ° )

] +

11!

(5’ х а )•

где

V-г (s,

х 0) =

] 'V

(t;

х

0 , 0)А , [G* (5 (t),

у, (f); л: (s), у (s))j dt.

Ei

Очевидно, что (it (s, x Q) — гладкая функция x Q,

производные

ко

торой ограничены

при — 1 < . * о ^ 1.

г *

1

KJ,7,( s ) 7]^ («) (\ — JCq)

А* fG° ( S(s)l 7)(s); *o*

°)| = “

2^ £(s) (1 _ 2u o+ ^)P+i •

2

У)'"+2+ р1-/)2'"+4+

5 — — 1 + -(,т + 2у

( 1 - 2Ц . + * ’ )-*-' =

0 + x o f +

+ (т + 2)з

V

S)

m+2 -P -1

[! + «(*„ . s)];

здесь

да

•< const

для

— 1

Л'0^

1.

dxt]

Далее, учитывая разложение функций

£ (s),

tj(s)

и

соотношения

d\2 + dr? = d s2,

находим

r,m(s)

= (l -

s)m + 0 , ( 1 - s f m+2 + 0 ( 1 -

s)2m+3.

Таким образом,

имеем

00 V

(в)(1 - 4 )

( l - S ) m (1 - *g)

c (s) (1 -

2£jcq+

^2)3+1

Г

2

____4____(/ _

s)m+2^ +1 +

}

+ 2)3

J

причем

+

«(-«o. s).

d a(x0, S)

( l - s ) m (1 + at0)

+

A2, (111.103)

dx0

(1 + х0у +

,/71+2 P+1

(« + 2)a V - S )

h ( x , s ) = - L . J L

j + j* y \ s u t , 0 , ) d Si.

- i

*-ч.

J(X, s)

= -

2рх^-

- t j* - '

dt J

P'2 (Sl) t)

"Ь

—1

Z- e«

+

•.m+2

P+ 2

d s u

(1+ 0 “+ U r + 2

где

P'2 (^i>

— a ( $ t , t)

Pi (^it

0 *

Легко заметить, что первое слагаемое J{x , s)

будет

ограничен­

ной величиной. В самом деле,

в силу (III. 103)

имеем

О

< A X

( l - s Q m(1 + t) dsx

P+1

+ a 2 <

~ d i

aSl

m+2

(1 +t)2+ (m + 2 )

Z— e2

si)

f

ZI- s 2

( / -

Sl) m(l +

() ds,

P+1

Ло =

m+2

0 + 0 " + ^ /и + 2 )

m+2

2

2e.

(m+2)(l + 0

/71+2 2P

r

+

Л2 <c

J 2 (*, S) = —

j {x — t f ~ l

at x

-1

(/ —

- t2)ds^

(з-f-l = - 2pX j

X

l—En (i + o 2+

( ^ b ) ^ - ^ ffl+2

-i

X

t2) d Sl

\dt =

3 + 1

I—sa

(1+ 0 2+ ( ^ T 2 ) 2( / - ^ m+3

- 2 { 3 x f ^

23

2 3 - 1 rf

(

m+ 2

t f { \ - t ) d t x

\dt =

1+<

2

2

-

m+2 6a

-l

rfi

Г

т+2

J т+2

<

1+

(1 +

4 ) ж

2

( - S )

= — 2px J

( x — ty2 3 - 1

,2(1m +-02

X

X

m+2 3+1

(i + ^ + U n r

<*-*>

em+l

rm+2

О + О2+ ( да + 2 ) *2

_________ ( / - S i ) m(l +

t ) d Si

3+1

df.

(H -^ r U r+2 <*-*>\'m + 2

l-Ъ L

Последний интеграл

в выражении

J 2(л,

s), как

было

показано-

выше,

ограничен;

очевидна

также

ограниченность

второго

слагаемого J 2(x ,s),

а первое

слагаемое,

которое мы обозначим

через J 2j

(х , s), на основании

неравенства