книги из ГПНТБ / Салахитдинов, М. С. Уравнения смешанно-составного типа

о (0) =

ш' (0)

=

0.

(III.70)

Задачи В и 5 * в силу

(III.4),

(III.5),

(III.8)

и (III.70)

сводятся

к

определению регулярного в области Д>2 решения

z ( x , y )

урав­

нения (III.II), удовлетворяющего условиям

2]лв =

* W

дг

= v (х),

(III.71)

ИЛИ +

dy

лв

„

г

z \a c

=

'^ ( *

) -

ш I

-

т -j-2

•*)

т -)-2

(III.72)

2

О +

—

т +

2 { \ - х )

23

■дг

т-1-2

= 6х (л :)-а )

-

(1 +

X)

1+2J __ L

т+2

4Э

дп

АС

/

1+Ё

(H-JC)

(III.73)

Воспользуемся формулой Дарбу, которая дает

решение

задачи

Коши с начальными данными на линии параболичности:

„

1

т + 2

z (x ,

у)

= 2 п‘+2у1

( \ - t 2f ~ l dt +

x

+

^

h

~( - у )

2

*

-1

2

2

1

т + 2

+

\<п+2

ЬУ

' v

(1

-

f2)~Pdt,

(III.74)

где

т + 2

-J1 ’ т

+ 2-(“ У) 2 t

_

Г (2Р)

_

j т +

2 \пГ+ 2

Г (2 — 2§)

Т ! ~

.

72 -

I

4

Р ( 1 - р )

На основании условия

(III.72)

и формулы Дарбу получим

2

о

1

ф! *

^

I—«I—

“ +!1 = 2"+ \ ,

[ , f c

±

+ i ±

i <

) x

-1

2

т 4- 2 (1 + х) та+2 X

г1»

/JT — 1

,

х4-

-р

. . .

^

( 1 - ^ )

dt,

(III.75)

X

\V( —2-----!—

5-1

-1

1 < л с < 1

тп + 2 (1 -j- х)

1 -2 3

*

( ч 1 ) / * +

^ ± 1 ( 1 + * ) f -СО'

X

X

т -4- 2 (1 + X ) Г = 2' - * 1, Г

+ Ц 1 *) (1 - t ' t ' d t

J

-1

m + 2

X

( l - ^

,1 - 2 3 ,

’^

( 1 + -« )]"

+

) " p d t - 2 ' - 2?4i

-1

23

+ £ + 1 Л t (1 -

t - f~ x d t +

(1 -

2P)1 23 ?2

Ч

1 ( 1 + х >

X

X

v

* “ 1

+ i ± l t)

(1 -

t2)~P d t +

( 1 -

2?)1" 23Тз X

I

/72 + 2

H-23

X

(1 +

*)

r L + £ r

1 * ) * ( 1 - * T p d t’

- 1

(III.77)

получаем

1

43

" *' (

+ £ + 1 А (1 - F f - ' d t

2

- 1

= ( 1 - 2 P ) 1- 2PT2 Ц 1 . {1 + х)

1-23

т + 2 (1 -f х) <Р

1 +

X

X /I / 1 +

( \ + х ) 'Ф

4V ( * - L

+ Ц 1 [(1 + х )

или

л

р (t) (1 + ^ )3_I (х -

t f ~ ld t =

(1 +

A ' f - 1 jV (s )(l + s)~? x

- 1

X ( x — s)~? ds +

- l

:(х) = Ф (х) + т J V (t)(x - t)~2?d t ,

(III.78)

где

- 1

Ф ( х ) —

\Oi

(t) dt,

7 —

■г

г

(1 - 9

•

г (1 _ щ

- 1

Ф , ( * ) = ^

(1 + * ) 1_Р j£7 1" (л - * Г Р (1 + t f - 1X

- 1

m + 2

+*( 2 )]/ ! + [ I

0 + 0 ]

(1+0

4p

—4-

. dt.

X

1+ w+ 2a+o]43

Подставляя в формулу (III.76)

вместо функции т (х ) ее найден­

ное выражение из (Ш.78) и принимая во внимание равенство

TTt (1 Н- jc)1 2? j

(1 +

s)p \х — s f

V s jv (^)(s — t) 29 dt =

- i

—i

= 7 2

- 1

+

{ x - t y *

dt,

1

т -|-2

т+ 2 .

- 2

_ _ ( _ у) 2 (1 + * ) (1 - t 2f - ldt. (III.79)-

1, Ф - 1

2

т + 2

и (х, у) = фI 7^ + 2 (-У )- 5 - - 1 +

т + 2

+

2m+2Tt

1 Ы *

+

; г Ь - ( - У )

я

t

-Ж1

/га + 2

9

т +2

- ф

2

( 1+0

(1 - t 2f - 1dt +

+

2

\ т +2

ТаУ ' v

9

/ГС+2

t

(1 — Р )~ 9 с1и

+ 2

Л +

^ г + 2 (-У )

2

- 1

где функция v(x)

определяется

выражением

V ( X )

=

^

•

J

L J [ х

( 0

- ф ( t)}

( X

-

i f - 1 d t .

-1

Решение задачи В *

дается

формулой

2

т + 2

и (■*, у) =

Ф —

2 ( -У ) 2

- 1

+

х

vj (л:) =

j j ’v (t) (x — t)~2? dt.

- i

Единственность решения

задач В и В * очевидна.

1т 4-2 \2/,л+2

ставление (III.8) функция to (у) = ш2(у) при — (■

1 < у < 0 в

образом. Следовательно, решение задачи С сводится

к нахож­

дению

регулярного

в

области D

решения z ( x , y )

уравнения

(III.11),

удовлетворяющего условиям

4

=

/(*) -

<°i [У («)].

4

с =

Ф-

(Ш.80)

dz

= ? ( s ) - ® i

[У ( s ) ] S r ’

(III.81)

dn

где ш, (у) = ш(у)

при 0 <

у <

/г.

1. Единственность решения задачи С.

Без ограничения общ­

ности снова будем предполагать, что для

функции и>, (у) спра­

ведливо условие (ШЛО).

Таким

образом,

однородная

задача С

редуцируется

к задаче

нахождения

регулярного

в области

решения z ( x ,

у)

уравнения

(III. 11),

удовлетворяющего

условиям

4 =

- “i (У)- 4 с = °.

dz

=

— ш (у) (ll -

(III.82)

dn

i

dn

Как известно,

(III. 11),

(Ш.80) являются задачей Трикоми. Для

нее справедлив следующий

принцип

экстремума

[3]:

решение

z (x , у)

задачи

Трикоми,

равное

нулю на характеристике АС

личного о нуля решения.

С. Как уже

было отме­

2.

Существование решения задачи

чено,

z (x , у) является

решением задачи Трикоми, удовлетворя­

ющей еще условию (III.81). Функция

z

x, у), удовлетворяющая

первому из условий (Ш.80) и

условию

'>{х) = Щ- АВ

в области

D x выражается формулой (см.

задачу

А*)

1

z ( x 0, уо) =

— j v (() G* (II,

0;

х 0, у0) dt

I -I

(III.83)

-

[x(s)ti*(s, *о. yo)ds,

о

где

Х ( 5 ) = / ( 5 ) - ш1[У(5)];

G* (х, у,

х 0, у0) — функция Грина,

определенная

при исследова­

нии задачи А*. Регулярную ее

часть

в силу

(III.61), (III.63) и

(III.64) можно

записать в виде

&*(х, у;

х 0,

у0) =

jV * (t,

х,

у) g*(t,

х 0, у0) dt.

(III.84)

о

В случае

нормального

контура о0 функция Грина будет иметь вид

G I ( х , у;

х 0 ,

у0)-=

/ (х ,

у;

х 0, у0) + g[ (х, у; х 0, у0),

где

я

у;

* 0, у0)

_

g[

(х ,

=

-

R

V

(х, у;

х 0,

у0),

Так как g* (х, у;

х 0,

у0)

является

регулярным

решением

в об­

ласти

уравнения (III. 11),

то по формуле

(III.83)

имеем

i

~

о-* (х ,

у; Л'0, у0) =

—Jg * (S(s),

vj(s);

х 0, у0)н-*(5, х,

y)ds.

(III.85)

о

Принимая во внимание (III.84) и (III.85), находим

G (х, у; Xqj у0)

Gq (х , у, x Q, у0)

=

j

У* (*, X, y)G* (5 {t),

r, ((); X0,

y0) dt

u

или, в силу симметричности функций Грина G

и C j,

G

У1 -^о’ Уо)

Оо {х, у, х 0, у0)

=

J Iх* (f,

Х 0,

у0) G* (S (t), 7J (0,

х ,

у) dt.

(III.86)

Отсюда

о

G*(x, 0;

х 0, 0

) =

G* (х,

0;

х„,

0) +

Я (х ,

х 0);

(III.87)

Я (х ,

х0)

= [ ,/ ( * ,

х,

0)G 0’ (£(*),

4W ;

*„• ° )^ *

6

Учитывая условия,

наложенные

на

кривую о,

Я (х , х 0)

можно

записать

в виде

Я (х ,

л0) =

j'

JX*(£,

JC,

0)С?’ ^ (0 > Ч (t);

x Q, 0 }d t.

Функция H (x, x Q)

El

симметрична относительно

своих аргументов

и из ее выражения следует,

что она дифференцируема

сколько

угодно раз.

На основании (III.87) из формулы

(III.83)

получим

основное

соотношение

между

t(x) — z\^AB и v(x:),

принесенное

из

облас­

ти D t:

т(х) = — k j

[|£ — х |~2;i — (1 — xt\~^} v (t) dt —

-

jtfO x,

*)v(*)rff +

Xl(.x),

(III.88)

где

- i

i

^

Xi (•*) = -

j

X (S) H-‘ (s, X , 0)ds.

0

Основное соотношение между т(л')

и v(x), принесенное

из

об­

ласти D2, определяется формулой (III.78). Исключая т(х)

из

со­

отношений (Ш.78),

(111.88) и учитывая,

что 7 =

2k sin ря, получаем

v (•*) + ^

г Ф й )

* ( ' ) " +

1

+

j L (х,

t) v (t) d t

=

Хз (a:),

(III.89)

где

-1

\

\‘дн(г,

о

(х -

?)2? -1d£,

L ( x , t ) = l r

дИ

-1

JC

ъ

(X) = ~

•g j j

[Xi (?) -

ф (с)] ( x - \ l f - ld%,

- 1

^ _

COS (fa

~ и (1 + sin Рте) •

1

V (х) + j Я t (X, t) v (t) dt — F (x);

(III.90)

•^l (х,

t) —

j _| -к2_

L ( x

1

1

X

X*

-1

X tf, — X

1 — txx

L (tu t) dtx

1

. - I ____ (3

1 —

Г- \ 2

1

x )

1+ ^ 2

X2(■*) -

*■ 1 —X?

X

-1

X

t — X

T = u Y * V ) dt

L x(x, t) = 4

J

0

(x -

d%

2 $ k

ap

- i

Lt (x

t x — X

1 —

t y X j dtx+

-1

lL ' (A, t) -

А (х, Ц d tx +

1

i —ti \— _p

txx dt.

+ § И ( - М )

I'd +

^

f

^ ■X2

tx — X l —

- 1

Введем

следующие обозначения:

A

=

г -

%\ a

P

I

1

dt\ — J\\

J

-1 1 — JC“

и

1 — t,x

2 ,— ?

dt.

+

i -t? \

= ehj n0(-/L + - /i1)-

l —x-i)

V i - * ) 1—e

Заменив переменные интегрирования

в

У*,

по формулам tl =

=

— 1 +

(1 + •*) 5

и

^ =

1 — (1 — х) s

соответственно

и ис­

пользовав

интегральное

представление

гипергеометрической

функции

J

О ~ t)c- a~\ 1 -

x t y b d t =

- - ^

у ~ а)

F (а, Ь, с, х),

(III.92)

будем иметь

з

Г

( г )

1 - х \ р -

-1 .

Ах = -

d +

-оЕ

X

г ( 4 - - ? +

«

x f ( 4 - - p, р - 4 - , 4

- р . + . , Ц "

(5--—

г

Г (О

н

2

Г

А = ( 1 - х ) ’ 1 ' + х

т - ' )

X

( 4 - - р +

е)

x W - f - p .

P - 4 - , 4 - p +

s>“ ~2

ч2

r’

r

2~’ ~2

i' “r

Применяя к обеим гипергеометрическим функциям формулу

F {a, b, с, х) = (1 -

x)c- a~b F (c — а , с — Ь ,с ,

х), (III.93)

получаем

J 1 - L J 2

г ( - Г - Р ] г

W

— ________

^ U l

+ A')6 f [ 2 -

2р +

Hi

/ з

Г ( о

—

Р +

Е

+ s>е> 2

Р "Ь е>

g

j

^

— 2Р +

е, е,

--- Р+е, —тр—

^ \ Х* известную формулу

F [a, b, с, х) = р ^ р

^ F (a, b ,a - j - b — с + 1, 1 — ■*) +

+ (1 -

-г 1С)ГГМ Г ( » ~ 4 П о -

а, с - b , с -

- а -

6 +

1, 1 - х ) ,

(III.94)

предыдущее равенство перепишем в виде

л _l л _ ( 1 - х

(i;+

Х)+Г(е)

г (?— т ) - г (р- 4 — ■

J U I J u —

1

е Г р

г ( 4 - - р + е ) - г (-т -

I

F ( 2 — 28 +

е,

1 - X

£ Г (

9

—

Р

+

е

-----8 + «, —2

г +

- р

)

г ( 4 -

+

■' .

, . /

1

(1 + х)е X

Г ( 2 — 2р + е )

X

F ^{3

- g~2- ,

~2Р,

Ь Р

+

1— *\

е , — 2

Отсюда, переходя к пределу, находим

уп

( У „+ / у

= « tg рте —